Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione

Transkrypt

1 Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k a l, l a k a k+ a k+... a l. Formala deicja jest idukcyja: k 0, k, l ( l a j + a l, ( l a j a l, dla dowolych k oraz k. Sumy i iloczyy uogólioe pozwalaj zast pi ieprecyzyjy zapis z wielokropkiem jedozaczym wyra»eiem. Przykªad. Zapis a + a a mo»e ozacza zarówo a j, jak a j. j=0 Wªaso±ci sum uogólioych i iloczyów uogólioych s bardzo podobe. Poiewa» sumy spotykae s cz ±ciej, imi zajmiemy si w dalszej cz ±ci. Wiele wªaso±ci iloczyów mo»a uzyska z odpowiedich wªaso±ci sum poprzez to»samo± log ( l a j = log a j, prawdziw dla dowolych liczb dodatich a k, a k+, a k+,..., a l. Twierdzeie. Zachodzi c c a j, (a j + b j = a j + b j, c = (l k + c. Poadto je±li k oraz + l, to a j + a j, j=+ l m m a j+m. Dowód. Idukcja wzgl dem l. Twierdzeie. Je±li a j b j dla wszystkich j, to Dowód. Idukcja wzgl dem l. a j b j.

2 Twierdzeie. Zachodzi ( ( a i,j = a i,j, i=k j=m j=m i=k Dowód. Idukcja wzgl dem l (albo. ( ( a i b j = i=k j=m a i b j. i=k j=m Twierdzeie. Je±li σ, τ s fukcjami ró»owarto±ciowymi a zbiorze {k, k +, k +,..., l}, maj cymi jedakowy zbiór warto±ci T, za± a t, t T, s dowolymi liczbami rzeczywistymi, to: a σ(j = a τ(j. Dowód. Ustalmy k. Gdy l = k obie stroy s rówe 0. Zaªó»my,»e rówo± zachodzi dla pewego l i wszystkich fukcji σ, τ speªiaj cych waruki twierdzeia oraz dowolych liczb a t. Niech σ, τ b d okre±loe a {k, k +, k +,..., l + } i zaªó»my,»e zbiory warto±ci σ i τ s sobie rówe. Niech σ(l + = τ( i okre±lmy τ tak, by τ (j = τ(j dla j / {, l + }, τ ( = τ(l +, τ (l + = τ( = σ(l +. Wówczas σ i τ zaw»oe do zbioru {k, k +, k +,..., l} maj jedakowe obrazy, a wi c: l+ a σ(j = a τ (j + a τ (l+. Je±li = l +, to τ = τ i otrzymujemy tez idukcyj. Je±li l, to a τ (j + a τ (l+ = a τ (j + a τ ( + = a τ(j + a τ(l+ + j=+ j=+ a τ (j + a τ (l+ l+ a τ(j + a τ( = a τ(j, i rówie» otrzymujemy tez idukcyj. Na mocy zasady idukcji teza prawdziwa jest zawsze. Powy»sze twierdzeie pozwala dla dowolego sko«czoego zbioru T zdeiowa sum liczb a t, t T, jako a t = t T a σ(j dla dowolej fukcji ró»owarto±ciowej i a σ : {k, k +, k +,..., l} T. Zauwa»my,»e t {k, k+,..., l} a t = a j Twierdzeie. Je±li zbiory A k, A k+, A k+,..., A l s sko«czoe i parami rozª cze, za± A ozacza sum tych zbiorów, to a t = a t. t A j t A Dowód. Idukcja wzgl dem l; jedya trudo± to rówo± a t = t B a t + t C t B C dla dowolych rozª czych zbiorów sko«czoych B oraz C. Aby j udowodi, wystarczy rozwa»y dowole fukcje ró»owarto±ciowe i a σ B : {,, 3,..., } B oraz σ C : {,, 3,..., m} C, okre±li σ : {,, 3,..., + m} B C wzorem σ(j = σ B (j dla j, σ(j = σ C (j dla j > i skorzysta z wªaso±ci sum uogólioych. a t

3 Twierdzeie. Zachodzi i a i,j = i=k a i,j = a i,j, i=j (i,j T gdzie T = {(i, j : k i j l}. Dowód. Teza wyika wprost z poprzediego twierdzeia. Przykªad. Wykorzystuj c powy»sze twierdzeie, mo»emy wyzaczy warto± sumy: i i = i= i= i i = = + i = i=j ( + j j = = ( + +. Twierdzeie (sumy teleskopowe. Zachodzi Dowód. Idukcja wzgl dem. Przykªad 3. Zachodzi j (j + = (a j+ a j = a + a. ( j = j + + = Twierdzeie (wzór sumacyjy Abela, sumowaie przez cz ±ci. Zachodzi a j (b j+ b j = (a l+ b l+ a k b k Dowód. Idukcja wzgl dem l. (a j+ a j b j Szeregi liczbowe Deicja. Niech (a b dzie dowolym ci giem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach a (ozaczeie a azywamy ci g sum cz ±ciowych A = a j. Szereg ozaczamy a. Szereg a azywamy zbie»ym, je±li ci g sum cz ±ciowych szeregu jest zbie»y. W takim przypadku graic azywamy sum szeregu: a = lim A = lim a j, a ci g (r day wzorem = ( r k = a A k = = + azywamy ci giem reszt szeregu a. Je±li zbie»y jest szereg a, to szereg a azywamy bezwzgl die zbie»ym. Je±li zbie»y jest szereg a, ale szereg a jest rozbie»y, to mówimy,»e a jest warukowo zbie»y. 3 a

4 Uwaga. Tak jak w przypadku ci gów, mo»emy rozwa»a szeregi a, gdzie (a jest ci giem o ideksach = k, k +, k +,... dla pewego k. Przykªad 4. Szereg jest rozbie»y, bowiem jego -ta suma cz ±ciowa wyosi. Przykªad 5. Szereg harmoiczy sum cz ±ciowych. Wówczas H poadto H + = + j = jest rozbie»y. W istocie, iech H b dzie ci giem. W istocie, wzór te prawdziwy jest dla = 0 i + j + j= + j + + j= + + = +. Zatem podci g (H ci gu (H jest rozbie»y do iesko«czoo±ci, przez co rówie» (H musi by rozbie»y. Przykªad 6. Szereg geometryczy c a jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy a <. Mamy bowiem (dla a : c a c a a (dowód idukcja wzgl dem. Gdy a <, to c = a c a. W tym przypadku szereg jest te» bezwzgl die zbie»y. Przykªad 7. W rozdziale o ci gach dowiedli±my,»e szereg ( + = jest zbie»y. Jest o te» bezwzgl die zbie»y, bowiem ci g sum cz ±ciowych szeregu oczywi±cie ros cy i poadto wobec ierówo±ci: j + j(j = j= jest jest ograiczoy z góry przez. Przykªad 8. Niech a =, a = ( (. Wówczas: ( a = ( (dowód idukcja wzgl dem, a wi c szereg a jest zbie»y. Z drugiej stroy a = (, zatem sumy cz ±ciowe a s wi ksze od sum cz ±ciowych. Wobec tego a ie jest bezwzgl die zbie»y. 4

5 Twierdzeie. Je±li szeregi a i b (a + b oraz (a b, i zachodzi c a = c a, = = (a + b = = a + = s zbie»e, to zbie»e s te» szeregi b, = (a b = = a Dowód. Wystarczy skorzysta z wªaso±ci graic ci gów oraz sum uogólioych. = c a, b. Twierdzeie. Je±li szereg a jest zbie»y, to (a oraz ci g reszt (r szeregu a s zbie»e do zera. Dowód. Niech (A b dzie ci giem sum cz ±ciowych a. Zbie»o± r do zera wyika wprost z deicji zbie»o±ci szeregu. Poadto ( ( lim a = lim (A A = lim A lim A = 0. To dowodzi twierdzeia. Twierdzeie (waruek Cauchy'ego zbie»o±ci szeregu. Szereg a jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego ε > 0 istieje N N takie,»e je±li l k N, to a j < ε. Dowód. Jest to waruek Cauchy'ego dla ci gu sum cz ±ciowych. Wiosek (kryterium porówawcze, cz.. Je±li a b dla prawie wszystkich oraz szereg b jest zbie»y, to szereg a jest bezwzgl die zbie»y. Dowód. Wystarczy zauwa»y,»e a j j=l b j i skorzysta z waruku Cauchy'ego zbie»o±ci szeregu. Przykªad 9. Szereg jest zbie»y, bowiem, a szereg geometryczy!! jest zbie»y. Wiosek. Je±li szereg a jest bezwzgl die zbie»y, to jest zbie»y. Twierdzeie. Je±li a 0, to a jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy ci g sum cz ±ciowych jest ograiczoy z góry. Twierdzeie (kryterium porówawcze, cz.. Je±li a b 0 dla prawie wszystkich oraz b jest rozbie»y (do iesko«czoo±ci, to rówie» a jest rozbie»y. Przykªad 0. Szereg jest rozbie»y, bowiem, a szereg harmoiczy jest rozbie»y. Twierdzeie (kryterium o zag szczaiu. Dla ka»dego ieros cego ci gu liczb ieujemych (a i dla ka»dej liczby aturalej k zachodzi a jest zbie»y k a k jest zbie»y. 5 =

6 Dowód. Zachodzi b j a j c j, gdzie b j = a k +, c j = a k gdy k j < k +. Wystarczy zastosowa kryterium porówawcze i to»samo±ci k k które ªatwo udowodi idukcyjie. b j = i= (k i k i a k i = k k k i a k i, i= c j = (k i+ k i a k i = (k k i a k i, i=0 Przykªad. Szereg jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy K >, bowiem szereg zag szczoy K ma t wªaso±. K Przykªad. Szereg jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy K >, bowiem rówowa»ym (log K warukiem jest zbie»o± zag szczoego szeregu = (log K. K Twierdzeie (kryterium Cauchy'ego. Je±li lim sup a <, to szereg a jest bezwzgl die zbie»y. Je±li lim sup a >, to szereg a jest rozbie»y. Dowód. Je±li lim sup a <, to istieje K < takie,»e a < K dla prawie wszystkich. St d a < K dla prawie wszystkich i z kryterium porówawczego a jest zbie»y. Je±li lim sup a >, to ci g (a ie jest zbie»y do zera, a wi c a ie mo»e by zbie»y. Przykªad 3. Szereg lim K =. i=0 K jest zbie»y dla dowolego K R. Wyika to z rówo±ci Twierdzeie (kryterium d'alemberta. Je±li lim sup a + a <, to szereg a jest bezwzgl die zbie»y. Je±li lim if a + a >, to szereg a jest rozbie»y. Dowód. Wobec twierdzeia z cz ±ci dotycz cej ci gów, waruki kryterium d'alemberta implikuj odpowiedie waruki z kryterium Cauchy'ego. Przykªad 4. Szereg jest zbie»y, bowiem lim +!! = 0. (+! Twierdzeie (kryterium Abela. Je±li ci g (a jest ieros cy i zbie»y do zera, a ci g sum cz ±ciowych szeregu b jest ograiczoy, to szereg a b jest zbie»y. Dowód. Niech (B b dzie ci giem sum cz ±ciowych b, B 0 = 0. Zaªó»my,»e B K. Zachodzi: a j b j = a j (B j B j = a + B (a j+ a j B j. Ci g a + B jest zbie»y do zera, atomiast szereg (a + a B jest bezwzgl die zbie»y: (a j+ a j B j K To dowodzi zbie»o±ci a b. Przykªad 5. Szereg cos (a j a j+ = K(a a + Ka. jest zbie»y, bowiem ci g sum cz ±ciowych cos j = si + cos si jest ograiczoy. Dowód idukcyjy powy»szej to»samo±ci wykorzystuje rówo± si cos ( ( + cos + si = si ( + cos, któr ªatwo mo»a dowie± rozwijaj c fukcje trygoometrycze sum i ró»ic k tów. 6

7 Wiosek (twierdzeie Leibiza. Je±li (a jest ieros cym ci giem zbie»ym do zera, to szereg ( a jest zbie»y. Przykªad 6. Szereg aharmoiczy ( jest zbie»y. Twierdzeie. Suma szeregu bezwzgl die zbie»ego ie zale»y od porz dku wyrazów. Iaczej mówi c, je±li b = a σ( dla pewej bijekcji σ : N N, a szereg a jest bezwzgl die zbie»y, to rówie» b jest bezwzgl die zbie»y i oba szeregi maj t sam sum. Dowód. Ozaczmy przez A sum szeregu a. Ustalmy ε > 0 i iech N b dzie tak du»e,»e =N+ a < ε. Niech M b dzie ajwi ksz z liczb σ ( dla =,,..., N. Wówczas dla M zachodzi b j A N a j A + j=n+ a j < ε. To dowodzi tezy twierdzeia. Twierdzeie (wersja twierdzeia Lebesgue'a o zbie»o±ci zmajoryzowaej. Je±li a,k c dla wszystkich, k oraz pewego zbie»ego szeregu c, i poadto lim k a,k = b, to lim k a,k = = b. = Dowód. Poiewa» a,k b a,k + b c, wi c: f(x f(x k a,k b =0 Przechodz c do graicy k otrzymujemy lim sup k N a,k b + =0 f(x f(x k =N+ c. =N+ c. Poiewa» szereg c jest zbie»y, liczba po prawej stroie mo»e by dowolie maªa. dowodzi twierdzeia. To 7