PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,

Transkrypt

1 PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy rówaie Schrӧdigera ˆ ˆ d H = E, H = Δ+ V = m m dx d d me = E + = 0. mdx dx (.) Podstawiając me p = =k mamy do rozwiązaia rówaie d dx me 0,, + k = k = (.) po zapostulowaiu = Ce rx rówaie (.) przyjmuje postać r + k = 0, którego rozwiązaia to r = ik i r = ik. Rozwiązaie ogóle stacjoarego rówaia Schrӧdigera jest więc kombiacją rozwiązań szczególych ( ) ikx ikx x = Ae + Be, A, B - stale, (.3) a peła fukcja falowa z czasem Ψ ( x, t) ma formę: E i t ( ω ) ( ω + ) ( x, t) ( x) e Ae Be Ψ = = +, ω =. (.4) i t kx i t kx E Jeśli mamy do czyieia z cząstką poruszającą się zgodie ze zwrotem osi x to ( ) ( ) i ωt kx Ψ xt, = Ae, B=0, (.5) atomiast, gdy cząstka porusza się przeciwie do zwrotu osi x ( ) ( ) i ω t + kx Ψ xt, = Be, A=0. (.6)

2 Cząstki opisae fukcjami falowymi (.5) i (.6) mogą mieć ciągłe wartości eergii E oraz mają stałą gęstość prawdopodobieństwa ρ ΨΨ = = cost a całej osi x. Ruch cząstki ograiczoy z klasyczego puktu widzeia - ieskończeie głęboka jama potecjału W przypadku cząstki w ieskończeie głębokiej jedowymiarowej jamie potecjału eergia potecjala ( potecjał ) V ( x ) ma postać ; x < 0 - obszar I V ( x) = 0; 0 x - obszar ; x > - obszar I Odpowiedikiem klasyczym może być cząstka aizaa a drucie ograiczoym z obu stro doskoale odbijającymi ściakami. Cząstka może poruszać się bez tarcia po drucie. 0 x Poieważ cząstka ie może zaleźć się w obszarach I i I to = = 0. W obszarze rówaie Schrӧdigera ma postać I I d d me = E + m dx dx = 0, po ozaczeiu me = k mamy do rozwiązaia rówaie d dx + k = (.7) 0,

3 które jest formalie aalogicze z rówaiem oscylatora harmoiczego. Na podstawie tej aalogii rozwiązaie tego rówaia moża zapisać jako ( ) = + ϕ0 x Asi( kx ). Fukcja falowa musi spełiać waruki aturale. Z ciągłości fukcji w pukcie x = 0 otrzy mamy ( 0) = ( 0) 0= Asi( ϕ ) ϕ 0, I 0 0 = czyli ( ) = ( x Asi kx). Z ciągłości fukcji falowych w pukcie x = mamy ( ) ( ) ( ) = Asi k = 0 k=, =,,3, I Wartości A = 0 i = 0wykluczamy z uwagi a zerowaie się fukcji falowej w jamie, ujeme wartości pomijamy, poieważ wartości k są ieujeme. Widać, że z waruków aturalych wyika kwatowaie wartości wektora falowego k = k =, (.8) a także kwatowaiu podlega wartość pędu cząstki p = k =. (.9) Przez k ozaczyliśmy k = me i jedocześie k = k = więc otrzymamy też kwatowaie eergii cząstki me π = E = E = m. (.0) Fukcja falowa zależy także od liczby kwatowej = = (.) ( x) ( x) Asi x. 3

4 Rówaie Schrӧdigera jest rówaiem jedorodym i dlatego fukcja falowa jest zaa z dokładością do możika A. A moża wyzaczyć ormalizując fukcję falową. Poieważ ma zachodzić dp = dv = dx to scałkowaie tej zależości daje 0 I I I I 0 dp = dx + dx + dx x AA dx AA = si = 0 AA = A = A = e iα. iα Zormalizowaa fukcja falowa ma więc postać = e si x, opuszczając ieistoty czyik fazowy i e α (ie wpływa a gęstość prawdopodobieństwa) = si x (.) Peła fukcja falowa z czasem może być zapisaa w formie E i t Ψ ( x, t) = e si x. (.3) Wykresy iżej ilustrują poziomy eergetycze cząstki i rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w ieskończeie głębokiej jedowymiarowej studi potecjału. 4

5 Sta cząstki o = azywamy staem podstawowym, o = - pierwszym staem wzbudzoym, o = 3 drugim staem wzbudzoym, itd. Zasada odpowiediości Bohra Rozważymy, kiedy cząstka zaczie zachowywać się klasyczie. Wyobraźmy sobie małą piłeczkę o masie 3 m = 0 kg, swobodie odbijającą się pomiędzy doskoale sprężystymi ściakami rozmieszczoymi w odległości = 0 m i poruszającą się z prędkością v = m/s. Jej eergia obliczoa klasyczie jest ciągła i wyosi Ekl 3 = mv = 4 0,50 J=50 J. (.4) Eergia piłeczki obliczoa kwatowo ie jest ciągła i wyosi π 0 0 Ekw = m J = 5 0 J. (.5) Przyrówując obydwie eergie możemy oszacować wartość liczby kwatowej 30 od powiadającą cząstce klasyczej: E = E 0. Widać więc jak olbrzymie kl kw liczby kwatowe odpowiadają cząstkom klasyczym. Moża teraz oceić czy istote jest wtedy przewidywae przez mechaikę kwatową kwatowaie eergii cząstki. Zbadamy w tym celu względą różicę sąsiedich poziomów eergetyczych cząstki π π E ( ) + E + m m + = = (.6) E π m Dla dużej liczby kwatowej względa różica sąsiedich poziomów eergetyczych staje się ieistota, czyli kwatowaie eergii moża pomiąć. W przypadku oszacowaej wyżej liczby kwatowej 30 0 względa różica eergii wyosi

6 Na podstawie podobego typu argumetów Bohr zasadę odpowiediości: Cząstka kwatowa dla dużych liczb kwatowych zachowuje się jak cząstka klasycza. 6