OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

Transkrypt

1 Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY f( x) = p+ Liczba punktów p. x p. Zapisanie nierówności p > 0. Rozwiązanie powyższej nierówności:.4 p,,.. ( ) ( ) II sposób rozwiązania podpunktu b) Obliczenie pochodnej funkcji f (x) : p f ( x) =, x p x p ( ) p i zapisanie nierówności < 0 pozwalającej ( x p ) wyznaczyć szukany zbiór wartości parametru p. Uwagi dla sprawdzającego pkt za wykonanie dzielenia ( px ):( x p) = p( x p) + p lub wykorzystanie innej metody, która doprowadzi do zapisania wyrażenia w postaci sumy, np. px ( p) + p f( x) =. x p pkt za zapisanie funkcji w postaci homograficznej: p f( x) = p+. x p pkt przyznajemy za obliczenie pochodnej, pkt za zapisanie nierówności.

2 Stwierdzenie, że ( x p) 0 p 0 <. > i zapisanie nierówności Rozwiązanie nierówności p < 0: ( ) ( ) p,,. III sposób rozwiązania podpunktu b) z zastosowaniem definicji funkcji malejącej. la dowolnych x, x ( p, ) takich, że x < x funkcja f jest malejąca gdy f( x) f( x) < 0. Obliczenie różnicy f ( x) f( x) : p ( x x) ( x x) ( x x)( p ) f( x) f( x) = =. ( x p)( x p) ( x p)( x p) Analiza znaku ułamka: ( x p) > 0, ( x p) > 0 i ( x x) < 0 dla każdego x, x p,. Zapisanie nierówności p > 0. ( ) Rozwiązanie nierówności ( ) ( ) p,,. p > 0: IV sposób rozwiązania podpunktu b) Zapisanie warunku wystarczającego na to, żeby funkcja f, f p+ > p. była malejąca w przedziale ( p + ): ( ) Zapisanie warunku f ( p+ ) > p w postaci: p( p+ ) > p. ( p+ ) p Rozwiązanie nierówności ( ) ( ) p,,. p > 0: pkt zapisanie założeń. pkt doprowadzenie różnicy f ( x) f( x) do postaci iloczynowej. Zauważenie, że wyrażenie f ( x) f( x) przyjmuje wartość ujemną gdy p > 0.

3 ..... Wyznaczenie pierwiastków trójmianu y = x 8x + : x =, x = 6. Rozważenie możliwych przypadków ciągów geometrycznych, które mogą być rosnące:,,6,,6,6, k ( k ), ( k ), ( ) Wyznaczenie wszystkich wartości k, dla których ciąg jest rosnący: k = lub k = lub k = 8.. Zapisanie wzoru funkcji f : f ( x) x.. Rozwiązanie równania ( f ( x) ) 6 = 0: f ( x ) = 4 lub f ( x ) = 4 z niewiadomą ( ) Podanie rozwiązań równania ( f ( x) ) 6 = 0 z niewiadomą x: x = lub x = 6. 6 = log. f x. pkt za rozwiązanie każdego z przypadków. Jeśli zdający nie odrzucił rozwiązania k =, nie przyznajemy punktu. pkt za wykorzystanie definicji logarytmu i zapisanie równania log p 4 =. pkt za wyznaczenie podstawy logarytmu. Za bezpośrednie podanie wzoru funkcji przyznajemy pkt. Zdający może od razu zapisać alternatywę równań : log x= 4 lub log x= 4.

4 Sporządzenie poprawnego rysunku, na którym, np.: oznacza punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną, E,F są punktami styczności przyprostokątnych AC i BC trójkąta z okręgiem. (odcinek C nie zawiera średnicy okręgu wpisanego w dany trójkąt). C Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Δ FBO jest prostokątny i FBO = 0. OF = stąd OB =. 4. Obliczenie długość odcinka FB z Δ FBO : FB =. 4.4 Obliczenie długość odcinka CB: CB = CF + FB = B F O Obliczenie długość odcinka B: B = BF =. Z własności trójkąta opisanego na okręgu. E A Zdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z zaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym okręgiem.

5 Zastosowanie wzoru cosinusów w odcinka C: C = CB + B CB B cos 60 ( ) ( ) Δ CB do obliczenie długości C = = +, C = +. II sposób rozwiązania. Sporządzenie rysunku. C F O B A Skorzystanie z tego, że CE = CF = r (czworokąt CFOE jest kwadratem) oraz ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego AC + BC AB w trójkąt CE = CF =. Przyjęcie oznaczeń, np. a = BC i zapisanie tej równości w postaci: ( ) a+ a a a = =. E, Jeżeli błąd jest spowodowany tym, że punkty C, O, są współliniowe i zdający korzysta z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CB, wtedy nie przyznajemy punktów.

6 6 4. Obliczenie BC = a = = +. Obliczenie AC = +, np. z wykorzystaniem funkcji 4.4 trygonometrycznych w trójkącie ABC. 4.5 Obliczenie AE = A = Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CA i obliczenie długości C : C = AC + A AC A cos 0 ( ) ( ) ( )( ) C = = + C = +. III sposób rozwiązania ( z wykorzystaniem Sporządzenie rysunku. C B F O E, CO ). A

7 Obliczenie miary FO : (wykorzystanie miary kątów czworokąta FOB) FO = 60, FO = 0. Zauważenie, że FOC = 45 i obliczenie CO = = 65. Obliczenie długości odcinka OC. (OC przekątna kwadratu o boku długości ). OC = = Wykorzystanie wzoru redukcyjnego: cos65 = cos5. Zastosowanie wzoru cosinusów w Δ CO : 4.6 C = OC + O OC O cos65 Obliczenie długości odcinka C: ( ) ( ) C = cos5 C = cos5.,. Zdający może pozostawić wynik w takiej postaci: cos5, lub odczytać wartość cosinusa z tablic i podać wynik liczbowy.

8 8 IV sposób rozwiązania. Sporządzenie rysunku. C F B Oznaczmy AB = a. Z własności trójkąta ABC wynika, że a a BC =, AC =. Wyznaczenie pola trójkąta ABC (z zastosowaniem wzoru: S = pr, gdzie p = ( a+ b+ c) i r jest promieniem okręgu wpisanego w a a AC BC a ten trójkąt): a + + = =. 8 Wyznaczenie AB = a z powyższej równości: 4a + = a, AB = a = 6+. Wyznaczenie długości odcinka B: a B = BF = CF = + =. O A

9 Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CB do wyznaczenia długości odcinka C: V sposób rozwiązania. Sporządzenie rysunku. C R C = CB + B CB B cos 60 B A Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Wyznaczenie O A z trójkąta AO: = = tg5 stąd A = A A tg5. Wyznaczenie B z trójkąta BO: B =. O O = = tg0 stąd B B P = A = tg5 (z trójkąta prostokątnego PA, w którym PA = 60 ). P.

10 B R = = (z trójkąta prostokątnego BR, w którym BR = 60 ). Wyznaczenie długości odcinka C z trójkąta prostokątnego CR: 7 C = R + RC = +. 4tg 5 4 VI sposób rozwiązania. Sporządzenie rysunku. C B M F N O E 4. Obliczenie miary kąta ON: ON = 0. N Wyznaczenia N z trójkąta prostokątnego ON: sin 0 O =, 4. N = i ON = O =. 4.4 CM = CF + FM = + ON = +. A

11 4.5 M = N + MN = + OF =. Wyznaczenie C z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CM: C = CM + M = + + = +, C = +. VII sposób rozwiązania. Sporządzenie rysunku. C B F G Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Δ FBO (lub Δ BO ) jest prostokątny i FBO = 0. OF = stąd OB =. Obliczenie długości odcinków FB z FB = i B =. O E Δ FBO i B z Δ BO : A Zdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z zaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym okręgiem. 4.4 Obliczenie długość odcinka CB: CB = CF + FB = +.

12 Obliczenie długości odcinków BG i CG i G: + = BG = BC, + = CG = BC, G = B BG =. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ΔBGC do obliczenie długości odcinka C: C = CG + G + C = + = +, C = +. Sporządzenie wykresu funkcji (skorzystanie z definicji wartości bezwzględnej i sporządzenie wykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji gx ( ) = x x, a następnie naszkicowanie wykresu funkcji f ( x) = g( x) ). Wskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne funkcji f i określenie rodzaju ekstremum: minimum lokalne dla x = 0, maksimum lokalne dla x = oraz x =. = 06,. Wyznaczenie współrzędnych punktów A i B: A = 0,, B = 60, 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu : ( ) 6. ( ) ( ) 6. Wyznaczenie długości odcinka C: C = Obliczenie pola trapezu: P ABC = 6 = 6. Zdający może rozpatrzyć dwa przypadki i za każdy poprawnie rozwiązany otrzymuje pkt. Jeśli jest prawidłowy rysunek to zdający otrzymuje pkt. Przyznajemy punkt jeśli, np. - rysunek jest prawidłowy tylko po jednej stronie osi Oy, - gdy zdający nie wybrał tej części wykresu, która jest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części wykresu).

13 Wyznaczenie cos x z danego równania: cos x = 0 lub cos x =. Wybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0, π : 7. π π 5 x =, x =, x = π, x 4 = π. II sposób rozwiązania. 7. π π Rozwiązanie równania gdy cos x = 0 : x = lub x =. Rozwiązanie równania gdy cos x 0 : pkt - za doprowadzenie równania do najprostszej postaci 7. cos x =. π 5π pkt za rozwiązanie: x = lub x =., poprawnego znaku pochodnej: (+). 8. Zaznaczenie w przedziale ( ) 8. Zapisanie, że mimo poprawienia błędu w tej tabeli umieszczone w niej dane nie pozwalają stwierdzić dokładnie ile miejsc zerowych ma funkcja f: mogą być, albo 4 miejsca zerowe (zdający sporządza rysunki lub przedstawia słowne uzasadnienie). Jeśli zdający podzieli równanie obustronnie przez cos x, bez komentarza dostaje 0 pkt. Jeśli zdający w 7. podzielił równanie przez cos x ale poprawnie rozwiązał otrzymane w ten sposób równanie otrzymuje pkt. Zdający może podać odpowiedź w stopniach. pkt jeśli zdający poda odpowiedź nie pozwala, pkt jeśli poda odpowiedź nie pozwala, bo może mieć lub lub 4 miejsca zerowe (poprawnie wskazuje dwie różne liczby miejsc zerowych, ale nie pokazuje, jak wygląda wykres funkcji). pkt jeśli poda odpowiedź i narysuje dwa wykresy lub pokazuje, że np. w przedziale (, + ) funkcja może mieć 0 miejsc zerowych lub miejsce zerowe.

14 Obliczenie prawdopodobieństwa P( A B) : PA ( B) = PA ( ) PA ( \ B) = 0,. ( pkt za pokazanie metody, pkt za obliczenia) Obliczenie iloczynu prawdopodobieństw P( A) P( B) i zapisanie, że dane zdarzenia są niezależne: P ( A) P( B) = 0,5 0,4 = 0,. Obliczenie różnicy dwóch kolejnych wyrazów w postaci ogólnej: an+ an = p i stwierdzenie, że ciąg ( a n ) jest arytmetyczny. Obliczenie żądanej sumy dwudziestu jeden wyrazów danego ciągu: a0 + a40 S 40 S9 = = 4 lub = 4. b był stały: p + p = Zapisanie warunku na to aby ciąg ( ) n 0.4 Wyznaczenie wszystkich wartości p, dla których ciąg ( b n ) jest stały: p = lub p =.. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: n, n. Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności 0. x nx + n < : ( n, n ). Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność. i zapisanie wzoru funkcji f : n, f (n) = n, dla n>. pkt za przedstawienie metody, pkt za wykonanie obliczeń.

15 5.. Zauważenie, że trójkąt ABC jest prostokątny i kąt ABC ma miarę 60. Zapisanie pola zacieniowanej figury jako odpowiedniej różnicy pól:. np. deltoidu ABC i wypukłego wycinka kołowego BC.. Obliczenie pola deltoidu ABC: P ABC = 64. π.4 Obliczenie pola zacieniowanej figury: P f = 64. C. A. B Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.