ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
|
|
- Maksymilian Michał Osiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany i funkcje wymierne 4 5 Macierze i wyznaczniki 5 6 Układy równań liniowych 7 7 Geometria analityczna w przestrzeni 8 8 Pierwsze kolokwium 9 9 Drugie kolokwium 9 0 Egzamin 0 II Odpowiedzi wskazówki Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany i funkcje wymierne 8 Macierze i wyznaczniki 9 Układy równań liniowych 0 Geometria analityczna w przestrzeni Pierwsze kolokwium Drugie kolokwium Egzamin 4
2 Część I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna. Uprość wyrażenie a b ( a (a a ab + b b ( b a b (b a b a + (c a4 + a b + a b ( b a b a ( a b ( a 4 a b + a b ab + b 4 (d a 6 b 6 + ab 5 ba 5.. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x wyznacz współczynnik przy jeśli (a f(x = (x + sin(x 7 = x 4 sin (x (b f(x = ( e x 0 = e x ( (c f(x = x 4 9 x = x 4 (d f(x = k=0 ( 99 x + x = x x 98.. Zapisz w prostszej postaci liczbę n [( ] n (a k k k=0 n [( ] n (b ( k k k=0 n [ n k ] (k + (k +... n (c (n k! k=0 n [ ( k ] (n k + (n k +... n (d k! n n k. 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n: (a n n(n + (n + = 6 (b n = n (n + 4 (c n + (n + (d liczba 4 n 4 jest podzielna przez. Geometria analityczna na płaszczyźnie. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy wektorami u v jeśli ( (a u = ( v = ( (b u = ( v = ( ( (c u = v =
3 ( (d u = ( v =.. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie ABC jeśli ( ( (a A = ( B = + C = + ( (b A = ( B = ( oraz C = + ( (c A = ( B = C = (0 ( (d A = 0 ( B = 4 C = (.. Oblicz wysokość h trójkąta ABC o podstawie AC jeśli (a A = ( 5 B = (0 6 oraz C = ( (b A = (5 5 B = ( oraz C = (. 4. Wyznacz punkt P 0 przecięcia oraz kąt ϕ pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie określone równaniami { { x = t x = (a oraz y = t y = + s { { x = t x = s (b oraz y = 5 + t y = s. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (a A = (4 6 B = (5 5 i C = (6 (b A = ( + 7 B = (0 + i C = ( Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A B jeśli (a S = ( A = ( B = ( 4 (b S = ( A = ( B = (4. 7. Napisz równania tych stycznych do danego okręgu które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A B pod kątem ϕ jeśli (a równaniem okręgu jest x x + y + 6y + 5 = 0 oraz A = ( B = ( ϕ = π 4 ( (b równaniem okręgu jest x + x + y = 0 oraz A = 4 B = (0 ϕ = π. Liczby zespolone. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a z = + i i (b z = + i 4 + 5i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a Re( iz (b Im(z i = Im(( iz + i (c Re ( z = [Im(iz] 4 (d iz + = iz i (e z = 4z 4.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
4 (a z = ( + i 0 ( i 40 (b z = (c z = ( + i40 ( i 0 ( i 4 ( i 4 ( i 0 (d z = ( + i ( i 4 (e z = ( i 700 ( + i Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a 0 arg( + iz π/ (b Im ( z 4 < 0 (c 0 arg( iz π (d Im ( z 4 > Wyznacz pole P figury (a F = { z C : ( Im ( z 0 ( Im(z < 0 } { ( (b F = z C : 0 Im(z } Re(z ( z. 6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a z z + 4 = 0 (b z + 8z + 5 = 0 (c z + 0z + 4 = 0 (d z 4 = ( + z Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a z = (b z = i (c z = + i (d z = + i (e z =. 8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a z = 8 (b z = 6 (c z = i. 4 Wielomiany i funkcje wymierne. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 5 x 4 + x + x + 7 Q(x = x + x + (b P (x = x 4 + x + x + x + Q(x = x + x +.. Rozłóż wielomian W (x na nierozkładalne czynniki rzeczywiste jeśli (a W (x = x 4 + x x 4x 4 (b W (x = x 4 + x x. 4
5 . Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę R(x z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 4 + x + x + x + Q(x = x (b P (x = x 5 + x 4 Q(x = x Rozłóż wielomian zespolony W (z na czynniki liniowe jeśli (a W (z = z z + 4z 8 (b W (z = z + 5z + 8z Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x na sumę rzeczywistych ułamków prostych jeśli x + (a f(x = x + x + 5x + 4 x + (b f(x = x + x + 4x + 4 (c f(x = x + 5x + x + x + x + (d f(x = x + 4x + 5x + 5 x 4 + x + x + x Rozłóż funkcję wymierną f(x na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych jeśli (a f(x = x4 5x + 5x 9x x 5x + 4x 0 (b f(x = x5 x 4 5x +x x x. 5x 5 Macierze i wyznaczniki. Rozwiąż równanie macierzowe ( ( 0 6 (a A = 0 0 (b A T = (c 0 A T = Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru przez rozwinięcie Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 5 (b W = 7 (c W = (d W = Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 5
6 (b W = Wyznacz te wartości parametru a C dla których macierz A jest nieosobliwa jeśli ( a a (a A = a a (b A = a a a (c A = a a. a 5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową wyznacz macierz odwrotną do macierzy A jeśli ( (a A = 4 (b A = (c A = (d A =. 6. Zbadaj dla jakich parametrów a C istnieje macierz odwrotna A do macierzy A a następnie wyznacz ogólny wzór na A jeśli ( a + (a A = a + 4 a + 4 (b A =. a 7. Wyznacz rząd r(a macierzy A jeśli (a A = 4 (b A = i i i + i 4 (c A = 5 5 i 4 (d A = i W zależności od parametru a C wyznacz rzędy macierzy z zadania Dla macierzy A wyznacz wartości własne λ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v C jeśli 6
7 ( (a A = 4 5 ( (b A = ( (c A = ( 7 (d A = 7. 6 Układy równań liniowych. Rozwiąż układ równań { x + y = (a x y = 5 (b (c (d (e x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = x + y + z + t = x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = x + y + z = x + y + z =. Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.. W zależności od parametru a C rozwiąż układ równań { x + y = 8 (a x ay = 8 (a + 6x + y + z = 4 (b x + (a + 5y + z = 4 x + z = 4.. Wyznacz te wartości parametru a C dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie: { x + y = a (a 8x y = 6 x + y + 4z = a (b 4y z = 5 7x + y + 0z = W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu { x + y = (a 7x + ay = a x + y + az = (b x + ay + z = a ax + y + z = a. 7
8 7 Geometria analityczna w przestrzeni. Wyznacz te wartości parametru a R dla których (a równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5 B = ( C = ( a i wierzchołku E = ( a nad A jest prostopadłościanem (b kąt pomiędzy wektorami u = (a 6 4 oraz v = (a 4 jest prosty (c wektory u = ( a v = ( są równoległe.. Podaj (a równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( B = (0 C = ( 0 5 x = + t + s (b równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym y = + t s z = + t + s (c równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = + t + s y = t + s z = t + s (d równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + z + = 0 { x + y + z = 0 (e równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym x + y + z = 0 x = + t (f równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym y = t z = 4 + t (g równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m : wyznacz punkt przecięcia tych prostych x = + t y = z = + t oraz l : x = t (h równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m : y = z = + t w punkcie ich przecięcia.. Wyznacz odległość d(p π punktu P od płaszczyzny π jeśli (a P = ( π : x + y + z = 0 x = + t + s (b P = ( π : y = + s z = t + s. 4. Wyznacz odległość d(p l punktu P od prostej l jeśli x = + t (a P = ( 4 l : y = + t. (b P = ( 5 l : z = t { x + y + z + 5 = 0 x y z + = Wyznacz rzut prostopadły P punktu P = ( na x = + t (a prostą l : y = + t. z = t { x y z + = 0 (b prostą l : x y + z = 0 (c płaszczyznę π : x + y z + 4 = 0 x = + t s (d płaszczyznę π : y = + t + s z = t. l : x = s y = s z = 5 s; x = s y = + s z = s 8
9 a następnie odbicia symetryczne P punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn. 6. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy (a prostymi l : z = t x = + t y = t (b płaszczyznami π : (c prostą l : 7. Wyznacz pole P x = + t + s y = t s z = t + s { x + y + z + = 0 x y + z + = 0 oraz m : z = s. (a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( x = + s y = + s oraz π : y z = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0. (b równoległoboku o środku w punkcie O = ( i końcach jednego z boków A = ( 4 B = (0 (c trójkąta o wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = (. 8. Wyznacz objętość V (a czworościanu o wierzchołkach A = ( B = ( C = ( i D = ( (b równoległościanu rozpiętego na wektorach u = ( v = ( oraz w = ( (. 8 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A. Oblicz wysokość trójkąta ABC o podstawie BC jeśli A = ( B = ( 4 oraz C = (7.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i 5 ( i 50.. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x = x + 5 x + 4x 5 Zestaw B na sumę rzeczywistych ułamków prostych.. Wyznacz ( w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = ( 6 B = ( 7 oraz C = Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( i 50 ( + i 00.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = x + 6x + x + x + x +. 9 Drugie kolokwium Zestaw A. Wyznacz te wartości parametru p C dla których istnieje macierz odwrotna A do macierzy p 4 A = 4 8 a następnie podaj wzór na A. p 8 6 9
10 q x + y + z = + q. W zależności od parametru q C rozwiąż układ równań x + y + z = 6 x + y + z = 7. { x + y + z 6 = 0. Niech P = ( oraz prosta l będzie dana układem równań x + z = 0. prostopadły punktu P na prostą l oraz odległość tego punktu od prostej l. Wyznacz rzut Zestaw B. Dla macierzy A = 0 0 wyznacz rząd r(a wartości i wektory własne. 0 x + λ y + z = 0 x + y + t = i λ. W zależności od parametru λ C określ ilość rozwiązań układu x + z + t = y + z + t =.. Wyznacz te wartości parametru p R dla których prosta l : jest prostopadła do płaszczy- zny π : x = + u + s y = u + s z = + u + s. symetryczne tego punktu względem płaszczyzny π. 0 Egzamin Zestaw A x = + t y = pt z = + t Ponadto wyznacz rzut punktu P = ( na płaszczyznę π oraz odbicie. Równanie z = ( + z rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.. Rozwiąż równanie macierzowe 0 ( T A =. 0. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu x + y + z = x + y = x + a y + z = + a. 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =. 5. Wyznacz { rzut prostopadły punktu P = ( na prostą x + y + z = 0 l :. x + z = 0. Zestaw B. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z = ( + z. Wyniki podaj w postaci algebraicznej. T 0 (. Rozwiąż równanie macierzowe A T =. 0. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu 6x + y + z = 4x + y = x + a y + z = + a. 0
11 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A = 5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = ( względem płaszczyzny x + y + z + = 0. Zestaw C. Równanie z +(+iz+ i + = 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej. 4. Oblicz wysokość czworościanu ABCD o podstawie ABC jeśli A = ( B = ( C = (0 D = ( 4. y + z =. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań x + y = z trzema niewiadomymi x y z. x + z = 4 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy B = ( 4 5. W zależności od parametru a C określ rząd macierzy D a = Część II Odpowiedzi wskazówki.. a a 0 a 0 a 0 0 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna. (a b (b a (c a b (d. ( 7. (a a 4 = = 5 ( 0 (b a = = 0 ( 9 (c a = = 6 ( 99 (d a = = 99.. (a 4 n (b ( n (c ( + n n ( n n (d. n 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź że teza zachodzi dla n = ; prawdziwe zatem jest twierdzenie T. Następnie z prawdziwości twierdzeń T T... T n (może wystarczyć użycie tylko T n wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+ gdzie n N +..
12 Geometria analityczna na płaszczyźnie. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c π (d ϕ = 7 π. Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów. π w dwóch ostatnich przykładach wyniki można. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c ϕ = π (d ϕ = π 4.. (a h = 0 (b h =.
13 ( 4. (a P 0 = ϕ = π (b P 0 = ( 4 ϕ = π (a (x + (y = 5 (b (x + + (y = (a (x + (y + = 9 (b (x + + (y + = 0.
14 7. (a y = y = 5 x = x = (b y = y = y = x + 4 y = x 4. Liczby zespolone. (a z = i (b z = i.. (a półpłaszczyzna y 4
15 (b prosta y = x (c zbiór będący sumą prostych prostych y = y = (d prosta y = x 5
16 ( 4 (e okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu.. (a z = + i (b z = i (c z = i (d z = (e z = + i. 4. (a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z spełniających trzy warunki: Re(z 0 Im(z oraz z i (przesunięta o wektor (0 czwarta ćwiartka układu współrzędnych z brzegiem i bez punktu (0 ( π (b arg(z 4 π ( π 4 π czterech kątów. ( 5π 4 π ( 7π 4 π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz 6
17 (c Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz z i} (d arg(z kątów. ( 0 π ( π 4 π ( π 5π ( π 4 4 7π co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech 4 5. (a P = 7
18 (b P = π. 6. (a z { + i } i (b z { 4 + i 4 i} (c z { 5 + i 5 i} (d z { 5 5 i } i. 7. (a w 0 = + w = w = (b w 0 = + i w = + i w = i (c w 0 = + i w = ( + + (d w 0 = + + i w = Wskazówka: cos π = (e w 0 = + cos ( π 6 + i w = w = i 8. (a z = z = i z = z = i i w = ( i w = = i. = + sin π = (b z = + i z = + i z = i z = i (c z = + i z = + i z = i z = i. Wielomiany i funkcje wymierne. (a I(x = x x + R(x = 5 i. 8
19 (b I(x = x + x R(x = x (a W (x = (x + (x ( x + x + (b W (x = (x (x + (x + x +.. (a R(x = x + (b R(x = 6x (a W (z = (z (z + i(z i (b W (z = (z + (z + + i(z + i. 5. (a f(x = x + x x + x (b f(x = x + x + + x + x (c f(x = x + x + + x + (d f(x = x + + x + + x (a f(x = x + x 5 + x + 4 (b f(x = x + (x + + x. Macierze i wyznaczniki ( 0. (a A = 0 0 ( 0 (b A = (c A = (.. (a W = (b W = (c W = (d W = 0.. (a W = (b W = (a a C \ {0 } (b a C \ { } 5 5 (c a C \ { }. ( 4 5. (a A 5 5 = (b A = (c A = (d A =
20 6. (a Macierz odwrotna istnieje dla a C \ { 4} wtedy A = (b macierz odwrotna istnieje dla a C \ {} wtedy A = 7. (a r(a = (b r(a = (c r(a = (d r(a =. ( a (a (a+4 a a+ (a (a+4 a a a 0 a 0 a. 8. (a r(a = dla a C \ {0 } r(a = dla a {0 } (b r(b = dla a C \ { } r(b = dla a = r(b = dla a =. (c r(c = 4 dla a C \ { } r(c = dla a = r(c = dla a =. ( 9. (a wartości własnej λ = odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} na ( ( przykład v = wartości własnej λ = 6 odpowiadają wektory własne postaci 4 gdzie C \ {0} na przykład v = ( 4 ( (b wartości własnej λ = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} na przykład ( ( v = wartości własnej λ = odpowiadają wektory własne postaci gdzie ( C \ {0} na przykład v = ( (c wartości własnej λ = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} ( ( i na przykład v = wartości własnej λ i = i odpowiadają wektory własne postaci ( ( gdzie C \ {0} na przykład v ( + i = + i ( (d wartości własnej λ = +i odpowiadają wektory własne postaci gdzie C\{0} ( ( 5 + i na przykład v = wartości własnej λ 5 + i = i odpowiadają wektory własne postaci ( ( gdzie C \ {0} na przykład v ( 5 i =. 5 i Układy równań liniowych. (a x = y = (b x = y = 0 z = (c x = y = z = t =. (d y = t = 4 z = x + z C dowolne (e układ sprzeczny (brak rozwiązań.. (a Dla a C \ { } układ{ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4 y = 0 a dla a = nieskończenie x = 4 wiele rozwiązań postaci y y C (b dla a C \ { 5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 z = a dla a = 5 nieskończenie x = 4 z wiele rozwiązań postaci y = 0 z C. 0
21 . (a a = lub a = (b a =. 4. (a Dla a C\{4} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 4 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań (b dla a C\{ } układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = nieskończenie wiele rozwiązań a dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. Geometria analityczna w przestrzeni. (a a = (b a = 4 lub a = 4 (c a = lub a =.. (a x z + = 0 (b x z = 0 (c x + y z + = 0
22 (d (e (f x = + t + s y = t z = s x = + t y = t z = + t { x + y 4 = 0 y + z 6 = 0 (g punktem wspólnym prostych jest P = ( 4 (dla t = i s = a płaszczyzna ma równanie x z + = 0 x = + t (h y =. z = t.. (a d(p π = (b równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x y + z + 4 = 0 a odległość d(p π =. 4. (a d(p l = 6 (b d(p l =. 5. (a P = ( P = ( ( 4 (b P = 5 ( (c P = 5 ( P = 4 5 P = ( 0 4 (d P = ( 4 P = ( (a ϕ = π (b ϕ = π (c ϕ = π (a P = 6 (b P = 4 6 (c P = (a V = (b V = 5.
23 Pierwsze kolokwium Zestaw A. h = 4.. z = i.. f(x = x + x x + x + 5. Zestaw B π. 6.. z = + i.. f(x = x + + x + x + x +. Drugie kolokwium Zestaw A. Macierz A jest odwracalna dla p C \ {} wtedy A = 0 p p. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla q C \ { } postaci p 4 p 4 0 p 4 p+ 8p 6 8p 6 x = + t Dla q = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 5 t z = t gdzie t C. Dla q =. Rzutem jest P = układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. ( 5 7 a odległość d(p l = 6. x = +q y = +8q +q z = q +q..
24 Zestaw B. Rząd r(a = wartościami własnymi są liczby λ = oraz λ =. Wektory własne dla wartości własnej λ = są postaci v = t s t s gdzie t s C t + s 0 a wektory własne dla wartości własnej λ = są postaci v = t t t gdzie 0 t C.. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla λ C \ { i i} nieskończenie wiele rozwiązań dla λ = i oraz jest sprzeczny dla λ = i.. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny dla p =. Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę π jest P = ( 8 P = 7. ( 6 7 a odbiciem symetrycznym 6 Egzamin Zestaw A. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg a potem rozwiązać równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są liczby z = z = i z = i.. A = 0 ( T (zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie 0 0 A = = Wyznacznik macierzy głównej W = a zatem dla a C \ { } układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Użycie rozumowania : jeśli W = W x = W y = W z = 0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania. Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = λ(λ ( λ. Wartościami własnymi są λ = 0 λ = λ = a wektory własne są odpowiednio postaci 0 v = v = v = 0 gdzie C \ {0}. 4
25 x = t 5. Równaniem parametrycznym prostej l jest na przykład y = z = t ( 0. a jej wektorem kierunkowym u = Płaszczyzna do której należy punkt P i która jest prostopadła do l ma równanie x z = 0. ( Poszukiwanym rzutem jest P =. Zestaw B. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg a potem rozwiązać równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są liczby z = z = i z = i.. Można choć niekoniecznie wykorzystać wzór (X Y T = Y T X T. 0 ( T Wtedy A = (zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie 0 0 A = = Wyznacznik macierzy głównej W = 4a 4 zatem dla a C \ { } układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Użycie rozumowania : jeśli W = W x = W y = W z = 0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania. Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = λ(λ ( λ. Wartościami własnymi są λ = 0 λ = λ = a wektory własne są odpowiednio postaci 0 v = v = v = 0 gdzie C \ {0}. 5. Prosta do której należy punkt P i która jest prostopadła do danej płaszczyzny ma na przykład równanie x = + t ( y = + t Rzutem punktu P na daną płaszczyznę jest P = 5 a poszukiwanym odbiciem z = t. ( symetrycznym P = 7. 5
26 Zestaw C. = = { i i}. Rozwiązaniami są liczby z = z = i.. Równaniem płaszczyzny podstawy π jest x y + = 0. Wysokość h = d(d π =.. Macierz główna A = jej odwrotność A = Kolumna niewiadomych X = A 4 = Formułujemy odpowiedź: x = y = 0 z = Wielomian charakterystyczny w(λ = (λ + (λ 5 stąd wartościami własnymi są λ = λ = 5. ( 4 Dla wartości własnej λ wektory własne są postaci v = ( dla wartości własnej λ wektory własne są postaci v = w obu przypadkach C \ {0}. 5. Wyznacznik det (D a = 4a 4 zatem dla a C \ { } rząd r (D a = 5. Oddzielnie sprawdzając r (D = 4 r (D = 4.. 6
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ częściowe notatki z wykładów, rozwiązane przykłady, zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki zadania strona główna Spis treści I Geometria analityczna w R Płaszczyzna i wektory
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowoOdległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.
GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowo1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoWskazówki do zadań testowych. Matura 2016
Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowo(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo