ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
|
|
- Kazimierz Bielecki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone 6 4 Wielomiany i funkcje wymierne 1 5 Macierze i wyznaczniki 13 6 Układy równań liniowych 17 7 Geometria analityczna w R Pierwsze kolokwium 1 9 Drugie kolokwium 10 Egzamin 3 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1. Uprość wyrażenie a b ( a (a a ab + b b 1 ( b a b (b a b a + 1 (c a4 + a 3 b + a b ( b a 3 b 3 a 1 ( a b ( a 4 a 3 b + a b ab 3 + b 4 (d a 6 b 6 + ab 5 ba 5.. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x wyznacz współczynnik przy α jeśli (a f(x = (x + sin(x 7 α = x 4 sin 3 (x (b f(x = (1 e x 10 α = e 3x 1
2 ( (c f(x = x x α = x 4 (d f(x = k=0 ( 99 1 x + 3 x α = 3 x x Zapisz w prostszej postaci liczbę n [( ] n (a 3 k k k=0 n [( ] n (b ( k k k=0 n [ n k ] (k + 1(k +... n (c (n k! k=0 n [ ( 1 k ] (n k + 1(n k +... n (d k! n n k. 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : (a n n(n + 1(n + 1 = 6 (b n 3 = n (n (c 3 n + 1 (n + 1 (d liczba 4 n 4 jest podzielna przez 1. Odpowiedzi wskazówki 1. (a 1 b (b 1 a (c a b (d 1.. (a a 4 = ( 7 3 = 35 (b a 3 = ( 10 3 = 10 (c a = ( 9 = 36 (d a 1 = ( 99 1 = (a 4 n (b ( 1 n (c (1 + n n (d ( 1 n n. n 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1. Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1 T... T n (może wystarczyć użycie tylko T n wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+1 gdzie n N +.
3 Geometria analityczna w R 1. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ pomiędzy wektorami u v jeśli ( (a u = 1 ( 3 v = 1 3 ( (b u = ( 3 1 v = 1 3 ( ( (c u = v = 1 3 ( (d u = ( v = 3 1. Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów.. Wyznacz kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach ( ( (a A = (1 1 B = C = ( (b A = ( 1 B = (3 oraz C = ( (c A = 1 1 ( B = C = (0 1 ( (d A = 0 3 ( B = 4 C = ( 1 3. π w dwóch ostatnich przykładach wyniki można 1 3. Oblicz długość h wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach (a A = (3 5 B = (0 6 oraz C = ( (b A = (5 5 B = ( 1 oraz C = ( Wyznacz punkt P 0 przecięcia oraz kąt ϕ pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie określone równaniami { { x = 3 t x = 3 (a oraz y = t y = 1 + s { { x = 3 3 t x = s (b oraz y = 5 + t y = 1 3 s gdzie t s R. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (a A = (4 6 B = (5 5 i C = (6 (b A = ( B = ( i C = ( Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów płaszczyzny których (a odległość od punktu A = (1 jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4 5 (b odległość od punktu A = ( 0 jest trzy razy mniejsza od odległości od punktu B = ( Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A B jeśli (a S = (1 3 A = ( 1 B = ( 4 (b S = ( 1 A = (1 B = ( Napisz równania tych stycznych do danego okręgu które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A B pod kątem ϕ jeśli (a równaniem okręgu jest x x + y + 6y + 5 = 0 oraz A = ( B = (1 1 ϕ = π 4 ( (b równaniem okręgu jest x + x + y 3 = 0 oraz A = 3 4 B = (0 1 ϕ = π 3. 3
4 Odpowiedzi wskazówki 1. (a ϕ = π 3 (b ϕ = π 6 (c 11 1 π (d ϕ = 7 1 π.. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c ϕ = 3 π (d ϕ = π (a h = 10 (b h =. 4
5 4. (a P 0 = ( 3 1 ϕ = 1 3 π (b P 0 = ( 3 4 ϕ = π (a (x 1 + (y = 5 (b (x + + (y 3 = Okrąg zwany okręgiem Apoloniusza o równaniu (a (x 1 + (y = 5 (b ( x 5 + y = ( 3. 5
6 7. (a (x 1 + (y + 3 = (b (x + + (y + 1 = (a y = 1 y = 5 x = 1 x = 3 (b y = y = y = 3 x y = 3 x Liczby zespolone 1. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a z 1 = 1 + i i 6
7 (b z = + 3i 4 + 5i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a Re( iz (b Im(z i = Im(( iz + i (c Re ( z = [Im(iz] 4 (d iz + = iz i (e z = 4z Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a z 1 = (1 + 3i 0 (1 i 40 (b z = (c z 3 = (1 + i40 ( 3 i 0 ( 3 i 4 (1 3i 14 (1 i 0 (d z 4 = ( 3 + i 1 (1 i 4 (e z 5 = (1 i ( 1 + i Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a 0 arg(1 + iz π/ (b Im ( z 4 < 0 (c 0 arg( iz π (d Im ( z 4 > Wyznacz pole figury (a F 1 = { z C : Im ( z Im(z < 0 } { (b F = z C : 0 Im(z 1 } Re(z z W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a z z + 4 = 0 (b z + 8z + 5 = 0 (c z + 10z + 34 = 0 (d z 4 = ( 1 + z Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a z = 1 (b z = i (c z = + i (d z = 1 + i (e z =. 7
8 8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a z = 81 (b z = 16 (c z = i. Odpowiedzi wskazówki 1. (a z 1 = i (b z = i.. (a półpłaszczyzna y (b prosta y = 1 3 x 3 8
9 (c proste y = y = (d prosta y = x (e okrąg o środku w punkcie ( i promieniu (a z 1 = i (b z = 1 3 i (c z 3 = 1 3 i (d z 4 = 1 (e z 5 = i. 9
10 4. (a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z określonych przez warunki Re(z 0 Im(z 1 z i (przesunięta o wektor (0 1 czwarta ćwiartka układu współrzędnych z brzegiem i bez punktu (0 1 (b arg(z ( π kątów. 4 π ( 3π 4 π ( 5π 4 ( 3π 7π 4 π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech (c Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz z i} 10
11 (d arg(z ( 0 π 4 ( π 3π 4 ( ( π 5π 4 3π 7π 4 co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech kątów. 5. (a P = 3 3 (b P = π 3. 11
12 6. (a z { i 1 3 i } (b z { i 4 3 i} (c z { i 5 3 i} (d z { i i}. 7. (a w 0 = w 1 = 1 w = 1 3 (b w 0 = i w 1 = 3 (c w 0 = 1 + i w 1 = ( (d w 0 = i w 1 = 1 Wskazówka: cos ( π i w = i i w = 1 3 = 1+cos( π 1 = (e w 0 = + i 6 w 1 = w = i (a z = 3 z = 3i z = 3 z = 3i i w = ( i. + 3 = 1+ 3 sin ( π (b z = + i z = + i z = i z = i (c z = 3 + i z = 1 + 3i z = 3 i z = 1 3i. 4 Wielomiany i funkcje wymierne 1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 5 x 4 + 3x 3 + x + 7 Q(x = x 3 + x + 1 (b P (x = x 4 + x 3 + x + x + 1 Q(x = x + x Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian (a W (x = x 4 + x 3 3x 4x 4 (b W (x = x 4 + x 3 x. i = Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę R(x z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 4 + x 3 + x + x + 1 Q(x = x 1 (b P (x = x 5 + x 4 Q(x = x Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z jeśli (a W (z = z 3 z + 4z 8 1
13 (b W (z = z 3 + 5z + 8z Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą x + 3 (a f(x = x 3 + x + 5x + 4 x + (b f(x = x 3 + 3x + 4x + 4 (c f(x = 3x + 5x + 1 x 3 + 3x + 3x + (d f(x = x3 + 4x + 5x + 5 x 4 + 3x 3 + 3x + 3x Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną (a f(x = x4 5x 3 + 5x 19x 1 x 3 5x + 4x 0 (b f(x = x5 x 4 5x 3 +3x x 3 x. 5x 3 Odpowiedzi wskazówki 1. (a I(x = x x + R(x = 5 (b I(x = x + x 3 R(x = x (a W (x = (x + (x ( x + x + 1 (b W (x = (x 1(x + (x + x (a R(x = x + 3 (b R(x = 16x (a W (z = (z (z + i(z i (b W (z = (z + 3(z i(z + 1 i. 5. (a f(x = 1 x +x x+1 (b f(x = x x +x+ + 1 x+ (c f(x = x x +x x+ (d f(x = 1 x x+ + 1 x (a f(x = x + 1 x x +4 (b f(x = x + 1 (x x 3. 5 Macierze i wyznaczniki 1. Rozwiąż równanie macierzowe ( ( (a A 3 = (b A T = (c A T =
14 . Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru przez rozwinięcie Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = (b W = (c W = (d W = Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = (b W = Wyznacz te wartości parametru a C dla których macierz A jest nieosobliwa jeśli ( a a (a A = a a 1 1 (b A = 1 1 a 1 a 1 a (c A = 1 a a. 1 1 a 1 5. Dwoma sposobami za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową wyznacz macierz odwrotną do macierzy A jeśli ( 1 1 (a A = (b A = (c A = (d A = Zbadaj dla jakich parametrów a C istnieje macierz odwrotna A 1 do macierzy A a następnie wyznacz ogólny wzór na A 1 jeśli 14
15 ( a + 1 (a A = a + 4 a + 4 (b A = a. 7. Wyznacz rząd r(a macierzy A jeśli 1 1 (a A = 3 4 (b A = 1 i i 1 i 1 + i (c A = i 0 (d A = 3 i W zależności od parametru a C wyznacz rzędy macierzy z zadania Dla macierzy A wyznacz wartości własne λ C i odpowiadające im nieskomplikowane przykłady wektorów własnych v C jeśli ( 1 (a A = 4 5 ( 1 3 (b A = ( 1 1 (c A = 1 ( 7 (d A = Odpowiedzi wskazówki ( (a A = ( (b A = (c A = ( (a W = 1 (b W = 13 (c W = (d W = (a W = 1 (b W = (a a C \ {0 } 15
16 (b a C \ { 1} (c a C \ { 3 1}. 5. (a A 1 = ( (b A 1 = (c A 1 = (d A 1 = (a Macierz odwrotna istnieje dla a C \ {1 4} wtedy A 1 = (b macierz odwrotna istnieje dla a C \ {1} wtedy A 1 = 7. (a r(a = (b r(a = 1 (c r(a = (d r(a = 3. ( 1 a 1 (a 1(a+4 1 a+1 a 1 (a 1(a+4 a 1 1 a 1 1 a a 1 0 a (a r(a = dla a C \ {0 } r(a = 1 dla a {0 } (b r(b = 3 dla a C \ { 1} r(b = dla a = r(b = 1 dla a = 1. (c r(c = 4 dla a C \ { 3 1} r(c = 3 dla a = 3 r(c = 1 dla a = 1. ( α 9. (a wartości własnej λ 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na ( α ( 1 α przykład v 1 = wartości własnej λ 1 1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci 4α ( 1 gdzie α C \ {0} na przykład v = 4 ( α (b wartości własnej λ 1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na przykład α ( ( 1 3α v 1 = wartości własnej λ 1 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α α C \ {0} na przykład v = (c wartości własnej λ 1 na przykład v 1 = ( α (1 + iα ( 3 ( α = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} ( (1 iα 1 wartości własnej λ 1 i = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na przykład v = ( i 16
17 ( (d wartości własnej λ 1 = +3i odpowiadają wektory własne postaci ( na przykład v 1 = ( α ( 5 3iα 5 + 3i gdzie α C \ {0} na przykład v = 6 Układy równań liniowych 1. Rozwiąż układ równań { x + y = 3 (a x 3y = 5 (b (c (d (e x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = x + y + z + t = x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = 1 x + y + z = 1 3x + y + 3z = 3. α ( 5 + 3iα gdzie α C\{0} wartości własnej λ = 3i odpowiadają wektory własne postaci (. 5 3i Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.. W zależności od parametru a C rozwiąż układ równań { x + 3y = 8 (a x ay = 8 (a + 6x + y + z = 4 (b x + (a + 5y + z = 4 x + z = Wyznacz te wartości parametru a C dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie: { x + 3y = a (a 8x 1y = 36 x + y + 4z = a (b 4y z = 5 7x + y + 10z = W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu { x + y = 1 (a 7x + ay = a x + y + az = 1 (b x + ay + z = a ax + y + z = a 1. 17
18 Odpowiedzi wskazówki 1. (a x = 1 y = (b x = 1 y = 0 z = 1 (c x = 1 y = 1 z = t =. (d y = t = 4 z = x + z C dowolne (e układ sprzeczny (brak rozwiązań.. (a Dla a C \ { 3} układ{ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 a dla a = 3 nieskończenie x = 4 3 wiele rozwiązań postaci y y C (b dla a C \ { 5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 z = a dla a = 5 nieskończenie x = 4 z wiele rozwiązań postaci y = 0 z C. 3. (a a = 3 lub a = 3 (b a = (a Dla a C\{14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań (b dla a C\{ 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = nieskończenie wiele rozwiązań a dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 7 Geometria analityczna w R 3 1. Wyznacz te wartości parametru a R dla których (a równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5 1 B = ( 1 C = (3 a 3 i wierzchołku E = ( a nad A jest prostopadłościanem (b kąt pomiędzy wektorami u = (a 16 4 oraz v = (a 1 4 jest prosty (c wektory u = (1 a 1 v = (3 1 3 są równoległe.. Poniżej parametry t s R. Podaj przykład (a równania ogólnego płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( B = (0 1 C = (3 0 5 x = 1 + t + s (b równania ogólnego płaszczyzny o równaniu parametrycznym y = + t s z = 1 + t + s (c równania ogólnego płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s z = 1 t + s (d równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + z + 1 = 0 { x + y + z 1 = 0 (e równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym x + y + 3z = 0 x = 1 + t (f równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym y = t z = 4 + t (g równania ogólnego płaszczyzny zawierającej proste m : wyznacz punkt przecięcia tych prostych x = 1 + t y = 1 z = 1 + t oraz l : x = 3 s y = s z = 5 s; 18
19 x = t (h równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych m : y = 1 z = 1 + t w punkcie ich przecięcia. l : x = s y = + s z = 1 s 3. Wyznacz odległość d(p S punktu P od płaszczyzny S jeśli (a P = ( 1 3 S : x + y + z 3 = 0 x = 1 + s + t (b P = (1 1 S : y = + s gdzie t s R. z = 1 + s t 4. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy x = 1 + t + s (a płaszczyznami S 1 : y = t s gdzie t s R oraz S : y z 1 = 0 z = t + s { x + y + z + = 0 (b prostą l : i płaszczyzną S : x + y + 5 = 0. x y + z + 3 = 0 5. Wyznacz pole P (a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( 1 (b równoległoboku o środku w punkcie O = ( 1 i końcach jednego z boków A = ( 4 B = (0 (c trójkąta o wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( Wyznacz objętość V (a czworościanu o wierzchołkach A = (1 1 1 B = ( C = (1 i D = ( (b równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1 1 1 v = (1 1 oraz w = ( (1 3. Odpowiedzi wskazówki 1. (a a = 3 (b a = 4 lub a = 4 (c a = lub a =.. (a x z + = 0 19
20 (b x z = 0 (c x + 3y z + 1 = 0 (d (e (f x = 1 + t + s y = t z = s x = 1 + t y = 1 t z = 1 + t { x + y 4 = 0 y + z 6 = 0 (g punktem wspólnym prostych jest P = ( 1 4 (dla t = 3 i s = 1 a płaszczyzna ma równanie x z + = 0 x = 1 + t (h y = 1. z = t. 3. (a d(p S = 1 (b równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x y + z + 4 = 0 a odległość d(p S = 3. 0
21 4. (a ϕ = π 3 (b ϕ = π (a P = 6 (b P = 4 5 (c P = (a V = 1 (b V = Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A 1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( B = ( 4 oraz C = (7 1.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( 3 + i 5 (1 i Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = x + 5 x 3 + 4x 5. Odpowiedzi wskazówki 1. h = 34.. z = 1 3 i. 3. f(x = 1 x 1 + Zestaw B x x +x Wyznacz ( w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = ( 6 B = (3 7 oraz C = Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i 3 50 ( 1 + i
22 3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = 3x + 6x + 3 x 3 + 3x + 3x +. Odpowiedzi wskazówki 1. π 6.. z = i. 3. f(x = 1 x+ + x+1 x +x+1. 9 Drugie kolokwium Zestaw A 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + s y = + t gdzie t s R. z = t + s 3. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 3x + (1 + ay + ( + az = 1 + a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? ax + y + z = a 1. Odpowiedzi wskazówki A 1 = x + 3y z 11 = a = 1. Zestaw B 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + s y = gdzie t s R. z = t + s 3. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 3x + (1 + ay + ( + az = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1.
23 Odpowiedzi wskazówki B 1 = y =.. 3. a =. 10 Egzamin Zestaw A 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek Im ( z 3 <. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Sprawdź otrzymany wynik wykonując mnożenie macierzy.. 3 z Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka w czworościanie o wierzchołkach A = (1 1 1 B = ( 3 4 C = ( 5 8 D = ( opuszczoną z wierzchołka D. 5x 7y 5z + t = 0 4. Rozwiąż układ równań x y z = 8 x y z t = W zależności od parametru a R wyznacz rząd macierzy A = Odpowiedzi wskazówki a 1 1 a + 1 a 1 a Otrzymujemy Im ( z 3 = z 3 sin(3ϕ < 3 z 3 stąd z 0 oraz sin(3ϕ < 3 (. Otrzymujemy 3ϕ 4 3 π 1 3 π ( 3 π 7 3 π ( π 3 π zatem ϕ ( 4 9 π 1 9 π ( 9 π 7 9 π ( π 9 π co przedstawia sumę wnętrz trzech kątów A 1 = Równanie x y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy wysokość to odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h = x = z y = z R t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. r(a = 3 dla a R \ { 1 1 } r(a = dla a = 1 r(a = 1 dla a = 1. Zestaw B 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek Re ( z 3 1 z 3.. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Sprawdź otrzymany wynik wykonując mnożenie macierzy... 3
24 3. Wyznacz odległość punktu P = ( 1 1 od płaszczyzny x = 1 + t + s y = 1 + s gdzie t s R. z = t + s 4x 6y 4z + 6t = 4 4. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = Wyznacz wartości własne macierzy ( A a następnie dla nich podaj po jednym nieskomplikowym przykładzie 6 wektora własnego jeśli A =. 1 1 Odpowiedzi wskazówki 1. Otrzymujemy Re ( z 3 = z 3 cos(3ϕ 1 z 3 stąd z = 0 lub cos(3ϕ 3. W tym drugim przypadku 3ϕ [ 1 3 π 1 3 π] [ 5 3 π 7 3 π] [ π 3 π] zatem ϕ [ 1 9 π 1 9 π] [ 5 9 π 7 9 π] [ π 9 π]. Zbiór A jest sumą trzech kątów wraz z brzegami.. A 1 = Równanie 4x 5y + z 3 = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny odległość d = x = z y = z R t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. ( 3α 5. wartości własnej λ 1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α 0 na przykład v α 1 = ( ( 3 α wartości własnej λ 1 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α 0 na przykład ( α v =. 1 Zestaw C 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek 0 arg( iz π.. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny µ o równaniu pomiędzy płaszczyzną µ i prostą l o równaniu 3. Rozwiąż równanie macierzowe X 1 = ( x = 1 + t + s y = t + s z = 1 t + s x = 3 t y = 6t z = 1 + 4t gdzie X 1 oznacza macierz odwrotną do macierzy X Określ dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + ay + (1 + az = 1 + a x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? gdzie t s R. a następnie w mierze łukowej kąt 5. Wyznacz wartości własne macierzy ( A a następnie dla nich podaj po jednym nieskomplikowym przykładzie 1 wektora własnego jeśli A =
25 Odpowiedzi wskazówki 1. Jest to (przesunięta ćwiartka płaszczyzny bez wierzchołka A = {z C : Re(z 0 Im(z } \ { i}.. x + 3y z + 1 = 0 α = π. ( 1 3. X = a =. 5. Wartości własnej λ 1 = i odpowiada na przykład wektor własny v 1 = ( λ = i odpowiada na przykład wektor własny v =. 1 i ( 1 + i 1 wartości własnej 5
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ częściowe notatki z wykładów, rozwiązane przykłady, zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki zadania strona główna Spis treści I Geometria analityczna w R Płaszczyzna i wektory
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoOdległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.
GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowo1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) 2+1 Liczba
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoWskazówki do zadań testowych. Matura 2016
Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowo