Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Transkrypt

1 Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/ listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura jako funkcję s(t) i oblicz pochodną s (t). 1. Eksperyment Galileusza (a) Galileusz badając ruch ciała na równi pochyłej do- najpierw oznaczamy świadczalnie stwierdził, że jeśli oznaczymy położenia ciała w równo oddalonych miejsce, którym chwilach czasu, to ciąg otrzymanych długości ma się do siebie jak 1 : 3 : 5 :... zaczęło ruch (kolejne liczby nieparzyste). Podaj wzór na położenie ciała w n-tej chwili. (b) Rozszerzając ten wzór dla dowolnej liczby rzeczywistej, policz prędkość i przyspieszenie ciała. Przypomnijmy, że jeśli s(t) to położenie w chwili t, to prędkość v(t) równa jest pochodnej s (t), zaś przyspieszenie to pochodna v (t). w ciało swój a 3a 5a 7a 2. Ruch prostoliniowy Prostoliniowy ruch punktu opisany jest równaniem s(t) = t 5t 2. Wyznacz prędkość oraz przyspieszenie jako funkcje od czasu. Ile wynosi prędkość i przyspieszenie w momencie t = 2? 3. Domowy ruch prostoliniowy (*) Prostoliniowy ruch punktu opisany jest równaniem s(t) = A + Bt + Ct 2. Wyznacz prędkość oraz przyspieszenie jako funkcje od czasu. Dla jakich wartości parametrów A, B i C funkcja s(t) opisuje ruch taki, że dla t = 0 ciało znajduje się w położeniu s = 1, ma prędkość 2, zaś przyspieszenie równe 4? 4. Ruch po okręgu (a) Funkcja p : R R 2 zadana jest wzorem: p(t) = (cos t, sin t). Pokaż, że jest to krzywa parametryczna opisująca okrąg oraz, że jeśli t potraktujemy jako czas to opisuje ona ruch ze stałą prędkością kątową o okresie 2π. (b) Wektor styczny do krzywej r(t) = (x(t), y(t)) w punkcie t 0 definiujemy jako r (t 0 ) = [x (t), y (t)]. Narysuj wektory styczne do krzywej p(t) w t = 0, t = π, t = π/2, t = π/4 oraz dla dowolnego t. Wyjaśnij nazwę wektor styczny.

2 5. Rzut kamieniem (***) Napisz równanie funkcji p : R R 2 opisującej ruch punktu materialnego rzuconego w pionowej płaszczyźnie OXY pod kątem α do poziomu (opór powietrza zaniedbaj). Wyznaczyć prędkość v : R R 2, v = p i przyspieszenie a : R R 2, a = v. Ile wynosi maksymalna prędkość i zasięg rzutu? 6. Ulubione twierdzenie studentów Podaj przykład funkcji f(x) i punktu x 0, dla których f (x 0 ) = 0, ale funkcja f nie ma w punkcie x 0 ekstremum. Czy często spotykane w pracach studentów twierdzenie: ponieważ f (x 0 ) = 0, to w x 0 funkcja f ma ekstremum jest prawdziwe, czy fałszywe? 6. Ekstrema (a) Wyraź pole prostokąta S o obwodzie O jako funkcję długości jednego z jego boków a. (b) Naszkicuj wykres funkcji S(a). (c) Jaki prostokąt o obwodzie O ma największe pole? 1. Miasto Novigrad leży 100km na północ od Oxenfurtu. Z Novigradu na południe wypływa statek z prędkością 20km/h, zaś z Oxenfurtu na zachód barka z prędkością 10km/h. Jaka jest najmniejsza odległość między tymi jednostkami? 2. Dobowe koszty pływania statku składając się z dwóch części: stałej, równej a złotych i zmiennej, wprost proporcjonalnej do sześcianu szybkości. Jaka szybkość statku jest najbardziej ekonomiczna? 3. Znaleźć stożek o tworzącej 1, który ma największą objętość. 4. Dla ustalonego p znaleźć odległość punktu P = (p, p) od paraboli y 2 = 2px (to znaczy najmniejszą wartość wyrażenia d(p, A), gdzie A jest dowolnym punktem paraboli, zaś d(p, A) to odległość między P oraz A). 5. W elipsę x2 + y2 = 1 wpisz prostokąt o największym polu, którego boki są równoległe do osi elipsy. ostatnie zadanie wymaga(?) umiejętności różniczkowania pierwiastków 7. Wzór stycznej Styczna do wykresu funkcji f przechodząca przez punkt (x 0, f(x 0 )) zadana jest wzorem: y f(x 0) x x 0 = f (x 0 ) (a) Podaj wzór stycznej w postaci y = ax + b do wykresu funkcji f przechodzącej przez punkt (x 0, f(x 0 )) dla poniższych f i x 0 : (i) f(x) = 3 x, x 0 = 1 (ii) f(x) = sin x, x 0 = π 6 (iii) f(x) = ln x, x 0 = 1 (b) Oblicz przybliżoną wartość 3 1, 02, sin 29 o, ln 1, 1. gdybyśmy chcieli poprawić przybliżenie, powinniśmy skorzystać z tzw. wzoru Taylora 2

3 Całkowanie 8. Znowu pole (**) (a) Oblicz całkę oznaczoną 2π sin 2 x. (może przydać się wzór sin 0 2 x + cos 2 x = 1) (b) W polskich kontaktach płynie prąd zmienny, którego napięcie jest zadane wzorem U(t) = U max sin(ωt), gdzie U max to natężenie maksymalne, zaś ω/(2π) to T 0 U 2 (t) dt, częstotliwość. Napięcie skuteczne wyraża się wzorem U sk = 1 T gdzie T to odwrotność częstotliwości, czyli okres. Wiedząc, że napięcie skuteczne wynosi 230V, oblicz napięcie maksymalne. 9. Funkcja pierwotna Definicja Funkcja pierwotna funkcji f(x) to taka funkcja F (x), że F (x) = f(x). Twierdzenie Jeśli F (x) 0 (czyli F to funkcja tożsamościowo równa zero), to F (x) jest funkcją stałą. Wywnioskuj z twierdzenia powyżej, że jeśli F (x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x), to istnieje liczba rzeczywista C taka, że G(x) = F (x) + C. Pokaż, że zbiór funkcji pierwotnych funkcji x to { 1 2 x2 + C : C R}. 10. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego Twierdzenie Jeśli F (x) = x 0 f(t) dt, to F jest funkcją pierwotną funkcji f (czyli F (x) = f(x)). (a) Pokaż, że dla dowolnej F (x) funkcji pierwotnej f(x) zachodzi: f(x) dx = F (b) F (a) (to ostatnie wyrażenie zapisujemy czasem jako F (x) b a). 11. Całka nieoznaczona Zbiór funkcji pierwotnych f, to znaczy funkcji F, które spełniają równanie F (x) = f(x) nazywamy całką nieoznaczoną f(x) i oznaczamy f(x) dx. Przykład: x dx = 1 2 x2 + C (nawiasy klamrowe są zwyczajowo omijane). (a) Oblicz całkę x n dx dla dowolnego n. (b) Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą y = x 3 a prostą y = x. 12. Całki z wielomianów Oblicz: (a) 2x + 1 dx (b) x 2 3x dx (c) (5 x)(2 x) dx (d) (3 x 2 ) 3 dx (e) x 2 (6 x) dx (f) (6 x) 2 x 3 b a

4 13. Pochodne i całki (**) (a) Dla wielomianu P (x) obliczyć pochodną e x (P (x) P (x) + P (x)...). (b) Podaj wzór na całkę z P (x)e x. (c) Obliczyć całkę x 3 e x dx. 4

5 Zadania ponadprogramowe Obliczanie pochodnych Pochodne funkcji elementarnych Wiedząc, że: (x α ) = αx α 1 dla dowolnej liczby rzeczywistej α (sin x) = cos x i (cos x) = sin x (e x ) = e x i (ln x) = 1 x oraz wykorzystując własności arytmetyczne pochodnych oblicz pochodne funkcji: (a) f(x) = 1 x + 1 2x x 3 (b) f(x) = sin x x (c) f(x) = (2 x 2 ) cos x + 2x sin x (d) f(x) = sin 2x 2 cos x (e) f(x) = e x (x 2 2x + 2) (f) f(x) = x ln x (g) f(x) = ln x 2 (h) f(x) = log 2 x 3 Pochodne funkcji złożonych (a) Ze wzoru na pochodną iloczynu oblicz pochodną funkcji (f(x)) 2. Wyprowadź i udowodnij (indukcyjnie) wzór na pochodną (f(x)) n dla dowolnego n naturalnego. (b) Jeśli f i g są różniczkowalne, zaś h(x) = f(g(x)), to h (x) = f (g(x)) g (x). Dla 1 dowolnej funkcji f(x) podaj wzór na pochodną funkcji. Wyprowadź z tego f(x) wzór na pochodną ilorazu f(x). g(x) (c) Oblicz pochodne: (i) y = e x2 (ii) y = cos 2x 2 sin x (iii) y = sin[sin(sin x)] (iv) y = sin(cos 2 x) cos(sin 2 x) (v) y = ln(x + x 2 + 1) (d) Wykorzystując fakt, że x = e ln x dla dowolnego x > 0 oraz własności logarytmu, udowodnij wzór na pochodną x α. Wzory na pochodną Obliczyć y korzystając ze wzorów (w tablicach, Wikipedii...): 5

6 (a) y = 2x 1 x 2 (b) y = 1+x x2 1 x+x 2 (c) y = e x (x 2 2x + 2) (d) y = log 3 x 2 (e) y = 1 2 ln(1 + x) 1 4 ln(1 + x2 ) 1 2(1+x) (f) y = arcsin x 2 (g) y = arccos 1 x 2 (h) y = arctg x2 a (i) y = x arctg x (j) y = x + 1 x 2 arccos x Zastosowania pochodnych Badanie przebiegu zmienności funkcji Wyznacz przedziały monotoniczności i naszkicuj wykresy następujących funkcji: (a) y = 2 + x x 2 (b) y = 3x x 3 (c) y = 2x 1 x 2 (d) y = x + sin x (e) y = x 5 e x Przy ostatnim punkcie odpowiedz na pytanie: dla jakich n naturalnych e n > n 5? Twierdzenie Fermata Twierdzenie Jeśli pochodna f (x 0 ) jest dodatnia (ujemna) to funkcja f w pewnym otoczeniu x 0 jest rosnąca (malejąca). Wywnioskuj z tego twierdzenia, że jeśli w punkcie x 0 funkcja ma ekstremum, to f (x 0 ) = 0. Podaj przykład, że zdanie odwrotne nie jest prawdziwe. to nie jest to twierdzenie, o którym myślisz ;) Styczne 1. W jakich punktach krzywej y = 2 + x x 2 styczna jest: a) równoległa do osi OX; b) równoległa do dwusiecznej kąta utworzonego przez dodatnie półosie układu współrzędnych? 2. Udowodnij, że parabola y = a(x x 1 )(x x 2 )(a 0, x 1 < x 2 ) przecina oś OX pod kątami α i βtakimi, że α = β. 3. Na krzywej y = 2 sin x wskaż te jej części, których nachylenie jest większe od Pod jakimi kątami przecinają się krzywe y = x 2 i x = y 2? 6

7 5. Pod jakimi kątami przecinają się krzywe y = sin x i y = cos x? 6. Pokaż, że styczna do spirali logarytmicznej r = ae mφ i prosta zawierająca promień wodzący punktu styczności przecinają się pod stałym kątem. 7. Dowieść, że dla astroidy x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 długość odcinka stycznej zawartego między osiami współrzędnych jest stała. 8. Pokaż, że rodziny hiperbol x 2 y 2 = a i xy = b tworzą ortogonalną siatkę, tj. krzywe tych rodzin przecinają się pod kątem prostym. Nierówności Udowodnij nierówności: (a) e x > 1 + x dla x 0 (b) 2 x < sin x < x dla 0 < x < π/2 π (c) x x2 2 (d) x x3 6 < ln(1 + x) < x dla x > 0 < sin x < x dla x > 0 Podaj interpretację geometryczną w dwóch pierwszych punktach. Nierówności - c.d. (a) Udowodnij, że (x a + y a ) 1/a > (x b + y b ) 1/b dla x > 0, y > 0 i 0 < a < b. (b) nierówność Cauchy ego (c) średnia arytmetyczna nie przekracza średniej kwadratowej (d) średnia rzędu s: ( ) a s +b s s 2 jest funkcją rosnącą zmiennej s Definicja pochodnej Przypomnijmy formalną definicję pochodnej: Definicja pochodnej Obliczyć (z definicji) f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h (a) f (1), f (2) i f (3), jeżeli f(x) = (x 1)(x 2) 2 (x 3) 3. (b) f (2), jeżeli f(x) = x 2 sin(x 2) 12. (Nie)parzystość Udowodnij, że pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta, a pochodna funkcji nieparzystej jest parzysta. 13. Okresowość Udowodnij, że pochodna funkcji okresowej jest funkcją okresową. Całki 7

8 Całka Riemanna Oblicz następujące całki Riemanna: (a) dx (b) 1 0 x dx (c) x dx Całkowanie przez podstawienie Jeśli g(x) = f(y(x)) to zachodzi równość: g(y) dy = f(y(x)) y (x)dx. Przykład: dla y(x) = 2x + 1 (a zatem y (x) = 2) mamy 2(2x + 1) 2 dx = (2x + 1) 2 2dx = (y 2 ) dy = 1 3 y3 = 1 3 (2x + 1)2. Oblicz: (a) sin 2x dx, cos 2x dx (b) e 2x dx, 2 x dx (c) x + 1 dx 8