Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Transkrypt

1 Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B / 3

2 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem a : N R. Granica ciagu Zapis a n oznacza : "Do jakiej wartości zbiegaja wyrazy ciagu a n, gdy n daży do nieskończoności? " Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 2 / 3

3 Przykład [ ] n = = 0 n = = 0.0 n = = n = = n 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 3 / 3

4 Jak liczymy granice? W pierwszym kroku podstawiamy do wzoru i "patrzymy co wychodzi". Jeśli otrzymujemy poprawne matematycznie wyrażenie, to jest to wartość granicy. Przykłady (wartości granicy można odczytać z wykresu) ln(n) = en = e n = 0 ( 2 )n = 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 4 / 3

5 Podstawowe działania na : zapisy sa ogólne, tzn. może oznaczać zarówno + jak również w każdym przypadku należy ustalić znak nieskończoności + =, =, c + = c = (c 0), = 0 Przykłady ( 2 + ) = [2 + n 2 00 ] = 2 (n3 + 2n + ) = [ + + ] = 2 [ ] n 2 0 = = 0 3 n ( 2n3 + 3n + ) = [ + + ] = [ ] =? Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 5 / 3

6 Jeżeli po podstawieniu do wzoru otrzymujemy tzw.symbol nieoznaczony, czyli wyrażenie postaci, 0 0,, 0, 00,, 0, to wartość granicy zależy od postaci ciagów je tworzacych i nie można podać bezpośrednio wyniku. Aby obliczyć taka granicę należy wykonać pewne dodatkowe przekształcenia. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 6 / 3

7 Operacje na nieskończonościach. (tabela rozbudowana) a + =, a = + =, = a =, a > 0, a =, a < 0 =, ( ) = a = 0, a = 0 a =, a > 0, a =, a < 0 a =, a >, a = 0, 0 < a < a = 0, a >, a =, 0 < a < a =, a > 0, a = 0, a < 0 =, = 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 7 / 3

8 Podstawowe granice: c = c n = 0 an = 0, a < an =, a > n a =, a > 0 n n = ( + n )n = e 2, , ( + a n )n = e a, ( a n )n = e a ( n )n = e = e Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 8 / 3

9 Przykłady a) n 3 + 3n 2 n 2 2n 3 ; b) ( n 2 + 4n + n 2 + 2n); 3 n 2 n c) 4 n 3 n 3 n2 d) 2 + n e) ( 3 2n + )n f) 5 2 3n 4 3 2n 2 9 n + 3 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 9 / 3

10 Definicja Ciag {a n } jest zbieżny do g, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy a n = g albo a n g ε>0 n0 N n n0 a n g < ε. Innymi słowy, prawie wszystkie wyrazy ciagu (tzn. poza być może skończona ilościa wyrazów poczatkowych, czyli poczawszy od wyrazu o indeksie n 0 ) należa do przedziału (g ε, g + ε). an g + ɛ g g ɛ n Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 0 / 3

11 n Przykład Uzasadnić, że 2n = 2. Wybierzmy dowolne ε > 0. Musimy znaleźć n 0 N takie, że dla n n 0 zachodzić będzie a n g < ε n 2n 2 < ε. Zauważmy, że n 2n 2 = 2n 2n + 2(2n ) = 2(2n ) = 2(2n ). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B / 3

12 Zatem n 2n 2 < ε 2(2n ) < ε 2(2n ) > ε 2n > 2ε n > 2 ( 2ε + ). Stad jeśli przyjmiemy n 0 = [ 2 ( 2ε + )] + ([ ] oznacza część całkowita liczby), to wszystkie wyrazy ciagu a n dla n n 0 leża w przedziale ( ε, + ε). 2 2 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 2 / 3

13 Twierdzenie Jeżeli ciag jest zbieżny, to jest ograniczony. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa!!! (czyli ciag który jest organiczony, nie musi być zbieżny) Przykład Ciag a n = jest zbieżny do zera i (oczywiście) jest n ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy spełniaja warunek a n = n (0, ) 0 < a n <. Przykład Ciag a n = ( ) n jest ograniczony, ale nie jest zbieżny, bo a n = {,,,,,,...} Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 3 / 3

14 Twierdzenie o trzech ciagach Niech (a n ), (b n ), (c n ) będa ciagami. Jeżeli dla wszystkich n n 0 zachodzi 2 a n = c n = b, to Przykład a n b n c n b n = b. a) n 2 n + 4 n + 6 n ; ( b) + n 2 + n n 2 +n ) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 4 / 3

15 Rozwiazanie a) n 2n + 4 n + 6 n. Zauważmy, że dla n N zachodza nierówności zatem 6 n 2 n + 4 n + 6 n 3 6 n, n 6n n 2 n + 4 n + 6 n n 3 6 n 6 n 2 n + 4 n + 6 n 6 n 3. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 5 / 3

16 Ponieważ oraz 6 n 2 n + 4 n + 6 n 6 n 3. 6 = 6 6 n 3 = 6 = 6 (patrz wzory i 5 -> slajd 8), to na mocy twierdzenia o trzech ciagach zachodzi n 2n + 4 n + 6 n = 6. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 6 / 3

17 Rozwiazanie b) ( ) n2 + + n n2 + n = a n Najmniejszym składnikiem w zapisanej sumie jest ułamek n2 + n, a największym n2 +, zatem dla dla n N mamy nierówności : n n2 + n a n n n2 +. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 7 / 3

18 n n2 + n a n n n2 +. Zauważmy, że granice skrajnych ciagów wynosza n n2 + n =[ ] = n = n + + n n n n2 + = [ ] = n = n + n 2 zatem na mocy twierdzenia o trzech ciagach zachodzi zbieżność ( ) n2 + + n n2 + n = + 0 = = =, n 2 = Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 8 / 3

19 Twierdzenie o iloczynie ciagu ograniczonego i zbieżnego do zera (a n ) jest ciagiem ograniczonym 2 (b n ) jest ciagiem zbieżnym do zera (czyli b n = 0), to ciag (a n b n ) jest zbieżny do zera, czyli a nb n = 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 9 / 3

20 Przykłady a) n 2 sin n n 4 = 0, bo ciag sin n jest ograniczony, a n 2 n 4 = [ ] = n 2 n 4 ( n 4 ) = n = 0 = 0. 2 n 4 b) ( ) n n = 0 bo ciag ( ) n jest ograniczony, a n = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 20 / 3

21 Twierdzenie o ciagu ograniczonym i monotonicznym Jeżeli ciag (a n ) jest niemalejacy dla n n 0 oraz ograniczony z góry, to jest zbieżny. Jeżeli ciag (a n ) jest nierosnacy dla n n 0 oraz ograniczony z dołu, to jest zbieżny. Rozważmy ciag liczb postaci a n = ( + n) n. Pokazuje się, że jest on rosnacy i ograniczony z góry ( patrz wykres - następny slajd), zatem jest to ciag zbieżny. Granicę tego ciagu oznaczamy przez e. Stad ( e = + n 2, n) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 2 / 3

22 0 pierwszych wyrazów ciagu: a = 2 a 2 = 2.25 a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = a 7 = a 8 = , a 9 = , a 0 = Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 22 / 3

23 Definicja Ciag (a n ) jest rozbieżny do, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy a n = A>0 n0 N n n0 a n > A. Innymi słowy, prawie wszystkie wyrazy ciagu (tzn. wszystkie poza skończona ilościa wyrazów poczatkowych ) sa większe od dowolnie wybranej liczby. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 23 / 3

24 Przykład Pokazać, że log 2 (n + 3) =. Niech A - ustalona (duża) liczba dodatnia. Musimy pokazać, że istnieje n 0 takie, że dla n n 0 zachodzi a n > A. Zauważmy, że a n > A log 2 (n + 3) > A n + 3 > 2 A n > 2 A 3. Zatem jako n 0 bierzemy n 0 = [2 A 3] +, gdzie [ ] oznacza część całkowita liczby. Wszystkie wyrazy ciagu o numerach n n 0 przyjmuja wartości większe niż A. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 24 / 3

25 Definicja Ciag (a n ) jest rozbieżny do, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy a n = A<0 n0 N n n0 a n < A. Innymi słowy, prawie wszystkie wyrazy ciagu (tzn. wszystkie poza skończona ilościa wyrazów poczatkowych ) sa mniejsze od dowolnie wybranej liczby. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 25 / 3

26 Przykład Pokazać, że (5 2 n ) =. Niech A - ustalona (duża) liczba ujemna. Musimy pokazać, że istnieje n 0 takie, że dla n n 0 zachodzi a n < A. Zauważmy, że a n < A 5 2 n < A 2 n > 5 A n > log 2 (5 A). Zatem jako n 0 bierzemy n 0 = [log 2 (5 A)] +, gdzie [ ] oznacza część całkowita liczby. Wszystkie wyrazy ciagu o numerach n n 0 przyjmuja wartości mniejsze niż A. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 26 / 3

27 Twierdzenie o dwóch ciagach (dla ) Niech (a n ) i (b n ) będa ciagami rzeczywistymi. Jeżeli dla wszystkich n n 0 zachodzi a n b n 2 a n =, to b n =. Zatem jeżeli chcemy udowodnić, że dany ciag jest rozbieżny do, musimy ograniczyć go z dołu przez ciag, który też jest rozbieżny do. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 27 / 3

28 Twierdzenie o dwóch ciagach (dla ) Niech (a n ) i (b n ) będa ciagami rzeczywistymi. Jeżeli dla wszystkich n n 0 zachodzi a n b n 2 b n =, to a n =. Zatem jeżeli chcemy udowodnić, że dany ciag jest rozbieżny do, musimy ograniczyć go z góry przez ciag, który też jest rozbieżny do. Przykład a) (2 n + 3n); b) (2 cos n 5)n 2 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 28 / 3

29 Rozwiazanie a) (2 n + 3n); Niech a n = 2 n + 3n. Zauważmy, że dla n N mamy a n 2 n. Ponieważ 2n =, to ciag a n ograniczyliśmy z dołu przez ciag rozbieżny do. Stad na mocy twierdzenia o dwóch ciagach mamy (2 n + 3n) = Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 29 / 3

30 Rozwiazanie b) (2 cos n 5)n 2 Niech a n = (2 cos n 5)n 2. Zauważmy, że ponieważ cos n [, ], to mamy 7 2 cos n 5 3. Stad dla n N mamy Ponieważ (2 cos n 5)n 2 3n 2 ( 3n2 ) =, to ciag a n ograniczyliśmy z góry przez ciag rozbieżny do. Stad na mocy twierdzenia o dwóch ciagach mamy (2 cos n 5)n2 = Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 30 / 3

31 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 3 / 3