TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

Transkrypt

1 TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba skorzystać z równań fizycznych (prawo Hooke a). Na powierzchni zewnętrznej panuje płaski stan naprężenia (wynika to z warunków brzegowych). W praktyce pomiarowej wyznaczamy stan odkształceń na podstawie kilku (przynajmniej trzech) zmierzonych odkształceń liniowych na wybranych kierunkach. Do wyznaczenia dwu odkształceń głównych i kąta potrzeba trzech pomiarów I, II, III odkształceń liniowych w różnych i ustalonych kierunkach. Kierunki te są zazwyczaj z góry ustalone w tzw. rozecie tensometrycznej, dla których to kątów wyprowadzone są wzory na odkształcenia główne i ich kierunki względem kierunków pomiarowych.

2 ROZETA Wzór transformacyjny: α α γ α α x1 x cos + y sin + xy sin cos Jeśli znamy,, x1 x y oraz α, to możemy wyznaczyć odkształcenie kątowe: xy γ xy x1 x cos α y sin α cosα sinα oraz kierunki główne tgθ x γ xy y 1, x + y x + y γ xy ± +

3 Przykład W punkcie ciała, w którym panuje płaski stan naprężenia (płaski w płaszczyźnie xyη ) zmierzono odkształcenia w trzech kierunkach. Znaleźć pełny tensor odkształceń w układzie xyz i naprężenia główne. Dane: x , y , 4 η 10, E 5 10 MPa, ν 0.3 Macierz przejścia z układu xyz do ξη z obrót o kąt 0 α 45. cosα sinα 0 Q sinα cosα

4 Prawo transformacji dla odkształceń: Q Q : ' ij ik jl kl Q Q + Q Q + Q Q + Q Q + Q Q + η ' Q Q + Q Q + Q Q + Q Q x xy xy y xy 0.5 x + y η Płaski stan naprężenia w płaszczyźnie x,y czyli z 0 G + λ z z x y z ( G ) 4 4 x + y λ x + y ν z / λ ν 1 ν 4 4

5 Tensor odkształcenia w układzie xyz: T Stałe materiałowe: E 5 G MPa 1+ ν Eν 5 λ MPa 1+ ν 1 ν Równania fizyczne: G + λ G + λ G + λ G1 13 G13 G

6 Naprężenie styczne: τ xy G xy 84.6 MPa Naprężenie normalne: x MPa y z MPa spr o.k. Tensor naprężeń w układzie xyz: T MPa Naprężenia główne: 1, ± + 4τ x y x y xy MPa 11.3 MPa

7 Przykład Znaleźć wektor naprężeń przy przecięciu płaszczyzną o wektorze normalnym a ( 1 ) Znaleźć składową normalną i styczną tego wektora naprężeń. Dany stan naprężeń : T p T v V a o gdzie: v 1 3 a a 3 3

8 ( 7) ( 7) p V wektor naprężeń 1 p ( ) 5 V v 9 3 o iloczyn skalarny (liczba) V p V o v v 9 składowa normalna wektora naprężeń 10 9

9 τ 4 10 s pv V składowa styczna wektora naprężeń Sprawdzenie: τ 1 n s ( ) o o.k.

10 Przykład Dla podanego tensora naprężeń znaleźć wartosci własne (naprężenia główne) i odpowiadające im wektory własne (kierunki główne) 1 0 T xy T , ±

11 Wektory własne: 1 3 (1) v 1 (1) (1) T 1I v v 0 (1) v3 ( ) v + v 0 v v (1) (1) (1) (1) v v 0 v v (1) (1) (1) (1) 1 1 5v 0 v 0 (1) (1) 3 3 Przyjąć wartość jednej współrzędnej obliczyć pozostałe i z otrzymanego wektora utworzyć wersor (1) v ( 1 1 0) (1) 1 1 e 0

12 1 ( ) () v 1 () () T I v 1 ( 1) 0 v 0 () 0 0 ( 1) v3 v + v 0 v v (1) (1) () () 1 1 v + v 0 v v (1) (1) () () 1 1 v 0 v 0 () () 3 3 () v trójka prawoskrętna: () 1 1 e 0 (3) (1) () e e e

13 Przykład Dane jest pole naprężeń : 11 4x1x 1 8 x1 Określić obciążenie brzegowe wywołujące ten stan naprężeń:

14 Brzeg AB: q α 0 AB,1 n AB α AB, 1 1 [ 0,4] AB,1 11 AB,1 1 AB, 1 x x 0 α + α 4x x q α + α x 1 x AB, 1 AB,1 AB, 1 1 qab,1 ( A ) 8.0 qab, ( A ) 0 q B AB,1 8.0 q B AB, 4.0

15 Brzeg AC: q q α AC,1 1 n AC α AC, x 0,3 α + α 4x x AC,1 11 AC,1 1 AC, 1 x, [ ] x α + α AC, 1 AC,1 AC, 1 qac,1 ( A ) 0 q C AC,1 0 qac, ( A ) 8 q C AC, 8

16 α BC, Brzeg BC: n BC α BC, 0.8 x1 [ 0,4] x x x1x 4x1 x x1 1x1 4 q α + α 3x 1x x 7.x BC,1 11 BC,1 1 BC, q α + α x 0.8 x BC, 1 BC,1 BC, 1 1 qbc,1 ( C ) 6.4 qbc, ( C ) 4.8 q B BC,1 6.4 q B BC, 8.0

17 Równowaga globalna: 1) q,1 0 v ) q v, 0 K K 3) Wybieramy punkt np. A r A q 0 gdzie: ( x, y ) A K r q ( qv,1, qv, )

18 B C C AB BC AC q x dx + q x dx + q x dx 8 dx + 0 dx + 1.8x 7.x dx? 0,1 1 1,1 1 1, A B A B C C q x dx + q x dx + q x dx x dx + 8 dx x dx? 0 AB, 1 1 BC, 1 1 AC, A B A

19 TEST 1. Poniższy rysunek jest graficznym obrazem płaskiego stanu naprężeń. Uzupełnij macierz T oraz rysunek. Uzupełnienie macierzy T Uzupełnienie rysunku

20 . Dana jest macierz 0 T Uzupełnij macierz i sporządź graficzny obraz na odpowiednio dobranej płaszczyźnie. Uzupełnienie macierzy T

21 3. Wyznacz wartości własne i określ kierunki główne: 4 xz T T ,3 ± + 13 (3) e 0 płaszczyzna prostopadła do wersora 3 (3) e

22 4. Wyznacz wartości własne i określ kierunki główne: T yz T ,3 ± (1) e ( 1 0 0) () e 0 (3) e 0

23 5. Wyznacz wartości maxymalnych naprężeń stycznych i podaj kierunki występowania: 0 0 T Dana jest macierz: T Oblicz odkształcenie liniowe włókna OP.

24 Zadanie Dany jest stan odkształceń w punkcie podany macierzą Podaj odkształcenie liniowe na kierunku ξ podanym na rysunku: T Transformacja ξ kierunek nowego układu który powstaje ze starego po obrocie osi x o kąt α135 stopni. Macierz transformacji cosα sinα Q sinα cosα QQ T ξξ ξη cosα sinα xx xy cosα sinα ξη ηη sinα cosα xy yy sinα cosα

25 mnożenie macierzy od końca ξξ ξη 3 ξη ηη 3 4

26 Zadanie Równania równowagi na płaszczyźnie: x x y xy + + P x 0 ( x + + P1 x ) xy x y + + P y 0 y 0 0 0?0 ( x + + P x ?0 0 )

27 Zadanie x?0 nie mogą

28 Zadanie τ x xy + + P x 0 x y x y P x o.k. + + τ xy x y + + P y 0 y 10 x 10 P y o.k.

29 α v A, Statyczne warunki brzegowe: vi vj ij Na płaszczyźnie: qvx αvx x αvyτ xy q α +? qvy αvxτ xy αvy y 1 5 ( 10 ) + + +?

30 Zadanie Liczymy funkcje odkształceń: W punkcie A podstawiamy współrzędne punktu do powyższych funkcji (nie wolno podstawiać przed różniczkowaniem) ( x, x, x ) ( x, x, x ) (,, ) ( x1, x, x3 ) x1 (,, ) u x x x u x x x x (,, ) u x x x x 1 3

31 ( x, x, x ) ( x, x, x ) ( x, x, x ) Liczymy naprężenia: (,, ) (,, ) 1 u x x x u x x x + x1 x 1 u x, x, x u x, x, x + x1 x 1 u x, x, x u x, x, x + x1 x Równania fizyczne: 11 G11 + λ ( ) G + λ ( ) G + λ ( + + ) G 1 1 G G 3 3

32 Stałe materiałowe dla ciała izotropowego są dwie niezależne np., E ν E lub : G, λ wyrażone przez te poprzednie G 1 ν P P 0 x x x x 1 Fizyczne związki odwrotne: 1 λ 1+ ν ν + + E 1+ ν ν + + E 1+ ν ν + + E 1+ ν 1+ ν E E Eν + ( 1+ ν ) ( 1 ν ) ν E

33 ij Równania równowagi : + P 0 W przestrzeni: x j i P1 0 x1 x x P 0 x1 x x P3 0 x x x 1 3