Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,

Transkrypt

1 Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk,

2 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES). 3. Belki modelowane MES. 4. Modelowanie 1-członowego manipulatora o odkształcalnym ramieniu za pomocą MES: wyprowadzenie modelu MES, równania ruchu, symulacja sterowania manipulatora. 5. Modelowanie manipulatora 2-członowego. 6. Dynamika odwrotna. 7. Zastosowanie dynamiki odwrotnej do estymacji odkształceń manipulatora. 2

3 Manipulatory Manipulator to ramię robota. Manipulator składa się z członów połączonych przegubami, najczęściej obrotowymi lub liniowymi. Tradycyjne manipulatory dla zapewnienie odpowiedniego udźwigu i dokładności pozycjonowania buduje się z masywnych, sztywnych i ciężkich ramion. Ciężar ramion wymaga stosowania silników o dużej mocy, które też są ciężkie i energochłonne. W przemyśle taka sytuacja nie jest problemem. 3

4 Manipulatory przykłady 1 Roboty ABB 4

5 Manipulatory przykłady 2 5

6 Manipulatory Są jednak obszary zastosowań manipulatorów, gdzie masa i ilość zużywanej energii powinny być minimalizowane. Takim obszarami są: - zastosowania kosmiczne, - manipulatory mobilne, - roboty medyczne. 6

7 Manipulator Canadarm (right) during Space Shuttle mission STS-72, 15.2 m długości, 38 cm średnicy 7

8 Manipulator Curiosity, NASA 8

9 Manipulator Robot mobilny, projektproteus.pl 9

10 Manipulator Mobilny maszt anteny na Politechnice Gdańskiej 10

11 Manipulatory Robotyka zakłada, że robot zbudowany jest z członów sztywnych, czyli o pomijalnie małych odkształceniach. A gdyby manipulatory budować z lekkich i odkształcalnych ramion? Wtedy: - możliwe jest zbudowanie manipulatora o wyższym współczynniku masa ładunku / masa własna, - zużywa się mniej energii do wykonania tej samej pracy, - pojawiają się problemy: drgania ramion, trudności z pozycjonowaniem końcówki i nadążaniem za trajektorią, konieczność zastosowania dodatkowych sensorów, skomplikowany aparat matematyczny do analizy takich manipulatorów. 11

12 Metoda Elementów Skończonych (MES) MES służy m.in. do modelowania odkształceń konstrukcji, przepływu ciepła, przepływu cieczy, pól magnetycznych i elektrycznych. W MES obiekt ciągły dzieli się na małe kawałki (elementy), uzyskując model dyskretny. Każdemu elementowi przypisane są węzły, w których oblicza się wielkości fizyczne modelu. Parametry wewnątrz elementu aproksymowane są za pomocą funkcji kształtu przez wielkości węzłowe elementu. Przykłady elementów skończonych 12

13 Metoda Elementów Skończonych (MES) Przykłady modeli konstrukcji

14 Element prętowy o 2 stopniach swobody Przed odkształceniem Wyprowadzenie funkcji kształtu. Δx x 1 1 e = ΔL L ΔL q q1 Δx1 = x1 = x1 L L e 2 q q qa = q1 + Δx1 = q1 + x Le e Po odkształceniu 14

15 Element belkowy o 4 stopniach swobody Wyprowadzenie funkcji kształtu. w(x) d 4 w dx 4 = q=0 d 3 w dx 3 =C 1 d 2 w dx 2 =C 1 x+c 2 dw dx =θ (x)= 1 2 C 1 x2 +C 2 x+c 3 w (x)= 1 6 C 1 x C 2 x2 +C 3 x+c 4 element belkowy 15

16 Element belkowy o 4 stopniach swobody Warunki brzegowe w(x) w (0)=q 1 θ(0)=θ 1 w( L e) =q 2 po znalezieniu stałych zapisujemy θ( L e) =θ 2 funkcja kształtu elementu belkowego element belkowy gdzie ξ= x L e 16

17 Energia elementu skończonego energia potencjalna sprężystości energia kinetyczna T e = 1 2 q T e M e q e macierz sztywności elem. belkowego macierz bezwładności elem. belkowego 17

18 Przykłady obliczeń belek - statyka Znalezienie przemieszczeń węzłowych sprowadza się do rozwiązania równania 18

19 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego wektor opisujący pozycję punktu P' (punkt P po odkształceniu) prędkość punktu P' dla ułatwienia obliczeń dla układu na płaszczyźnie 19

20 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego energia kinetyczna dt elementu dm związanego z punktem P 20

21 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego energia kinetyczna całego elementu skończonego wektor przemieszczenia wektor przemieszczeń węzłowych 21

22 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego obliczenie całki nr 1 M e - macierz bezwładności 22

23 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego Po obliczeniu wszystkich całek uzyskujemy wyrażenie na energię kinetyczną i-tego elementu Sumujemy energię wszystkich elementów i otrzymujemy energię kinetyczną całego układu gdzie: M rzeczywista, globalna macierz bezwładności q rzeczywisty, globalny wektor przemieszczeń 23

24 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego Pozorne macierze globalne (nie uwzględniające warunków brzegowych) uzyskujemy przez sumowanie macierzy lokalnych elementów gdzie: Π i - macierze przyporządkowania elementów Rzeczywiste macierze globalne, czyli takie które uwzględniają warunki brzegowe, otrzymujemy przez wycięcie z macierzy pozornych stopni swobody odebranych przez warunki brzegowe gdzie: G - macierz warunków brzegowych 24

25 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 1- członowego Energia potencjalna sprężystości elementu skończonego określona jest zależnością Energia potencjalna dla całego układu Funkcja dysypacji energii gdzie 25

26 Równania ruchu manipulatora 1- członowego Równania ruchu uzyskujemy z równań Lagrange'a II rodzaju Podstawiając wyrażenia na T, U i D otrzymujemy W zapisie macierzowym 26

27 Równania ruchu manipulatora 1- członowego Pomijając elementy nieliniowe otrzymujemy Ostatecznie I zapisując w przestrzeni stanu gdzie X=[ Q Q] 27

28 Symulacja komputerowa sterowania manip. 1-członowego Wykonano symulacje dla dwóch przypadków: Przypadek 1 regulator PID dobrany dla ramienia sztywnego Przypadek 2 dodatkowy regulator PID, którego celem jest taka korekta sygnału sterującego, aby wygasić drgania ramienia czyli minimalizować energię kinetyczną związaną z odkształceniem ramion 28

29 Symulacja komputerowa, 1 człon Schemat symulowanego układu w programie Scilab/Scicos Parametry układu: - przekrój ramienia 40 x 2 mm - długość ramienia: 1000 mm - 2 elementy skończone - materiał ramienia: stal 29

30 Symulacja komputerowa, 1 człon PID PID + prędkość końcówki 30

31 Symulacja komputerowa wyniki pozycja kątowa bazy [rad] PID PID + prędkość końcówki 31

32 Symulacja komputerowa wyniki sygnał sterujący [Nm] PID PID + prędkość końcówki 32

33 Symulacja komputerowa wyniki wychylenie końcówki [m] PID PID + prędkość końcówki 33

34 Symulacja komputerowa wyniki uchyb końcówki wzg. zadanej trajektorii [m] PID PID + prędkość końcówki 34

35 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 2- członowego wektor opisujący pozycję punktu P' (punkt P po odkształceniu) r 2 ' =r k1 +[ 0 y k1] +M ( ϕ 2 +θ k1)( r 2 +q 2) prędkość punktu P' ṙ 2 ' =ω 1 ( r k1 + [ 0 y k1] +M (r 2 +q 2 ) ) +[ 0 ẏ k1] + [ ω 2 M (r 2 +q 2 )] +M q 2 35

36 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 2- członowego Po wprowadzeniu dodatkowych oznaczeń równanie można zapisać Energia kinetyczna dt elementu dm związanego z punktem P 36

37 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 2- członowego Po wykonaniu mnożenia energia kinetyczna dt wyrażona jest wzorem: 37

38 Wyprowadzenie modelu MES manipulatora 2- członowego Po wykonaniu całkowania i sumowania energia kinetyczna 2-ego ramienia wyraża się wzorem 38

39 Pomiar odkształceń ramienia robota Do pomiaru odkształceń ramienia stosuje się: tensometrów (zdjęcie obok), kamery, laser + lustro na końcu ramienia, akcelerometry. [źródło: A. De Luca, V. Caiano, D. Del Vescovo] 39

40 Estymacja odkształceń ramienia przy pomocy dynamiki odwrotnej równanie dynamiki manip. 1-członowego mnożymy przez odwrotność macierzy stanu dla belki 1-elementowej d dt pomiar enkoder po uporządkowaniu d 2 dt 2 gyro enkoder d dt gyro 40

41 Podsumowanie Przedstawiona została metoda modelowania 1- i 2-członowego manipulatora o odkształcalnym ramieniu z użyciem metody MES. Pokazano sposób wyprowadzenia równań z modelu MES. Pokazano symulacje komputerowe sterowania manipulatora 1-członowego. Dalsze prace będą skupiać się na estymacji prędkości odkształceń i odkształceń z zastosowaniem akcelerometrów i żyroskopów. Wyniki badań mogą być zastosowane m.in. do sterowania mechanizmów pozycjonujących anteny na satelitach. 41

42 Dziękuję za uwagę 42