3. Macierze i Układy Równań Liniowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. Macierze i Układy Równań Liniowych"

Transkrypt

1 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x y=2 4x + y=5 1 / 38

2 Macierze i Układy Równań Liniowych Zakładamy że mamy równanie macierzowe AX = B, gdzie A jest znaną macierzą rozmiaru k n oraz B jest znanym wektorem rozmiaru k 1. Podstawiając X = (x 1, x 2,..., x n ) T i wymnażając, otrzymujemy układ k równań z n niewiadomymi, w którym macierz A określa współczynniki niewiadomych a wektor B określa stałe tego układu. Mamy a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n =b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n =b a k,1 x 1 + a k,2 x a k,n x n =b k 2 / 38

3 Macierze i Układy Równań Liniowych Gdy A jest kwadratową macierzą odwracalną (czyli det(a) 0), mnożąc lewostronnie przez A 1, wyznaczamy rozwiązanie tego układu. np. Za pomocą macierzy odwrotnej, rozwiązać układ równań liniowych 2x + 3y + z=5 x + 2y + 3z=3 y + 2z=1 3 / 38

4 Macierze i Układy Równań Liniowych A jest macierzą współczynników, X wektorem niewiadomych a B wektorem stałych x 5 X = y ; B = 3 z 1 4 / 38

5 Macierze i Układy Równań Liniowych Więc otrzymujemy układ równań liniowych X = Równanie to zostało rozwiązane na końcu ostatniego wykładu. Mamy x 1 X = y = 1. z 0 Czyli x = 1, y = 1, z = 0. 5 / 38

6 Układy 2 równań z 2 niewiadomymi Mamy a 1,1 x + a 1,2 y=b 1 a 2,1 x + a 2,2 y=b 2 Równania te określają proste w R 2. Proste te mogą być równoległe. Wtedy albo nie ma rozwiązania (proste nie są identyczne) albo jest nieskończenie wiele rozwiązań (proste są identyczne). W tym przypadku det(a) = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 = 0. 6 / 38

7 Układy 2 równań z 2 niewiadomymi det(a) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy druga linia lewej stronie jest wielokrotnością pierwszej linii. Gdy b 2 jest taką samą wielokrotnością stałej b 1, oznacza to że jest nieskończenie wiele rozwiązań (proste są identyczne). Gdy b 2 nie jest taką samą wielokrotnością stałej b 1, oznacza to że nie ma rozwiązania (proste są równoległe, ale nie identyczne). 7 / 38

8 Układy 2 równań z 2 niewiadomymi Na przykład, 2x + 3y=7 4x + 6y=b Łatwo zauważyć że druga linia lewej strony jest po prostu pierwsza linia pomnożona przez 2. Więc gdy b = 2 7 = 14 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Gdy b 14, nie ma rozwiązania. 8 / 38

9 Układy 2 równań z 2 niewiadomymi - Przykład 3.1 Gdy det(a) 0, proste te nie są równoległe i więc istnieje jedno rozwiązanie (jeden punkt przecięcia). Rozwiązać układ równań 3x + 2y=13 7x + 5y=31 9 / 38

10 Układy 2 równań z 2 niewiadomymi - Przykład / 38

11 Układy 2 równań z 2 niewiadomymi - Przykład / 38

12 Układy 3 równań z 3 niewiadomymi Mamy a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z=b 1 a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z=b 2 a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z=b 3 Równania te określają płaszczyzny w R 3. Tak jest wcześniej gdy det(a) 0 istnieje jeden punkt przecięcia (jedno rozwiązanie). np. Punkt przecięcia podłogi z 2 stykającymi się ścianami. 12 / 38

13 Układy 3 równań z 3 niewiadomymi Gdy det(a) = 0 albo nie ma rozwiązania (np. podłoga i dwie równoległe ściany nie mają wspólnego punktu) albo istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Gdy istnieją nieskończenie rozwiązań, równania mogą określić tę samą płaszczyzny (zarówno drugie jak i trzecie równanie są wielokrotnościami pierwszego równania). Druga możliwość gdy det(a) = 0: płaszczyzny stykają się w prostej (podobnie do kartek papieru w otwartej książce). W tym przypadku jedno równanie można przedstawić jako sumę wielokrotności pozostałych dwóch (czyli równania są w pewnym sensie zależne). 13 / 38

14 Przykład 3.2 Napisać następujący układ równań w postaci macierzowej, pokazać że ma on dokładnie jedno rozwiązanie i je wyznaczyć za pomocą macierzy odwrotnej. x + 3y + 2z=8 3x + 2y + z=7 4x + 5y + 4z=17 14 / 38

15 Przykład / 38

16 Przykład / 38

17 Metoda Gaussa Niestety, metoda odwracania macierzy współczynników tylko działa gdy macierz ta A jest odwracalna. Innymi słowy, aby zastosować taką metodę, liczba równań musi być równa liczbie niewiadomych oraz musi istnieć dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy A jest stopnia 2 lub 3, dosyć łatwo sprawdzić warunek ten (czyli czy det(a) 0), i jeśli jest on spełniony, potem wyznaczyć macierz odwrotną A 1. Metoda Gaussa działa dla dowolnego układu równań liniowych i gdy nie ma jednoznacznego rozwiązania pozwala nam określić czy nie ma rozwiązań albo czy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań (i wyznaczyć ogólne rozwiązanie w tym wypadku). 17 / 38

18 Metoda Gaussa - Ogólne podejście Zaczynamy od macierzy rozszerzonej A B, czyli dopisujemy wektor B po prawej stronie macierzy A Za pomocą przekształceń liniowych, chcemy prowadzić macierz rozszerzoną do postaci A B, gdzie pod główną przekątną macierzy A są same zera. Z tej postaci dosyć łatwo możemy wyznaczyć rozwiązanie układu. Niech a i,j oznacza element w i-tym wierszu a j-tej kolumnie macierzy rozszerzonej (w dowolnym momencie). 18 / 38

19 Metoda Gaussa - Dozwolone operacje Niech w i oznacza i-ty wiersz macierzy. Używamy następujących operacji 1. w i w j (zamieniamy i-ty wierz j-tym wierszem: czyli po prostu zmieniamy kolejność równań, zwykle to robimy aby uzyskać jedynkę na głównej przekątnej). 2. w i w i /c (dzielimy wiersz przez stałą, zwykle to robimy aby uzyskać jedynkę na głównej przekątnej) 3. w i w i + cw j (czyli dodajemy [lub odejmujemy] wielokrotność jednego wiersza do drugiego, używamy tego aby uzyskać zero pod główną przekątną). 4. Jeżeli dany wiersz składa się z samych zer, możemy go skreślić (odpowiada on równaniu 0=0). 5. Jeżeli jeden wiersz jest wielokrotnością drugiego, możemy skreślić jeden z tych wierszy (są równoważne). 19 / 38

20 Metoda Gaussa - Postać rozszerzona np. chcemy rozwiązać układ równań x + 3y + 2z=8 3x + 2y + z=7 4x + 5y + 4z=17 Postać rozszerzona jest / 38

21 Metoda Gaussa - Krok 1 W pierwszym kroku otrzymujemy 1 w górnym lewym kącie macierzy (albo poprzez zamianę wierszów albo dzieląc pierwszy wiersz przez element w górnym lewym rogu). Potem otrzymujemy zera w pierwszej kolumnie poniżej pierwszego elementu (za pomocą przekształcenia w i w i a i,1 w 1, 2 i k, gdzie w 1 oznacza pierwszy wiersz po przekształcenia). Już mamy 1 w górnym lewym rogu (czyli nie przekształcamy pierwszego wierszu). Przekształcamy pozostałe wiersze następująco: w 2 w 2 3w 1, w 3 w 3 4w 1 21 / 38

22 Metoda Gaussa - Krok 1 Wynikiem tych przekształceń jest Interpretujemy to jako następujący układ równań, który jest równoważny oryginalnemu układowi x + 3y + 2z=8 7y 5z= 17 7y 4z= / 38

23 Metoda Gaussa - Krok 2 W drugim kroku, otrzymujemy jedynkę w drugiej pozycji głównej przekątnej oraz zera poniżej tego elementu. Działania te są analogiczne do tych z pierwszego kroku. Dzielimy drugi wiersz przez -7. Potem dodajemy 7 razy ten nowy drugi wiersz do trzeciego wiersza. 23 / 38

24 Metoda Gaussa - Krok 2 Wynikiem tych operacji jest Już pod główną przekątną mamy same zera, a wzdłuż przekątnej same jedynki. W tym przypadku, gdy liczba równań równa się liczbie niewiadomych, istnieje dokładnie jedno rozwiązanie. W tym momencie, przechodzimy do odczytywania rozwiązania. Zaczynamy od ostatniego równania (wiersza) i działamy wstecz. 24 / 38

25 Metoda Gaussa - Odczytywanie rozwiązania Macierz rozszerzona odpowiada następującemu układowi równań x + 3y + 2z=8 y + 5z 7 =17 7 z=2 Czyli z z ostatniego równania mamy z = / 38

26 Metoda Gaussa - Odczytywanie rozwiązania Z przedostatniego równania możemy wyznaczyć wartość przedostatniej niewiadomej, y. Przenosząc pozostałe niewiadome na prawą stronę, mamy y = z 7 = = 1 Analogicznie, z pierwszego równania mamy x = 8 3y 2z = = 1. Więc istnieje jedno rozwiązanie x = 1, y = 1, z = / 38

27 Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Jeżeli wynikiem tych operacji otrzymujemy wiersz, który składa się z samych zer oprócz ostatniego elementu b 0, wtedy układ jest sprzeczny (mamy równanie 0 = b). Na przykład x + 3y + 2z=8 2x + 5y + 5z=7 3x + 8y + 7z=17 27 / 38

28 Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Macierz rozszerzona jest Skoro już mamy 1 w pierwszej pozycji głównej przekątnej, w pierwszym kroku wystarczy uzyskać zera pod tym elementem. Odpowiednie operacje są następująco w 2 w 2 2w 1 ; w 3 w 3 3w 1 28 / 38

29 Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Wynikiem tych operacji jest Teraz mnożymy drugi wiersz przez -1 i do trzeciego wiersza dodajemy nowy drugi wiersz. 29 / 38

30 Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Wynikiem tych operacji jest Skoro ostatni wiersz odpowiada równaniu 0=2, wiemy że układ jest sprzeczny. 30 / 38

31 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Jeżeli doprowadziliśmy macierz rozszerzoną do końcowej postaci (czyli pod główną przekątną są same zera) i jest mniej równań niż niewiadomych, znaczy to iż istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Uwaga: Jeżeli jest więcej równań niż niewiadomych, albo układ jest sprzeczny albo w trakcie algorytmu Gaussa skreślamy tyle równań iż na końcu liczba równań będzie mniejsza lub równa liczbie niewiadomych. Zakładamy że na końcu naszych przekształceń jest k równań a n niewiadomych, gdzie k < n. Trzeba opisać ogólne rozwiązanie takiego układu za pomocą n k parametrów, gdzie parametry przyjmują dowolną wartość rzeczywistą. 31 / 38

32 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Aby wyznaczyć jedno szczególne rozwiązanie układu, przypisujemy określone wartości tym parametrom. Gdy potrzebujemy 1 parametru, rozwiązania leżą na prostej. Gdy potrzebujemy 2 parametrów, rozwiązania leżą w jakiejś płaszczyźnie. 32 / 38

33 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Na przykład x + 3y + 2z=8 2x + 5y + 5z=17 4x + 11y + 9z=33 Macierz rozszerzona jest / 38

34 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań W pierwszym kroku wykonujemy następujące operacje w 2 w 2 2w 1 ; w 3 w 3 4w 1. Wynikiem tych operacji jest / 38

35 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Skoro wiersz 3 równa się wierszowi 2 (czyli jest wielokrotnością wiersza 2), możemy go skreślić. Aby uzyskać 1 w drugiej pozycji głównej przekątnej, mnożymy drugi wiersz przez -1. Wynikiem tych operacji jest ( ) / 38

36 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań: odczytywanie ogólnego rozwiązania Skoro są same zera pod główną przekątną jest to postać końcowa, która odpowiada następującemu układowi x + 3y + 2z=8 y z= 1 Skoro są 3 niewiadome a tylko 2 równania, potrzebujemy 1 parametru aby opisać ogólne rozwiązanie. Gdy potrzebujemy i parametrów, zwykle używamy ostatnich i niewiadomych (tutaj z). 36 / 38

37 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań: odczytywanie ogólnego rozwiązania Najpierw piszemy y (niewiadoma odpowiadająca pierwszemu niezerowemu współczynnikowi w ostatnim wierszu) jako funkcję parametrów. Mamy y z = 1 y = z 1. Teraz wracamy do pierwszego równania i piszemy x jako funkcję parametru z (korzystamy z podstawienia y = z 1). x + 3y + 2z = 8 x = 8 3(z 1) 2z = 11 5z. 37 / 38

38 Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań: odczytywanie ogólnego rozwiązania Wynika z tego że ogólne rozwiązanie jest x = 11 5z, y = z 1, gdzie z R Aby wyznaczyć jedno szczególne rozwiązanie, możemy podstawić np. z = 0. Wynika z tego że x = 11, y = 1, z = 0 jest szczególnym rozwiązaniem tego układu. Analogicznie, podstawiając z = 1, x = 6, y = 0, z = 1 też jest szczególnym rozwiązaniem tego układu. 38 / 38

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26 Rozdział 4 Macierze szyfrujące Opiszemy system kryptograficzny oparty o rachunek macierzowy. W dalszym ciągu przypuszczamy, że dany jest 26 literowy alfabet, w którym utożsamiamy litery i liczby tak, jak

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7

Bardziej szczegółowo

Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:

Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Przykład 2 odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.

Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x. Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje

Bardziej szczegółowo

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25 Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym 1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. 4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,

Bardziej szczegółowo

04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =

04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A = 04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,

Bardziej szczegółowo

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań: Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu: RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo