ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

Transkrypt

1 ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński Jerzy Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki rakowskiej Strona domowa: Metody obliczeniowe, 7 Model obliczeniowy i dyskretyzacja Wymagania wobec modelu W modelu obliczeniowym MES musimy zagwarantować: ciągłość przemieszczeń (w węzłach, gdzie łączą się elementy) spełnienie kinematycznych więzów podporowych spełnienie warunków równowagi dla całego układu i dowolnego podukładu (np. węzła lub elementu) Metody obliczeniowe, 7

2 Model obliczeniowy i dyskretyzacja Proces dyskretyzacji - generacja siatki onstrukcję kratową zamieniamy na układ dyskretny, składający się ze zbioru węzłów i zbioru elementów Proces dyskretyzacji zawiera następujące operacje: numeracja węzłów numeracja elementów zapisanie relacji przylegania między prętami i węzłami (topologia układu) e i j Metody obliczeniowe, 7 Opis elementu skończonego kratowego (D) Definicje wielkości mechanicznych Definicje przemieszczenia, odkształcenia i siły przekrojowej w pręcie rozciąganym (ściskanym) u(x) {u(x)}, e(x) {ε (x)}, s(x) {N(x)} Równania kinematyczne i fizyczne dla punktu P (x, y, z) P (x,, ) P (x) na osi pręta ε du dx e Lu, L d dx N EA ε s De, D EA Metody obliczeniowe, 7

3 Opis elementu skończonego kratowego (D) Aproksymacja pola przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych elementu x e Liczba lokalnych stopni swobody węzła lss w and element lss e. d e u e e l e x e, u ξ xe l e d e u e d w {u w } d e { d e, d e } {u e, u e } u(ξ) {u(ξ)} N(ξ) de ( ξ) ξ de d e gdzie ξ xe bezwymiarowa współrzędna le Metody obliczeniowe, 7 Opis elementu skończonego kratowego (D) Aproksymacja pola odkształcenia i siły podłużnej w ES w lokalnym układzie współrzędnych x e e(ξ) {ε (ξ)} LN e (ξ) d e B(ξ) de de l e l e d e s(ξ) {N(ξ)} D B(ξ) de EAe de l e l e d e Macierz sztywności elementu w lokalnym układzie współrzędnych e le ( ) e EA B T DBdx L Metody obliczeniowe, 7

4 Opis elementu skończonego kratowego (D) Opis elementu kratowego w globalnym układzie xy y Liczba globalnych stopni swobody węzła LSS w, a elementu LSS e (c cos α e, s sin α e ) d e d e d e d e d e α e x d e e d d e c s d c s d e TeT de e d d d d w {u w, v w } d e {d, d, d, } e {u, v, u, v } T e de Metody obliczeniowe, 7 Opis elementu skończonego kratowego (D) Transformacja macierzy sztywności elementu y d e d e d e d e α e d e d e x Macierz sztywności elementu w układzie globalnym: ( ) cc cs cc cs e EA e (TT T) e cs ss cs ss L cc cs cc cs cs ss cs ss c cos α e, s sin α e e Metody obliczeniowe, 7

5 Schemat blokowy algorytmu rozwiązania zagadnienia statyki MES Dyskretyzacja Obliczenie macierzy sztywności i wektorów obciążeń dla elementów Agregacja Uwzględnienie warunków brzegowych Obliczenie wektora przemieszczeń węzłowych i wektora reakcji Powrót do elementu: obliczenie sił przywęzłowych w elementach Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Zdefiniowanie zadania i dyskretyzacja d 5 d d d Metody obliczeniowe, 7

6 Przykładowe obliczenia kratownicy D Dane wejściowe Macierz sztywności e EA e (EA, l e ) l e EA l e EA EA l e l e Macierz topologii TOP Sztywność przekrojowa EA Macierz transformacji T e T e (cos α, sin α) cos α sin α cos α sin α Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Obliczenie macierzy transformacji oraz macierzy sztywności w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych dla elementu e (EA, l () ) T T T x (), y (), l () cos α x() l, sin () α y() l () T T e (cos α, sin α ) T x () + y () Metody obliczeniowe, 7

7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Obliczenie macierzy transformacji oraz macierzy sztywności w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych dla elementu e (EA, l () ) T T T x (), y (), l () cos α x() l, sin () α y() l () T T e (cos α, sin α ) T x () + y () Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Obliczenie macierzy transformacji oraz macierzy sztywności w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych dla elementu x (), y (), l () x () + y () cos α x() l, sin () α y() l () T T e (cos α, sin α ) T e (EA, l () ) T T T Metody obliczeniowe, 7

8 Przykładowe obliczenia kratownicy D Agregacja macierzy sztywności elementu do globalnej macierzy sztywności układu.... Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Agregacja macierzy sztywności elementu do globalnej macierzy sztywności układu Metody obliczeniowe, 7

9 Przykładowe obliczenia kratownicy D Agregacja macierzy sztywności elementu do globalnej macierzy sztywności układu Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Wektor obciążenia od siły skupionej i wektor zastępczych sił wywołanych przez narzucone przemieszczenie kn w d5 d dbc. m. f w d bc Metody obliczeniowe, 7

10 Przykładowe obliczenia kratownicy D Uwzględnienie warunków brzegowych ˆ, f ˆf d d + R R R R 5 d d d ˆ, ˆf f f Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Wyznaczenie przemieszczeń węzłowych d ˆ ˆf + dwb. d.5. d 5 Metody obliczeniowe, 7

11 Przykładowe obliczenia kratownicy D Wyznaczenie reakcji podporowych r d w r 5.7 r r.7 r r. Metody obliczeniowe, 7 Przykładowe obliczenia kratownicy D Powrót do elementu - siły przywęzłowe - wykres sił podłużnych Element d d d d, r T ( d ).7 r.7 Element d d d 5, r T ( d ) r Element d d d d 5, r T ( d ) r Metody obliczeniowe, 7

12 ratownica płaska - drugi przykład Definicja problemu i dyskretyzacja 5kN y d5 5kN/m x x α α x d T e d d x. d 8 d 7 Sztywność EA kn Elem.: l, c, s Elem.: l 5, c., s.8 Elem.: l, c, s Macierz topologii e EA L e TOP cos α e sin α e cos α e sin α e cc cs cc cs cs ss cs ss cc cs cc cs cs ss cs ss Metody obliczeniowe, 7 ratownica płaska - drugi przykład Macierze sztywności elementów w globalnych współrzędnych i agregacja Metody obliczeniowe, 7

13 ratownica płaska - drugi przykład Zastępcze siły węzłowe dla obciążonych elementów i agregacja z z z 5 z e z l e N T p x (x)dx, N x x dx xe l e, xe l e z (T ) T z 5 y y z z z 5 x z z 5 z 8 z7 75 z 75 z x z, z z e z e Metody obliczeniowe, 7 ratownica płaska - drugi przykład Układ równań, warunki brzegowe, rozwiązanie y 5kN/m 5kN d5 x d 8 d 7 w T {,,,, 5,,, } r T {R, R, R, R,,, R 7, R 8 } Warunki brzegowe: d d d d 7 d 8,. x α α x d d d x. d z + w + r Wykreślamy wiersze i kolumny dla których d i, otrzymujemy układ ˆˆd ẑ + ŵ + ˆr Metody obliczeniowe, 7

14 ratownica płaska - drugi przykład Rozwiązanie, przemieszczenia węzłów d 5. d 5 75 R R d 5.8,. d..8. Metody obliczeniowe, 7 ratownica płaska - drugi przykład Rozwiązanie, reakcje podpór r d z w r Sprawdzenie równowagi układu: X Y M Metody obliczeniowe, 7

15 ratownica płaska - drugi przykład Powrót do elementu celem obliczenia sił przywęzłowych Element d d d d 5 Element d d d 5 Element d d5 d 7 d 8,,, f T ( d z ) 88. f. f T ( d ) 9. f 9. f T ( d z ) 59. f Wykres sił normalnych N kn Sprawdź równowagę węzła Metody obliczeniowe, 7