Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Transkrypt

1 METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody przemieszczeń, wyznaczyć siły w prętach oraz naszkicować postać deformacji. Zastosować trzy różne przekroje prętów. IPET 18 RO 51/5 a IPET 14 RO 51/5 IPET 18 RO 51/5 IPET 14 RO 51/5 IPET 14 IPET 14 P1=5 kn P2=2 kn,8,8 P3=3 kn 1,3 1,3 1,3 α = arctg,8 1,3 = 31,675 Opracowanie powinno zawierać: 1. Schematy konstrukcji z numeracją prętów i węzłów, lokalnymi układami współrzędnych, układem globalnym, stopniami swobody konstrukcji oraz zestawienie danych o konstrukcji. 2. Wydruk obliczeń konstrukcji macierzową metodą przemieszczeń. 3. Rezultaty analizy: tabela z wartościami sił i ręcznie przygotowany rysunek zdeformowanej postaci kratownicy. 4. Wydruki z programu Robot (schemat konstrukcji z numeracją węzłów i prętów, tabele: przemieszczenia węzłów i siły wewnętrzne). Uwaga: Na sprawdzenie stanu zaawansowania należy przynieść schemat dyskretnego modelu konstrukcji (rysunek odręczny lub wydruk) i wydruki obliczeń komputerowych. 1 S t r o n a

2 1. DYSKRETNY MODEL KONSTRUKCJI 1.1. Schematy konstrukcji Autor: mgr inż. Robert Cypryjański Y P1=5 kn, P2=2 kn 6 1 4,8 X 1 5 P3=3 kn 1,3 1,3 1,3 Rys. 1. Podział konstrukcji na węzły i pręty, globalny układ współrzędnych. Y 4 3 y1 8 7 x1 2 1 y7 x7 4 x8 y8 8 2 y2 x2 y y6 x y x9 11 x y5 x1 x5 y1 1 y4 x X 1 5 Rys. 2. Lokalne układy współrzędnych prętów, układ stopni swobody konstrukcji. 2 S t r o n a

3 1.2. Zestawienie danych o konstrukcji Tab. 1. Współrzędne węzłów (takie jak w programie ROBOT) Węzeł Współrzędna X [m Współrzędna Y [m 1,, 2, 1,6 3 1,3,8 4 1,3 1,6 5 2,6, 6 2,6,8 7 3,9,8 Tab. 2. Topologia konstrukcji i informacje o prętach (takie jak w programie ROBOT) Pręt Węzeł początkowy Węzeł końcowy Przekrój l i [cm A i [cm IPET , IPET , , IPET , IPET ,6434 8, IPET ,6434 8, IPET ,6434 8, RO 51x5 152,6434 7, RO 51x5 8 7, RO 51x5 13 7, RO 51x5 8 7,23 Moduł Younga dla kształtowników stalowych (taki jak w programie ROBOT): E = 25 Pa 3 S t r o n a

4 2. LOBALNA MACIERZ SZTYWNOŚCI KONSTRUKCJI K K = A T K A A gdzie A macierz alokacji A T transponowana macierz alokacji K A agregowana macierz sztywności konstrukcji 2.1. Macierz alokacji A Macierz alokacji A zawiera informację, któremu stopniowi swobody konstrukcji odpowiada dane, globalne przemieszczenie końca pręta. Przykładowo, w przypadku pręta nr 4 wiemy, że: V 47=14 y4 x4 4 7 U47=13 V 45=1 a U45=9 5 Rys. 3. Zgodność globalnych przemieszczeń końców pręta z przemieszczeniami węzłów na kierunku stopni swobody konstrukcji. Powyższe informacje można też zapisać w formie tablicy (Tab. 3) uzyskując w ten sposób część macierzy alokacji dotyczącą pręta czwartego. Sposób postępowania w przypadku pozostałych prętów jest analogiczny. Tab. 3. Fragment macierzy alokacji dotycząca pręta czwartego zapisany w formie tabeli U 45 1 V 45 1 U 47 1 V S t r o n a

5 Cała macierz alokacji ma wymiar 4 x 14 (sumaryczna liczba globalnych przemieszczeń końców prętów x liczba stopni swobody konstrukcji) i przyjmuje postać: A = U 12 V 12 U 14 V 14 U 24 V 24 U 26 V 26 U 36 V 36 U 37 V 37 U 45 V 45 U 47 V 47 U 53 V 53 U 55 V 55 U 61 V 61 U 63 V 63 U 72 V 72 U 73 V 73 U 83 V 83 U 84 V 84 U 93 V 93 U 96 V 96 U 15 V 15 U 16 V 16 [ S t r o n a

6 2.2. Agregowana macierz sztywności konstrukcji W macierzy tej na głównej przekątnej ustawiane są globalne macierze sztywności poszczególnych prętów, pozostałe elementy to macierze zerowe o wymiarze 4 x 4: K A = k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 [ k 1 lobalne macierze sztywności poszczególnych prętów oblicza się ze wzoru: k i = λ T i k L i λ i gdzie: λ i macierz cosinusów kierunkowych i tego pręta λ T i transponowana macierz cosinusów kierunkowych i tego pręta k L i lokalne macierze sztywności prętów i tego pręta Macierze cosinusów kierunkowych λ i Macierze cosinusów kierunkowych określają położenie osi lokalnego układu danego pręta, względem układu globalnego. Jej wymiar zależy od liczby stopni swobody w węzłach danego pręta. Pręt ramy posiada 2 węzły po 3 stopnie swobody (dwie możliwości przesuwów wzajemnie prostopadłych oraz możliwość obrotu) macierz 6x6. λ i = cos γ xx cos γ xy cos γ yx cos γ yy 1 cos γ xx cos γ xy cos γ yx cos γ yy [ 1 6 S t r o n a

7 Pręt kratownicy posiada 2 węzły przegubowe po 2 stopnie swobody (dwie możliwości przesuwów wzajemnie prostopadłych ) macierz 4x4. λ i = cos γ xx cos γ xy cos γ yx cos γ yy cos γ xx cos γ xy [ cos γ yx cos γ yy Przykładowe wyznaczenie kątów dla pręta 4 y4 x4 4 7 a 5 Rys. 4. Lokalny układ współrzędnych pręta nr 4. Rys. 5. Położenie osi lokalnego układu danego pręta względem układu globalnego. α = arctg,8 1,3 = 31,675 γ xx = 36 α = 36 31,675 = 328,3925 γ xy = 9 α = 9 31,675 = 58,3925 γ yx = 27 α = 27 31,675 = 238,3925 γ yy = 36 α = 36 31,675 = 328, S t r o n a

8 Macierze cosinusów kierunkowych dla poszczególnych prętów Pręt nr 1 Pręt nr 9 Pręt nr 8 Pręt nr 7 Pręt nr 6 Pręt nr 5 Pręt nr 4 Pręt nr 3 Pręt nr 2 Pręt nr 1 γ xx = γ xy = 9 γ yx = 27 γ yy = γ xx = 31,675 γ xy = 121,675 γ yx = 31,675 γ yy = 31,675 γ xx = γ xy = 9 γ yx = 27 γ yy = γ xx = 328,3925 γ xy = 58,3925 γ yx = 238,3925 γ yy = 328,3925 γ xx = 31,675 γ xy = 121,675 γ yx = 31,675 γ yy = 31,675 γ xx = 328,3925 γ xy = 58,3925 γ yx = 238,3925 γ yy = 328,3925 γ xx = 31,675 γ xy = 121,675 γ yx = 31,675 γ yy = 31,675 γ xx = 27 γ xy = γ yx = 18 γ yy = 27 γ xx = γ xy = 9 γ yx = 27 γ yy = γ xx = 27 γ xy = γ yx = 18 γ yy = λ 1 = [ 1 1,8517,5241,5241,8517 λ 2 = [,8517,5241,5241, λ 3 = [ 1 1,8517,5241,5241,8517 λ 4 = [,8517,5241,5241,8517,8517,5241,5241,8517 λ 5 = [,8517,5241,5241,8517,8517,5241,5241,8517 λ 6 = [,8517,5241,5241,8517,8517,5241,5241,8517 λ 7 = [,8517,5241,5241, λ 8 = [ λ 9 = [ λ 1 = [ S t r o n a

9 Lokalne macierze sztywności prętów Kratownice płaskie posiadają po dwa stopnie swobody w każdym węźle. W układzie lokalnym pręta występują tylko siły normalne N, natomiast siły tnące T równe są zeru, zatem lokalna macierz sztywności i-tego elementu kratownicy płaskiej obliczana jest według wzoru v2 EA EA l l k L i = EA EA l l [ v1 u1 Rys. 6. Stopnie swobody elementu w układzie lokalnym. u2 Pręt nr 1 Pręt nr 2 Pręt nr 3 Pręt nr 4, 5, 6 Pręt nr 7 Pręt nr 8, 1 Pręt nr = 1892,31 = 1892, k L 1 = = 1892,31 = 1892, [ 1611,6 1611,6 k L 2 = [ 1611,6 1611,6 1294, ,65 k L 3 = [ 1294, ,65 112,6 112,6 k L 4 = k L 5 = k L 6 = [ 112,6 112,6 97,99 97,99 k L 7 = [ 97,99 97, , ,69 k L 8 = k L 1 = [ 1852, ,69 114,12 114,12 k L 9 = [ 114,12 114,12 9 S t r o n a

10 lobalna macierz sztywności poszczególnych prętów k i V 2 U2 Wyrażenie globalnej macierzy sztywności danego pręta w układzie globalnym polega na transformacji jego lokalnej macierzy sztywności do układu globalnego za pomocą macierzy cosinusów kierunkowych, zgodnie z formułą: k i = λ i T k i L λ i V 1 U1 Rys. 7. Stopnie swobody elementu w układzie globalnym. Pręt nr , ,31 k 1 = k L 1 = [ 1892, ,31 układ lokalny pręta pokrywa się z globalnym układem współrzędnych Pręt nr ,93 719, ,93 719,34 k 719,34 442,67 719,34 442,67 2 = [ 1168,93 719, ,93 719,34 719,34 442,67 719,34 442,67 Pręt nr , ,65 k 3 = k L 3 = [ 1294, ,65 układ lokalny pręta pokrywa się z globalnym układem współrzędnych Pręt nr 4, 6 Pręt nr 5 Pręt nr 7 Pręt nr 8, 1 799,74,15 799,74,15 k 4 = k,15 32,86,15 32,86 6 = [ 799,74,15 799,74,15,15 32,86,15 32,86 799,74,15 799,74,15 k,15 32,86,15 32,86 5 = [ 799,74,15 799,74,15,15 32,86,15 32,86 74,28 433,4 74,28 433,4 k 433,4 266,71 433,4 266,71 7 = [ 74,28 433,4 74,28 433,4 433,4 266,71 433,4 266,71 k 8 = k 1852, ,69 1 = [ 1852, ,69 Pręt nr 9 114,12 114,12 k 9 = k L 9 = [ 114,12 114,12 układ lokalny pręta pokrywa się z globalnym układem współrzędnych 1 S t r o n a

11 11 S t r o n a Utworzenie agregowanej macierzy sztywności konstrukcji K A = [

12 2.3. Utworzenie globalnej macierzy sztywności konstrukcji lobalna macierz sztywności konstrukcji obliczana jest według wzoru: K = [ K = A T K A A ,742, ,742,149,149 32,861,149 32, , ,43 74, , ,38 433,43 266,79 433,43 266,79 799,742,149 74, , , ,43 799,742, ,115,149 32, ,43 266,79 433, , ,688,149 32, ,38 361, , , , , , , , , ,742, , ,742,149,149 32, , ,688,149 32, , , , , , , , , , , , ,742, , ,396,149,149 32,861,149 32, Nałożenie warunków brzegowych na globalną macierz sztywności konstrukcji W węźle nr 1 oraz 2 znajduje się podpora przegubowo nieprzesuwna, co znaczy że węzeł ten nie przemieści się ani w poziomie, ani w pionie. W węźle nr 4 znajduje się podpora przegubowo przesuwna z możliwością przesuwu w poziomie, co znaczy że węzeł ten nie przemieści się w pionie Rys. 8. Układ stopni swobody konstrukcji K = [ , ,43 799,742, , , ,119,149 32, , , , ,742, , ,742,149,149 32, , ,688,149 32, , , , , , , , , , ,742, , ,396,149,149 32,861,149 32, S t r o n a

13 Autor: mgr inż. Robert Cypryjański 3. LOBALNY WEKTOR OBCIĄŻENIA Q lobalny wektor obciążeń obliczyć można za pomocą wzoru Q = Q W + Q P gdzie: Q W - suma globalnego wektora obciążeń węzłowych Q P - suma globalnego wektora obciążeń prętowych sprowadzonych do węzłów. W przypadku obu wektorów obciążenia wyrażone są za pomocą składowych działających na kierunkach stopni swobody konstrukcji. Wszystkie obciążenia są przyłożone w węzłach, dlatego Q P =, a co za tym idzie P1=5 kn P2=2 kn P3=3 kn Rys. 9. Układ stopni swobody konstrukcji. Rys. 1. Siły węzłowe. Q = Q W = [ 5 13 S t r o n a

14 4. PRZEMIESZCZENIA WĘZŁOWE Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń K = Q gdzie: K globalna macierz sztywności konstrukcji, wektor parametrów węzłowych (przemieszczeń, obrotów jeśli występują), Q wektor obciążeń zewnętrznych. Przemieszczenia węzłowe obliczane są przez przekształcenie powyższego układu równań. Otrzymane wartości przemieszczeń są w cm. = K 1 Q = ,8982,2282,611,522,51438,13587,4766, [ 1, = 4= 7=,611 8= 11=-, =-,4766 1= 2= 5=-,8982 6=,2282 9=-,522 1=-, =-, =-1,38382 Rys. 11. Deformacja kratownicy (przygotować ręczny rysunek). 14 S t r o n a

15 5. OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH Autor: mgr inż. Robert Cypryjański Wartości sił wewnętrznych w przekrojach przywęzłowych i tego pręta kratownicy obliczane są na podstawie wyznaczonych wartości przemieszczeń węzłów według wzoru: S i L = k i L i L Znaki sił wewnętrznych odnoszą się do zwrotów lokalnych stopni swobody elementu. Lokalne wektory przemieszczeń obliczane są zgodnie z zależnością i L = λ i i lobalne wektory przemieszczeń końców prętów i tworzy poprzez wybranie z globalnego wektora przemieszczeń wartości opisujących przemieszczeniu danego pręta. Pręt nr 7 Pręt nr 6 Pręt nr 5 Pręt nr 4 Pręt nr 3 Pręt nr 2 Pręt nr , = [ L 7,611 1 = [ S L,611 1 = [ 113,75 8 7,611, , = [ 11,13587 L,315 2 = [ S,1347 L 2 = [ 133,563 12,4766, ,13587, ,25 12, = [ 13,8856 L, = [ S,8856 L 3 = [ 61, , , ,522, , = [ 13,8856 L, = [ S,868 L 4 = [ 14 1, , ,421 95,421 5,8982, ,421 6, = [ 9,522 L, = [ S,17498 L 5 = [ 95,421 1,51438, , = [ 5,8982 L 6 = [ S,6454 L 6 = [ 71,1571 6,2282, = [ 5,8982 6, L = [,8846,2764 S 7 L = [ 85, , S t r o n a

16 Pręt nr 8 Pręt nr 9 Pręt nr 1 8 = [,8982,2282 L,611 8 = [,2282,8982,611 42,2788 S L 8 = [ 42,2788 5,8982,8982 6, = [ 11,13587 L, = [ S,13587 L 9 = [ 12,4766, ,5 52,5 9,522, , 1, = [ 11,13587 L,522 1 = [ S,4766 L 1 = [ 7, 12,4766, S t r o n a

17 6. WYDRUKI Z PRORAMU ROBOT Autor: mgr inż. Robert Cypryjański Rys. 12. Schemat konstrukcji z numeracją węzłów i prętów Tab. 4. Przemieszczenia węzłów Węzeł/Przypadek UX (cm) UZ (cm) 1/1,, 2/1,, 3/1 -,8982,2282 4/1,611, 5/1 -,522 -, /1 -, ,4766 7/1 -,8856-1,38382 Tab. 5. Siły wewnętrzne Pręt/Węzeł/Przypadek FX (kn) 1/2/1-113,75 1/4/1-113,75 2/4/1-133,563 2/6/1-133,563 3/6/1-61,25 3/7/1-61,25 4/5/1 95,421 4/7/1 95,421 5/3/1 95,421 5/5/1 95,421 6/1/1 71,1571 6/3/1 71,1571 7/2/1 85,8894 7/3/1 85,8894 8/3/1 42,2788 8/4/1 42,2788 9/3/1 52,5 9/6/1 52,5 1/5/1-7, 1/6/1-7, 17 S t r o n a