Zaawansowane metody numeryczne

Transkrypt

1 Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej funkcji f (danej odpowiednio w sposób ciągły ub dyskretny) sprowadza się do wyznaczenia obciętego szeregu Fouriera (odpowiednio ciągłego ub dyskretnego), czyi do wyznaczenia tak zwanych współczynników Fouriera rozwinięcia funkcji w pewien szereg trygonometryczny.

2 Twierdzenie Weierstrass a Twierdzenie 7.1. Jeżei funkcja f jest funkcją ciągłą na R i okresową o okresie 2π, to da każdego ε > 0 istnieje n ε oraz funkcja F postaci n ε F (x) = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) k=1 spełniająca da wszystkich x R nierówność F (x) f (x) < ε. Węzły dyskretnej aproksymacji trygonometrycznej Definicja 7.1. (węzły aproksymacji trygonometrycznej) W dyskretnej aproksymacji trygonometrycznej na przedziae 0, 2π będziemy rozpatrywać zbiór N węzłów x i postaci: 1) N = 2L (parzysta iczba węzłów) i=0,...,2l 1 x i = πi L ; 2) N = 2L + 1 (nieparzysta iczba węzłów) i=0,...,2l x i = 2πi 2L + 1.

3 Baza funkcji trygonometrycznych Fakt 7.1. Niech > 0. Funkcje trygonometryczne postaci 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,..., sin mx, cos mx 1, sin πx, cos πx, sin 2πx, cos 2πx,..., sin mπx, cos mπx tworzą układ iniowo niezaeżny i tym samym bazę da pewnej (2m + 1)-wymiarowej podprzestrzeni funkcji trygonometrycznych odpowiednio na przedziae 0, 2π i,. Baza funkcji trygonometrycznych jest często używana do aproksymacji funkcji okresowych. Każda funkcja okresowa daje się sprowadzić do funkcji o okresie np. 2 ( > 0). Ortogonaność bazy trygonometrycznej Fakt 7.2. Funkcje trygonometryczne tworzą na przedziae,, gdzie > 0, układ ortogonany ze wzgędu na ioczyn skaarny stowarzyszony z normą L 2 z wagą w(x) = 1. Da dowonych j, k N zachodzą następujące wzory: cos jπx sin jπx sin jπx cos kπx dx = sin kπx dx = cos kπx dx = 0 0 gdy j k gdy j = k 0 gdy j k gdy j = k

4 Ortogonaność bazy trygonometrycznej Fakt 7.3. Funkcje trygonometryczne tworzą na dyskretnym zbiorze węzłów trygonometrycznych (N-parzyste) układ ortogonany ze wzgędu na ioczyn skaarny stowarzyszony z seminormą ważoną z współczynnikami wagowymi w i = 1. Da dowonych j, k N zachodzą następujące wzory: 2L 1 i=0 sin jx i sin kx i = 2L 1 i=0 cos jx i cos kx i = 2L 1 i=0 cos jx i sin kx i = 0 0 da j k L da j = k 0 0 da j = k = 0 0 da j k L da j = k 0 2L da j = k = 0 Ortogonaność bazy trygonometrycznej Fakt 7.4. Funkcje trygonometryczne tworzą na dyskretnym zbiorze węzłów trygonometrycznych (N-nieparzyste) układ ortogonany ze wzgędu na ioczyn skaarny stowarzyszony z seminormą ważoną z współczynnikami wagowymi w i = 1. Da dowonych j, k N zachodzą następujące wzory: 2L i=0 sin jx i sin kx i = 2L i=0 cos jx i cos kx i = 2L i=0 cos jx i sin kx i = 0 0 da j k L da j = k 0 0 da j = k = 0 0 da j k L da j = k 0 2L + 1 da j = k = 0

5 Wieomian trygonometryczny Definicja 7.2. (wieomian trygonometryczny) Wieomianem trygonometrycznym stopnia n na przedziae 0, 2π, odpowiednio na przedziae,, nazywamy funkcję F postaci F (x) = a m (a k cos kx + b k sin kx) + δ 2 a m+1 cos(m + 1)x, ub odpowiednio k=1 F (x) = a m (a k cos kπx k=1 + b k sin kπx ) + δ 2 a m+1 cos (m + 1)πx, gdzie da n parzystych δ = 1 i m = n 2 2, a da n nieparzystych δ = 0 i m = n 1 2. Zagadnienie aproksymacji trygonometrycznej Niech będzie dana funkcja f (w sposób dyskretny na zbiorze węzłów trygonometrycznych, ub w sposób ciągły na przedziae, ). Jeżei f jest funkcją okresową, to w aproksymacji wygodniej jest szukać wieomianu trygonometrycznego F zamiast wieomianu o kasycznej postaci. Takie podejście nazywamy aproksymacją trygonometryczną funkcji f. Szukamy wieomianu trygonometrycznego F, takiego aby F f 2 był minimany. Jest to zatem aproksymacja średniokwadratowa. Wykorzystujemy fakt, że bazowe funkcje trygonometryczne tworzą odpowiednie układy ortogonane. Dzięki temu możemy wykorzystać gotowe wzory na rozwiązania odpowiednich układów równań normanych da przypadku bazy ortogonanej.

6 Stopień wieomianu trygonometrycznego 1) W przypadku dyskretnym przyjmuje się, że stopień m szukanego aproksymującego wieomianu trygonometrycznego powinien spełniać następującą zaeżność: m N 1 2 da N nieparzystego, m N 2 2 da N parzystego, gdzie N jest iczbą punktów węzłowych w rozpatrywanym zagadnieniu dyskretnym. 2) Jeżei w powyższych wzorach zachodzi równość (iczba funkcji bazowych jest równa iczbie węzłów), to mamy do czynienia z zagadnieniem interpoacji trygonometrycznej. Rozwiązania układu równań normanych Fakt 7.5. W przypadku ciągłym współczynniki a k i b k wieomianu trygonometrycznego są okreśone następującymi wzorami: a k = 1 b k = 1 f (x) cos kπx dx da k = 0,..., m + 1, f (x) sin kπx dx da k = 1,..., m. W przypadku dyskretnym współczynniki a k i b k wieomianu trygonometrycznego są okreśone następującymi wzorami: a k = 2 N b k = 2 N N 1 i=0 f (x i) cos kx i da k = 0,..., m + 1, N 1 i=0 f (x i) sin kx i da k = 1,..., m.

7 Norma Czebyszewa Definicja 7.3. (norma Czebyszewa) Na przestrzeni C( a, b ) funkcji ciągłych na przedziae a, b definiujemy tak zwaną normę Czebyszewa następująco: f C( a,b ) f = sup f (x). x a,b Zagadnienie aproksymacji jednostajnej Niech będzie dana funkcja f C( a, b ). Zagadnienie aproksymacji jednostajnej poega na znaezieniu funkcji F, takiej aby błąd aproksymacji E(F ) = F f był jak najmniejsze, przy czym rozpatrujemy tutaj normę Czebyszewa na przestrzeni C( a, b ). Twierdzenie 5.1 mówi, że dowoną funkcję f C( a, b ) możemy aproksymować jednostajnie wieomianem z dowonie dużą dokładnością.

8 Wieomian najepszego przybiżenia jednostajnego Definicja 7.4. (wieomian najepszego przybiżenia jednostajnego) Niech F n będzie wieomianem stopnia n. Jeżei błąd aproksymacji E(F ) osiąga minimum da F = F n, to wieomian F n nazywamy n-tym wieomianem najepszego przybiżenia jednostajnego funkcji f. Twierdzenie 7.2. (Borea) Da każdej funkcji f C( a, b ) i dowonego n N istnieje wieomian F n, który jest n-tym wieomianem najepszego przybiżenia jednostajnego funkcji f. Twierdzenie 7.3. (Czebyszewa) Wieomian F n, o którym mowa w Twierdzeniu 4.2, jest tyko jeden. Wieomian najepszego przybiżenia jednostajnego 1) Nie ma ogónej metody wyznaczania n-tego wieomianu najepszego przybiżenia jednostajnego da dowonej funkcji f C( a, b ). 2) Zazwyczaj rezygnuje się z poszukiwania wieomianu najepszego przybiżenia jednostajnego i szuka się pewnego wieomianu aproksymującego, który nie musi być najepszym przybiżeniem jednostajnym.

9 Zagadnienie aproksymacji wymiernej Niech V będzie pewną unormowaną przestrzenią iniową funkcji. Ponadto niech V k+1 będzie k + 1-wymiarową podprzestrzenią iniową przestrzeni V. Jeżei w zagadnieniu aproksymacji poszukujemy funkcji aproksymującej o postaci F (x) = a 0ϕ 0 (x) a n ϕ n (x) b 0 ψ 0 (x) b m ψ m (x), gdzie ϕ 0,..., ϕ n i ψ 0,..., ψ m są eementami pochodzącymi z tej samej bazy k +1-wymiarowej podprzestrzeni V k (da k = max{n, m}), to wówczas mamy do czynienia z zagadnieniem aproksymacji wymiernej. Zagadnienie aproksymacji wymiernej Zazwyczaj jednostajne przybiżenia wymierne R n,m postaci R n,m (x) = L n(x) M m (x), gdzie L n i M m są odpowiednio wieomianami stopnia n i m, dają mniejsze błędy maksymane od przybiżeń jednostajnych wieomianami agebraicznymi stopnia N = n + m (przy założeniu, że nie mamy do czynienia z N-tym wieomianem najepszego przybiżenia jednostajnego). W szczegóności dotyczy to przybiżeń wieomianami, które są zdefiniowane przez obcięte szeregi Tayora ub Macaurina.

10 Zagadnienie aproksymacji Padé Niech będą dane parametry n, k N oraz funkcja f C ( ε, ε ), gdzie ε > 0 i ε, ε jest pewnym otoczeniem punktu x = 0. Szukamy funkcji wymiernej R n,k postaci R n,k = L n M k, gdzie L n i M k są odpowiednio wieomianami stopnia n i k, takiej że: 1) f (x) R n,k (x) w pewnym otoczeniu punktu x = 0; 2) f (0) = R n,k (0); 3) m=1,...,n+k f (m) (0) = R (m) n,k (0). Założenia i oznaczenia w aproksymacji Padé Niech L n (x) = a 0 + a 1 x a n x n, M k (x) = b 0 + b 1 x b n x n. Ponieważ R n,k (0) musi być okreśone, wiec b 0 0. Przyjmijmy zatem, że b 0 = 1. Załóżmy ponadto, że funkcje L n i M k są wzgędnie pierwsze oraz, że funkcję f można rozwinąć w szereg Macaurina w pewnym otoczeniu punktu x = 0: i=0,1,... c i = f (i) (0), i! f (x) = c i x i = f (i) (0) x i i!. i=0

11 Uwagi o przybiżeniu Padé 1) Przybiżenia Padé nie są najepszymi przybiżeniami w sensie aproksymacji jednostajnej. Wymuszenie równości funkcji f i R n,k oraz ich pochodnych do rzędu n + k włącznie jedynie da punktu x = 0 powoduje, że błędy takich przybiżeń rosną wraz z oddaaniem się od tego punktu. 2) Szukana funkcja wymierna R n,k = L n M k może być w pewnych punktach nieokreśona (z uwagi na możiwe zerowanie się mianownika M k ). 3) Da większości typowych funkcji najmniejszy błąd maksymany spośród wszystkich przybiżeń Padé uzyskuje się da n = k ub n = k + 1. Uwagi o przybiżeniu Padé 4) Zagadnienie wyznaczenia funkcji R n,k w przybiżeniu Padé sprowadza się do wyznaczenia wartości n + k + 1 współczynników wieomianów L n i M k. 5) Wieomiany L n i M k są wzgędnie pierwsze, jeżei w ich rozkładach na ioczyn jednomianów nie występują takie same czynniki, ub inaczej jeżei funkcja wymierna postaci L n(x) M k (x) jest nieskracana. Oznacza to między innymi, że nie da się usunąć osobiwości funkcji R n,k poprzez procedurę skracania mianownika M k z icznikiem L n. 6) Jeżei k = 0, to wówczas R n,k jest po prostu obciętym szeregiem Macaurina.

12 Błąd przybiżenia Padé Błąd aproksymacji Padé jest dany wzorem: f (x) R n,k (x) = f (x) L n(x) M k (x) = i=0 c i x i = ( i=0 c i x i ) ( k ) s=0 b sx s n j=0 a j x j k s=0 b sx s. n j=0 a j x j k s=0 b sx s = Z warunku f (0) = R n,k (0) wynika, że a 0 = f (0). Natomiast z warunku f (m) (0) = R (m) n,k (0) (gdzie m = 1,..., n+k) wynika, że w iczniku wyrażenia f (x) R n,k (x) muszą znikać współczynniki przy potęgach x o wykładnikach mniejszych od n + k + 1. Zatem chcemy aby icznik ten miał następującą postać: ( ) ( k ) c i x i n b s x s a j x j = d t x t. i=0 s=0 j=0 t=n+k+1 Układ równań na współczynniki przybiżenia Padé Fakt 7.6. Otrzymujemy następujący układ równań na współczynniki przybiżenia Padé R n,k : b 0 = 1, c j = 0 da j < 0, kj=1 c m j b j = c m da m = n + 1,..., n + k, b j = 0 da j > k, a m = m j=0 c m j b j da m = 0,..., n.

13 Układ równań na współczynniki przybiżenia Padé 1) Układ równań na współczynniki przybiżenia Padé może nie posiadać rozwiązania. 2) Do rozwiązania układu równań na współczynniki przybiżenia Padé wymagana jest zajomość współczynników c 0,..., c n+k z rozwinięcia funkcji f w szereg Macaurina (nie musimy znać całego rozwinięcia). 3) Warunki które doprowadziły do układu równań na współczynniki przybiżenia Padé oznaczają, że przybiżenie wymierne otrzymane jako jego rozwiązanie ma na ogół małe błędy tyko w pobiżu punktu x = 0.