7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

Transkrypt

1 7. ELEMENTY PŁYTOWE ELEMENTY PŁYTOWE Rys Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić obciążenie, ustalić więzy (warunki brzegowe), wprowadzić odpowiednie funkcje kształtu {u}=[ N ] {d } (7.1) gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: { }=[ B]{d } { }=[ D]{B}{d } (7.) zdefiniować macierz sztywności: [ K e ]= B T D B dv (7.3) V (jest to macierz osobliwa),

2 7. ELEMENTY PŁYTOWE dokonać transformacji macierzy sztywności (z układów lokalnych do układu globalnego) [ K e G ] [ K e] (7.4) zagragować macierz sztywności zapewnia to nierozdzielność przemieszczeń węzłów: A K e G [ K ] (7.5) gdzie A oznacza operator, postawić problem jako równanie: [ K ]{D}={P} (7.6) [K] macierz sztywności, będąca na tym etapie nadal osobliwą, wprowadzić warunki brzegowe, rozwiązać równanie: {D}=[ K ] 1 {P} (7.7) w wyniku którego otrzymujemy szukane przemieszczenia, przetransformować obliczone przemieszczenia do układów lokalnych, odtworzyć interesujące nas stany odkształceń, naprężeń i przemieszczeń.

3 7. ELEMENTY PŁYTOWE Płyty cienkie Płyta cienka to obiekt dwuwymiarowy, w którym wymiary w kierunku osi x i y są wielokrotnie większe niż jego grubość. z,w y,v x,u t dz Q x z M x M x x y t dy dx Rys Płyta cienka Załóżmy, że ugięcia występują w jednym kierunku i mamy dwa kąty obrotu: tego kąta obrotu nie uwzględniamy z ugięcie (pionowo w dół) po kierunku z

4 7. ELEMENTY PŁYTOWE 4 Odkształcenia w płaszczyźnie warstwy płyty opisane są wzorami: = u y = v y = u y v (7.8) Przemieszczenia dowolnego punktu: u= z w v= z w y (7.9) gdzie w jest kątem obrotu. Po podstawieniu wzorów 7.9 do 7.8 otrzymujemy: = z w y = z w y = z w y (7.10) Zależność między naprężeniami a odkształceniami dla warstwy płyty jest taka sama jak dla płaskiego stanu naprężenia, mamy więc: { }=[ D]{ } (7.11) gdzie D= E [1 ] 0 1 0, = 1 (7.1) Wektor naprężeń uogólnionych odpowiada wartościom momentów zginających: [ M ]=[M xx M yy M xy ] T (7.13) Jeśli = E 1 x y (7.14) to uogólnione naprężenie M xx wynika z całkowania wyrażenia

5 7. ELEMENTY PŁYTOWE 5 t M xx = z dz= E t w w y (7.15) t W podobny sposób uzyskujemy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń: M yy = E t w y w (7.16) E t3 M xy = 1 1 w y (7.17) Wektor uogólnionych odkształceń będzie postaci: [ ]=[x yy y ] T =[W, xx W, yy W, xy ] T (7.18) Wówczas uogólniony operator D dla naprężeń i odkształceń wynosi: D=D t3 1 (7.19) A zatem otrzymujemy relację: [ M ]=D [ ] (7.0) 7.. Rodzaje elementów płytowych niedostosowany element prostokątny, zwany MZC (nie spełnia warunków ciągłości pochodnych na brzegu elementu). Stopnie swobody są postaci: [d i ]=[ w w i i y w T i ] (7.1) Obciążenie węzłowe wynosi natomiast: [ p i ]=[ p zi M xi M yi ] T, gdzie i=1,...,4 (7.)

6 7. ELEMENTY PŁYTOWE 6 Funkcja aproksymacyjna będzie postaci: w=c 1 c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 3 c 8 c 9 c 10 3 c 11 3 c 1 3 (7.3) Występujące 1 stałych to pełen zestaw z trójkąta Pascala (dla czterech pierwszych wierszy} wraz z dodatkiem x 3 y oraz xy 3. Macierz sztywności dla takiego elementu otrzymamy w następującej postaci: [ K e ]= E t3 1 1 [ K 1 ] [ K ] [ K 3 ] [ K 4 ] macierzniezależnaod przemieszczeńelementów (7.4) [K e ] jest również macierzą niezależną od przemieszczeń elementów, co oznacza, że mamy zadanie liniowe. dostosowany element prostokątny, zwany BFS. Stopnie swobody są postaci: [d i ]=[[d i1 ][d i ][d i3 ][d i4 ]] =[ T w i w i y w i T w i y], gdzie i=1,..., 4 (7.5) Funkcję przemieszczeń opisuje równanie przedstawione poniżej: przy czym dla czterech stopni swobody ograniczamy się do wyrazów rozwinięcia położonych powyżej przekątnej. Przykładowym elementem prostokątnym dostosowanym może być element czterowęzłowy (z węzłami położonymi w narożnikach). Dla takiego przypadku odpowiednio dobieramy funkcje kształtu (tu z czterema stopniami swobody). Jeśli stosujemy więcej punktów Gaussa, należy odpowiednio dobrać też funkcje kształtu. Z uwagi na długi czas potrzebny na całkowanie funkcji kształtu, korzystniej jest nam przyjąć większą liczbę stopni swobody z odpowiadającymi prostymi funkcjami kształtu, niż mało punktów stopni swobody a skomplikowane funkcje kształtu.