ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

Transkrypt

1 Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: ; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe Przekrój I240: A = 46,1 cm 2 = 46, m 2 I x = 4250 cm 4 = m 4 Przekrój I260: A = 53,4 cm 2 = 53, m 2 I x = 5740 cm 4 = m 4 Materiał stal: E = 205 Gpa = kn/m 2 2. Składowe przemieszczeń w globalnym układzie współrzędnych (GUW)

2 3. Rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciąŝenia zewnętrznego Obliczenia wykonano za pomocą programo RM-Win v9.18: N 1 = -9,652 kn, N 3 = -79,571 kn, N 2 = -72,006 kn, N 4 = -63,068 kn. 4. Macierze sztywności i obciąŝeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych (LUW) oraz globalnym (GUW) Współczynniki macierzy są obliczane dla danych w jednostkach zawierających [kn] i [m]. pręt nr 1 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności w LUW:

3 Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 321,340º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz transformacji pręta: Macierz sztywności w GUW: Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, Wektor sił przywęzłowych w GUW:

4 pręt nr 2 I260, obustronnie utwierdzony: Macierz sztywności w LUW: Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz sztywności w GUW: Macierz sztywności geometrycznej w GUW:,

5 Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 3 I260, obustronnie utwierdzony: Macierz sztywności w LUW: Macierz sztywności geometrycznej w LUW: Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz sztywności w GUW:

6 Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 4 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności w LUW: Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 90,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,,

7 Macierz transformacji pręta: 6.123D D D D Macierz sztywności w GUW: D D D D D D D D D D D D D D D D Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Wektor sił przywęzłowych w GUW: 5. Schemat agregacji globalnej macierzy sztywności K 16x16, sztywności geometrycznej K g16x16 i wektora obciąŝeń węzłowych P 16x1 Tabela powiązań: Nr reakcji Nr pręta Schemat agregacji macierzy i wektora: X współczynniki macierzy pręta nr 1, O współczynniki macierzy pręta nr 2, # współczynniki macierzy pręta nr 3, $ współczynniki macierzy pręta nr 4, puste pole wartość równa zero,

8 nr X X X X X X X 2 X X X X X X X 3 X X X X X X X 4 X X X XO# XO# X O# O O O # # # XO# 5 X X X XO# XO# X O# O O O # # # XO# 6 X X X X X X X 7 O# O# O# O O O # # # O# 8 O O O O O O O 9 O O O O O O O 10 O O O O O O O 11 # # # #$ #$ #$ $ $ $ #$ 12 # # # #$ #$ #$ $ $ $ #$ 13 # # # #$ #$ #$ $ $ $ #$ 14 $ $ $ $ $ $ $ 15 $ $ $ $ $ $ $ 16 $ $ $ $ $ $ $ UWAGA: Współczynniki macierzy poszczególnych prętów i ich miejsca w macierzach globalnych: pręt nr 1: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (5,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) T (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) pręt nr 2: (8,8) (8,9) (8,10) (8,4) (8,5) (8,7) (9,8) (9,9) (9,10) (9,4) (9,5) (9,7) (10,8) (10,9) (10,10) (10,4) (10,5) (10,7) (4,8) (4,9) (4,10) (4,4) (4,5) (4,7) (5,8) (5,9) (5,10) (5,4) (5,5) (5,7) (7,8) (7,9) (7,10) (7,4) (7,5) (7,7) T (8,1) (9,1) (10,1) (4,1) (5,1) (7,1) pręt nr 3: (4,4) (4,5) (4,7) (4,11) (4,12) (4,13) (5,4) (5,5) (5,7) (5,11) (5,12) (5,13) (7,4) (7,5) (7,7) (7,11) (7,12) (7,13) (11,4) (11,5) (11,7) (11,11) (11,12) (11,13) (12,4) (12,5) (12,7) (12,11) (12,12) (12,13) (13,4) (13,5) (13,7) (13,11) (13,12) (13,13) T (4,1) (5,1) (7,1) (11,1) (12,1) (13,1)

9 pręt nr 4: (11,11) (11,12) (11,13) (11,14) (11,15) (11,16) (12,11) (12,12) (12,13) (12,14) (12,15) (12,16) (13,11) (13,12) (13,13) (13,14) (13,15) (13,16) (14,11) (14,12) (14,13) (14,14) (14,15) (11,16) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (12,16) (16,11) (16,12) (16,13) (16,14) (16,15) (13,16) T (11,1) (12,1) (13,1) (14,1) (15,1) (16,1) 6. Globalny wektor obciąŝeń węzłowych P 16x1 Wektor sił przywęzłowych układu od obciąŝeń zewnętrznych R 0 oraz wektor zewnętrznych sił węzłowych układu P w :, Wektor obciąŝeń węzłowych układu: 0

10 7. Globalna macierz sztywności K 16x16 oraz sztywności geometrycznej K g16x , ,6 398, , , , ,07 497, , , , , , , , , ,65-398, , , , ,1-497, , , , , , , , K16x16 = , , , , , , , , , , , , , , ,6 1,44E , ,59-1,44E , , , ,44E ,8-4412,63-1,44E ,00E , , , , ,5 3267,188-2,00E , ,59-1,44E , ,594 1,44E , ,44E ,00E-13 1,44E ,5-2,00E ,19 2,00E , ,188-2,00E , , , , , , , , , , , , , ,3606 1, , , , , , , , , , , , , , , ,8713-7, Kg16x16= , , , , , , , , ,2814-7, , , , , ,9204 1,16E-15 6, ,9204-1,16E-15 6, , , ,16E-15-23,8713 7,9571-1,16E-15 7,09E-32-3,86E , , ,3068 7, , ,3068 3,86E-16 8, ,9204-1,16E-15-6, ,9204 1,16E-15-6, ,16E-15 7,09E-32 3,86E-16 1,16E-15-7,09E-32 3,86E ,3068-3,86E-16 8, ,3068 3,86E-16-33,636267

11 8. Warunki brzegowe W celu uwzględnienia warunków brzegowych dokonuję się redukcji układu równań stateczności (analogicznie równowagi statycznej) polegającej na: wprowadzeniu warunków podparcia (zerowych przemieszczeń): utwierdzenie pręta nr 1: q 1, q 2, q 3, utwierdzenie pręta nr 2: q 8, q 9, q 10, utwierdzenie pręta nr 4: q 14, q 15, q 16, redukcji statycznej układu: przegub jednostronny pręta nr 1: q 6.

12 9. Rozwiązanie uogólnionego problemu własnego 0 0, 0 *, 1/ * Do rozwiązania tak sformułowanego problemu własnego, wykorzystano funkcję eigen() z biblioteki Scilaba calfem. Wartości własne : Wektory własne q: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) q q q q q q q q q9 = q q q q q q q * w rzeczywistości wartość q 6 jest róŝna od zera. O wartości obciąŝenia krytycznego decyduje najmniejszy współczynnik 1/. NaleŜy, więc znaleźć najmniejszą wartość własną: 1/1/ 1/0, ,49397 Wektor własny q1 (wektor przemieszczeń uogólnionych w GUW) odpowiadający mnoŝnikowi krytycznemu określa pierwszą postać utraty stateczności rozpatrywanej konstrukcji: Wektory przemieszczeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych: pręt nr 1 (α = 321,340º):

13 Wektor przemieszczeń w GUW: Macierz transformacji pręta: Wektor przemieszczeń w LUW: pręt nr 2 (α = 0º): Wektor przemieszczeń w GUW: Wektor przemieszczeń w LUW: pręt nr 3 (α = 0º): Wektor przemieszczeń w GUW: Wektor przemieszczeń w LUW: pręt nr 4 (α = 90º): Wektor przemieszczeń w GUW: Macierz transformacji pręta: 6.123D D D D

14 Wektor przemieszczeń w LUW: Postać utraty stateczności Przemieszczenia poziome i pionowe punktów na długości pręta wyznaczono z wartości przemieszczeń węzłowych i funkcji kształtu wg poniŝszych wzorów: Pręt obustronnie utwierdzony Pręt z przegubem na prawym końcu pręt nr 1 (przegub na prawym końcu): 0, , , ,601 0,75 0, , ,25 0, , , ,202 0,5 0,3125 1, ,5 0, , , ,802 0,25 0, , ,75 0, , , , , , pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): 0, , , ,250 0,75 0, , ,25 0, , , , ,500 0,5 0,5 0,625 0,5 0,5-0,625 0, , ,750 0,25 0, , ,75 0, , , , , , ,

15 pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): 0, , , ,000 0,75 0, ,5625 0,25 0, ,1875 0, , ,000 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5-0,5 0, , ,000 0,25 0, ,1875 0,75 0, ,5625 0, , , , , pręt nr 4 (obustronnie utwierdzony): 0, , , ,000 0,75 0, ,5625 0,25 0, ,1875-0, , ,000 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5-0,5-0, , ,000 0,25 0, ,1875 0,75 0, ,5625-0, , , , ,

16 Postać utraty stateczności dla mnoŝnika krytycznego 158,49397: Wartości obciąŝenia krytycznego:

17 WYZNACZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH I PRZEMIESZCZEŃ Z UWZGLĘDNIENIEM DUśYCH SIŁ OSIOWYCH WG TEORII II RZĘDU 11. Schemat statyczny ramy ObciąŜenie krytyczne występuje dla mnoŝnika 158, Obliczenia przeprowadzono dla schematu obciąŝonego siłami przemnoŝonymi przez współczynnik 0,6 95,096 95, jak na rysunku: 12. Rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciąŝenia zewnętrznego Obliczenia wykonano za pomocą programo RM-Win v9.18: N 1 = -916,983 kn, N 3 = -7559,248 kn, N 2 = -6840,577 kn, N 4 = -5991,501 kn.

18 13. Nowe macierze sztywności geometrycznej oraz wektory obciąŝeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych (LUW) oraz globalnym (GUW) teoria II rzędu Macierze sztywności geometrycznej są zaleŝne od wartości sił normalnych, dlatego macierze geometryczne wyznaczone przy obliczaniu siły krytycznej moŝna pomnoŝyć przez współczynnik 0,6 95, Macierze sztywności pozostają niezmienione (jak w pkt. 4). Współczynniki macierzy są obliczane dla danych w jednostkach zawierających [kn] i [m]. pręt nr 1 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 321,340º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz transformacji pręta: Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 2 I260, obustronnie utwierdzony:

19 Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 3 I260, obustronnie utwierdzony: Macierz sztywności geometrycznej w LUW: Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,,

20 Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 4 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 90,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz transformacji pręta: 6.123D D D D Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Wektor sił przywęzłowych w GUW:

21 14. Nowa globalna macierz sztywności geometrycznej K g16x16 oraz globalny wektor obciąŝeń węzłowych P 16x1 Schemat agregacji przeprowadzono wg schematu w punkcie 5. Macierz sztywności pozostaje niezmieniona (jak w pkt. 7) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Kg16x16= , , , , , , , , , , , , , , ,45 1,10E , ,4503-1,10E , , , ,10E , ,9248-1,10E-13 6,74E-30-3,67E , , , , , ,1501 3,67E , ,4503-1,10E , ,45 1,10E , ,10E-13 6,74E-30 3,67E-14 1,10E-13-6,74E-30 3,67E ,1501-3,67E , ,1501 3,67E , P T 16x1 = , ,

22 15. Warunki brzegowe W celu uwzględnienia warunków brzegowych dokonuję się redukcji układu równań równowagi (analogicznie do równań stateczności) polegającej na: wprowadzeniu warunków podparcia (zerowych przemieszczeń): utwierdzenie pręta nr 1: q 1, q 2, q 3, utwierdzenie pręta nr 2: q 8, q 9, q 10, utwierdzenie pręta nr 4: q 14, q 15, q 16, redukcji statycznej układu: przegub jednostronny pręta nr 1: q Rozwiązanie statyki wg teorii II rzędu Wektor niezerowych przemieszczeń uogólnionych w globalnym układzie współrzędnych: q q q q 11 = [m,rad] q q * w rzeczywistości wartość q 6 jest róŝna od zera, jednak nie ma wpływu na wartości sił wewnętrznych w układzie, poniewaŝ wcześniej dokonano odpowiedniej redukcji statycznej, a współczynniki macierzy K i wektora P dla pręta nr 1 uwzględniają jego przegubowe połączenie na prawym końcu. pręt nr 1 (α = 321,340º): Wektor przemieszczeń w GUW: D-15 Macierz transformacji pręta: Wektor przemieszczeń w LUW: D-15 pręt nr 2 (α = 0º):

23 Wektor przemieszczeń w GUW: 1.0D-08 * D Wektor przemieszczeń w LUW: 1.0D-08 * D pręt nr 3 (α = 0º): Wektor przemieszczeń w GUW: Wektor przemieszczeń w LUW: pręt nr 4 (α = 90º): Wektor przemieszczeń w GUW: Macierz transformacji pręta: 6.123D D D D Wektor przemieszczeń w LUW: Siły przekrojowe Wektor sił przywęzłowych w pręcie "e": wg schematu: pręt nr 1:,,,,,, pręt nr 2:,

24 pręt nr 3:, pręt nr 4:, Wykres sił normalnych z 1-iteracji 19. Porównanie wartości sił normalnych w prętach z 0-iteracji oraz 1-iteracji 0-iteracja teoria I rzędu 1-iteracja teoria II rzędu Nr pręta teoria I rzędu teoria II rzędu RÓśNICA BŁĄD [%] 1-916,983 kn -692,945 kn 224,038 kn 24, ,577 kn -7188,457 kn 347,880 kn 5, ,248 kn -7727,446 kn 168,198 kn 2, ,501 kn -6126,712 kn 135,211 kn 2,3