6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
|
|
- Gabriela Filipiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6.1. Wprowadzenie Dotąd poznaiśmy dwie metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczanych: metodę sił i metodę przemieszczeń. Jednak przy bardzo skompikowanych układach wieoprętowych, zastosowanie którejkowiek z tych metod byłoby uciążiwe, ze wzgędu na konieczność rozwiązywania układu równań z dużą iczbą niewiadomych. Ponieważ metoda sił zazwyczaj dopuszcza wiee możiwych układów podstawowych, najłatwiejsza do skomputeryzowania wydaje się być metoda przemieszczeń (tutaj układ podstawowy jest najczęściej ściśe okreśony). Datego też, coraz częściej, przy rozwiązywaniu układów niewyznaczanych zastosowanie mają programy komputerowe, które opierają się właśnie na tej metodzie. Przyjrzyjmy się zatem wersji komputerowej metody przemieszczeń. Do tej pory rozwiązując układy prętowe metodą przemieszczeń zakładaiśmy nieskracaność prętów oraz pomijaiśmy wpływ sił normanych. omputerowa wersja pozwaa nam uwzgędnić te siły, datego rezygnujemy z zasady nieskracaności prętów. Ponadto zakładamy, że każdy węzeł układu ma własne, niezaeżne przemieszczenia: dwa przesuwy (pionowy, poziomy) i kąt obrotu. Zwroty przemieszczeń zakładamy zgodnie z przyjętym na potrzeby zadania gobanym układem współrzędnych xy. Równie istotna jest tutaj numeracja przemieszczeń. Ze wzgędu na trudności, które mogą powstać przy agregacji macierzy sztywności powinna być ona ciągła w obrębie każdego węzła. Poszczegóne przemieszczenia numerowane będą w następującej koejności: przesuw poziomy, pionowy i kąt obrotu. x q 9 y q 6 q 7 q 4 q 5 q 8 q Rys ierunki przemieszczeń węzłów w gobanym układzie współrzędnych (x, y) Podobnie jak w kasycznej metodzie przemieszczeń rozwiązanie uzyskujemy z układu równań kanonicznych, którego wymiar zaeży od iczby przemieszczeń q i: r 11 Z 1 r 1 Z r 13 Z 3 r 19 Z 9 r 1 P = r 1 Z 1 r Z r 3 Z 3 r 9 Z 9 r P = r 31 Z 1 r 3 Z r 33 Z 3 r 39 Z 9 r 3 P = r 91 Z 1 r 9 Z r 93 Z 3 r 99 Z 9 r 9 P = Współczynniki r ij zaeżą od geometrii układu i parametrów fizycznych prętów, a nie od obciążenia zewnętrznego. Razem tworzą one macierz charakterystyczną zwaną macierzą sztywności [ij. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
2 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ r1 r13 r14 r19 r 1 r r 3 r 4 r 9 [ ij =[r11 r 31 r 3 r 33 r 34 r 39 =[rij r 91 r 9 r 93 r 94 r 99 Niewiadome, oznaczane dotąd Zi to nic innego jak szukane przemieszczenia węzłów qi, które tworzą macierz niewiadomych przemieszczeń węzłowych [q: [q=[ q q 9=[q i Współczynniki r ip również będą tworzyły macierz tak zwany wektor obciążeń [P ij: [ P ij = [r 1 P r P r 9 P= [r ip Można zatem cały układ równań kanonicznych zapisać w postaci równania macierzowego: [ ij 9 9 [q i 9 1 =[ P ij 9 1 ub ogóniej da dowonego układu (n to iczba niezaeżnych przemieszczeń węzłowych): [ ij n n [q i n 1 =[ P ij n 1 (6.1) Rozwiązanie równania (6.1) pozwoi nam uzyskać wynik, tak jak w zadaniu kasycznym. Aby jednak móc przystąpić do obiczeń, naeży utworzyć wszystkie potrzebne macierze. ażda z nich powstaje w wyniku agregacji odpowiednich macierzy eementowych (zapisanych da pojedynczych prętów). Przyjrzyjmy się zatem pojedynczemu eementowi ramy (e). Przyjmujemy okany układ współrzędnych, taki, że oś pokrywa się z osią pręta, a oś jest do niej prostopadła i tworzą układ prawoskrętny (oś obraca się w kierunku osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara). W takim układzie okanym numerujemy przemieszczenia oraz reakcje. Da pręta obustronnie utwierdzonego trzeba okreśić sześć reakcji w węzłach (każdemu przemieszczeniu musi odpowiadać reakcja po tym samym kierunku). y x q e q 5 q 6 q 4 R 1 i R 3 R k R 5 R 6 R 4 Rys. 6.. Lokane kierunki przemieszczeń i reakcji Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
3 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 3 Warto zauważyć, że numery przemieszczeń nie są powiązane z numerami węzłów. Symboe z ~ oznaczają wiekości w układzie okanym. Tak ponumerowane przemieszczenia i reakcje łatwo można zapisać w postaci wektorów: R1 R [ q =[ q1 3 R q 4 q 3 R 4 5 R 5 q 6 R 6 =[ [ R Reakcje, które powstaną w utwierdzeniach, to szukane wiekości (siły przekrojowe), opisywane w metodzie przemieszczeń wzorami transformacyjnymi. Ponieważ w metodzie komputerowej dodatnie siły przywęzłowe muszą mieć zwroty zgodne z przyjętym układem współrzędnych, a w metodzie kasycznej był inny system znakowania, to zachodzą związki: R 1 = N ik R 4 =N ki R = T ik R 5 =T ki R 3 =M ik R 6 =M ki (6.) Stosując zasadę superpozycji można zapisać wzór na każdą z tych reakcji w układzie okanym. Jeśi użyjemy zapisu macierzowego uwzgędniającego wszystkie siły otrzymamy równanie równowagi eementu (pojedynczego pręta): [ R 6 1 =[ 6 6 [ q 6 1 [ R 6 1 (6.3) gdzie: [ R - wektor sił przywęzłowych (reakcje) w okanym układzie współrzędnych, [ - macierz charakterystyczna (sztywności) w okanym układzie współrzędnych, [ q - wektor przemieszczeń węzłów w okanym układzie współrzędnych, [ R - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego w okanym układzie współrzędnych. Przekształcając równanie (6.3) możemy napisać [ P =[ R [ R =[ [ q Anaogicznie da całego układu prętowego (układ gobany) można stwierdzić, że wektor obciążeń [Pij składa się z wartości sił węzłowych i przęsłowych. Możemy zatem zapisać: gdzie: [ P ij =[ P w [ R (6.4) [ P w - wektor zewnętrznych sił obciążających węzły konstrukcji, [ R - wektor sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych w układzie gobanym. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
4 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ Macierz sztywności eementu Macierz sztywności eementu to macierz składająca się z 36 współczynników rij wyznaczonych da pojedynczego pręta z uwzgędnieniem w obiczeniach sił normanych. W zaeżności od sposobu zamocowania pręta w konstrukcji (połączenie sztywne ub przegubowe) otrzymamy różne wartości współczynników. Da pręta obustronnie sztywno zamocowanego w konstrukcji mamy: [ = 1 3[ 1 EJ 6 EJ 1 EJ 6 EJ 6 EJ 4 EJ 6 EJ EJ 1 EJ 6 EJ 1 EJ 6 EJ 6 EJ EJ 6 EJ 4 EJ (6.5) Dysponując macierzą sztywności możemy sprawdzić czy po rozpisaniu któregoś z wierszy równania (6.3) otrzymamy wzór transformacyjny. Spróbujmy zatem rozpisać trzeci wiersz tego równania zakładając, że na pręcie nie ma obciążenia przęsłowego, czyi [ R =[. Wykorzystując macierz (6.5) w równaniu (6.3) mamy: q 1 6 EJ q 4 EJ q 3 q 4 6 EJ q 5 EJ q 6 = R 3 (6.6) Na podstawie zaeżności (6.) wiemy, że z równania (6.6) powinniśmy otrzymać wartość M ik. R 3 =M ik = 4 EJ q 3 EJ M ik = EJ [ q 3 q 6 3 q 6 6 EJ q q 5 q 5 q Niewiadome q i to przemieszczenia węzłów pręta. Zgodnie z oznaczeniami z rys. 6. w metodzie kasycznej odpowiednie przemieszczenia mają symboe: q 3 = i q 6 = k q =v i q 5 =v k (6.7) v k v i = ik czyi ostatecznie otrzymaiśmy wzór transformacyjny, który jest zgodny z metodą kasyczną: M ik = EJ [ i k 3 ik Rozpiszmy teraz drugi wiersz równania (6.3). Według zaeżności (6.) powinniśmy otrzymać wartość Tik. q 1 EJ 1 q 3 6 EJ q 3 q 1 EJ 4 q EJ q 6 = R T ik = 6 EJ [ q q 3 q 6 5 q (6.8) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
5 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 5 T ik = 6 EJ [ q 3 q 6 q 5 q Podstawiając związki (6.7) otrzymamy poprawny wzór transformacyjny: T ik = 6 EJ [ i k ik Na koniec rozpiszmy jeszcze pierwszy wiersz równania (6.3), pamiętając, że R 1 = N ik : q 1 q q 3 q 4 q 5 q 6 = R 1 (6.9) N ik = q 1 q 4 N ik = q 4 Ponieważ przemieszczenia i q 4 to przemieszczenia końców pręta wzdłuż jego osi, ich różnicę możemy nazwać wydłużeniem ub skróceniem pręta: q 4 q 1 = Ostatecznie otrzymujemy wartość siły normanej N ik, która spełnia związki fizyczne: N ik = W ten sam sposób można rozpisać każdy z wierszy równania (6.3), otrzymując tym samym odpowiedni wzór transformacyjny metody przemieszczeń. Nie zawsze jednak mamy do czynienia wyłącznie z prętami obustronnie utwierdzonymi. Jeżei w skład ramy wchodzą także pręty zakończone przegubem, mamy dwie możiwości postępowania. Jedna z nich poega na rozwiązywaniu układu z założeniem, że wszystkie pręty są obustronnie utwierdzone, a przegub uwzgędniany jest dopiero przy modyfikacji układu ze wzgędu na warunki podparcia. Druga metoda pozwaa na uwzgędnienie przegubu już na początku obiczeń przez wykonanie tak zwanej redukcji statycznej Redukcja statyczna W przypadku prętów z przegubem znamy wartość jednej z reakcji R i. W miejscu przegubu wartość momentu M ik ub M ki (w zaeżności czy przegub jest na ewym czy prawym końcu pręta) wynosi zero (rys. 6.3). i φ i M ik = e k i e φ k M ki = k Rys Pręty z przegubem: na ewym i prawym końcu Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
6 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6 czyi odpowiednio: R 3 = ub R 6 = Naeży jednak pamiętać, że zerowa reakcja nie oznacza zerowego przemieszczenia po danym kierunku: da R 3 = q 3 da R 6 = q 6 Możemy dokonać redukcji macierzy sztywności eementu. Da pręta z przegubem z ewej strony R 3 = przyrównujemy do zera trzeci wiersz z układu (6.3) 6 EJ q 4 EJ 6 EJ q 5 EJ q 6 = Z tego warunku wynika wartość kąta obrotu w przegubie = 1 3 q 3 q 5 q 6 Po podstawieniu powyższego wyrażenia do równań równowagi (6.1) porządkujemy zapis i otrzymujemy nowe związki. Przykładowo drugie równanie będzie miało postać: R = 1 3 [ 1 EJ q 6 EJ 1 3 q 3 q 5 q 6 1 EJ q 5 6 EJ q 6 R = 1 3 [3 EJ q 3 EJ q 5 3 EJ q 6 Zapisując wszystkie związki w formie macierzowej w trzeciej koumnie otrzymamy same zera (żadna z wiekości nie zaeży od ). Macierz sztywności musi być symetryczna wobec tego w trzecim wierszu także zapisujemy zera. Inaczej mówiąc trzeci warunek nie wnosi nam nic do zadania i można go pominąć. [ = 1 3[ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ Postępując podobnie w przypadku pręta z przegubem z prawej strony uzyskamy macierz: (6.1) [ = 1 3[ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ (6.11) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
7 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ Wektor sił przywęzłowych Na wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego składają się reakcje powstałe w podporach (utwierdzeniach ub przegubach) pojedynczego pręta od sił zewnętrznych działających na jego długości. Są one zgodne z założonymi kierunkami przemieszczeń w okanym układzie współrzędnych (rys. 6.) i odpowiednio ponumerowane. Mogą być wywołane obciążeniem zewnętrznym, temperaturą ub osiadaniem podpór. y x R 1 R 3 R e R 5 R 6 R 4 Rys Lokane kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych Tak ponumerowane reakcje możemy zapisać w postaci wektora sił przywęzłowych: [ R =[ R1 R R 3 R 4 R 5 R 6 Jeżei na pręt nie działa obciążenie przęsłowe, temperatura, ani osiadania, to wektor obciążeń jest wektorem zerowym. [ R =[ Działanie sił zewnętrznych Jeżei obciążeniem pręta są wyłącznie siły skupione ub ciągłe, to wektor sił przywęzłowych będzie składał się z reakcji pochodzących od tych obciążeń. Jeżei na pręt działa więcej niż jedno obciążenie, wtedy możemy zastosować zasadę superpozycji a wektor sił będzie się składał z sum odpowiednich reakcji od poszczegónych obciążeń. W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego ub z przegubem z jednej strony wyznaczenie tych reakcji wymagałoby rozwiązania układu statycznie niewyznaczanego, datego też wartości tych reakcji najczęściej odczytujemy z tabic (tabea 1.). Przypomnijmy niektóre z nich zwracając uwagę na zwroty reakcji. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
8 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 8 q q Tabea 6.1. Wartości reakcji R od obciążeń przęsłowych =[ Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych P Pa Pb a b Pab 3 b Pab Pa b a [ R Pb 3 a 3 Pa b 3 =[ Pa b q q q 1 1 q [ R q 1 q q q 1 Pb P Pa b a [ R =[ Pb Pa q [ R =[q q q Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
9 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 9 q q =[ Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych q 3 q 8 8 5q [ R 3q 8 5 q 8 8 q 8 q [ R =[q q q Działanie obciążenia termicznego Wpływ temperatury rozpatrzmy w dwóch osobnych etapach: najpierw przeanaizujemy działanie temperatury t rozłożonej równomiernie na wysokości przekroju, a następnie wpływ nierównomiernego ogrzania Δt. Jeżei na pręt działają oba rodzaje obciążenia termicznego, na wektor sił przywęzłowych składają się sumy odpowiednich składników wektorów pochodzących od obu typów obciążenia. W przypadku działania temperatury równomiernie rozłożonej t nastąpi wydłużenie ub skrócenie pręta (w pręcie wystąpią jedynie siły normane). Trzeba pamiętać, że ogrzanie pręta spowoduje powstanie siły normanej ściskającej, natomiast ochłodzenie wywoła siłę rozciągającą. Dzieje się tak ponieważ ogrzany pręt chce się wydłużyć a jest zabokowany podporami i nie może się odkształcić. Siła osiowa będzie miała wartość: N =± (6.1) W wyniku działania temperatury t, wydłużenie ub skrócenie pręta opisujemy wzorem: = t t (6.13) Po podstawieniu zaeżności (6.13) do wzoru (6.1) otrzymujemy wartość siły normanej, wywołanej działaniem równomiernego ogrzania pręta: Otrzymane wyniki zestawiono w tabei 6.. N =± t t Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
10 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 Tabea 6.. Wartości reakcji R od równomiernego ogrzania t > Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił =[ przywęzłowych N < α t t t t αt t [ R t t t < N > α t t αt t [ R t t =[ t t W wyniku działania nierównomiernie rozłożonej temperatury Δt nastąpi zginanie pręta (nie wystąpią natomiast siły normane). Naeży pamiętać, że w tym przypadku, powstały moment rozciąga włókna chłodniejsze. Jego wartość zaeżeć będzie od sposobu zamocowania pręta (tabea 6.3). Interpretacja jest podobna jak poprzednio, włókna zimniejsze chcą się skrócić, a przytrzymane przez podpory nie mogą. Są więc rozciągane. Tabea 6.3. Wartości reakcji R od nierównomiernego ogrzania t g > t d t g > t d =[ Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych t EJ α Δ t tg t EJ α Δ h t EJ, h h t d [ R EJ t t h =[ t EJ t h EJ α t 3 Δt h 3 tg EJ t t h EJ, h t d 3 Δt [ EJ α R t h 3 Δt 3 EJ α t h EJ t t h 3 EJ t t h W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego działające od temperatury momenty równoważą się nie wywołując reakcji. Natomiast w pręcie z przegubem wystąpią też siły poprzeczne. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
11 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ Wpływ osiadania podpór Jeżei obciążeniem są osiadania podpór, to możemy zapisać wektor sił przywęzłowych tyko da tych prętów ramy, których węzły doznają osiadań. Gdy pręt nie łączy się z osiadającymi podporami, to okany wektor sił przywęzłowych jest wektorem zerowym: [ R =[ W układzie okanym pręta można zapisać składowe wektora siły jedynie równoegłe bądź prostopadłe do osi pręta. Jeżei na pręt działa osiadanie iniowe pod kątem do jego osi trzeba je rozłożyć na składowe: równoegłą i prostopadłą do osi pręta. Osiadania znakujemy i numerujemy tak samo jak przemieszczenia i reakcje węzłowe (rys. 6.). Do zbudowania wektora sił przywęzłowych da pręta obciążonego osiadaniami wystarczy znajomość macierzy sztywności danego pręta. Do tej pory rozpisywaiśmy równanie równowagi eementu (6.3) w ceu uzyskania wzorów transformacyjnych. Jeżei osiadania potraktujemy jako znane przemieszczenia i przemnożymy je przez macierz sztywności to otrzymamy siły przywęzłowe, które są skutkiem działania tych osiadań. Przyjrzyjmy się zatem obustronnie utwierdzonemu prętowi, którego węzeł doznaje przemieszczenia (osiadania podpory) równoegłego do jego osi (rys. 6.5). Δx Rys Pręt obustronnie utwierdzony obciążony osiadaniem Osiadanie Δx działa po kierunku pierwszego przemieszczenia, ae z przeciwnym zwrotem. W tym przypadku, na wektor sił przywęzłowych składać się będzie pierwsza koumna macierzy sztywności da pręta obustronnie utwierdzonego (6.5), pomnożona przez wartość zadanego osiadania z ujemnym znakiem. Wobec tego wektor znanych przemieszczeń węzłowych ma postać x [ =[ Mnożenie macierzowe [ R =[ [ sprowadza się do skaarnego przemnożenia pierwszej koumny macierzy (6.5) przez wartość osiadania: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
12 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 =[ x [ R x =[ x W tabei 6.4 podano kika przykładów wyznaczania wektora sił przywęzłowych od przemieszczeń (osiadań) węzłów. Tabea 6.4. Wartości reakcji R od osiadań podpór Δx Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych x Δx Δx [ R =[ x =[ 6 EJ 1 EJ Δy y 3 6 EJ EJ Δy 6 EJ y 1 EJ [ R Δy 1 EJ 3 Δy 1 EJ 3 Δy y 3 6 EJ y Δφ EJ 3 EJ Δφ 3 EJ Δφ 3 EJ [ R Δφ =[ 3 EJ 3 EJ 3 EJ Do tej pory zapisywaiśmy macierze sztywności i wektory sił przywęzłowych da pojedynczych prętów, w ich okanych układach współrzędnych. Jednak w ceu rozwiązania zadania (ramy wieoprętowej) korzystamy z równania równowagi zapisanego da całego układu (6.1). Zawiera ono macierz sztywności, wektor przemieszczeń oraz wektor obciążeń stworzony da wszystkich prętów. Do utworzenia potrzebnych Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
13 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 13 macierzy dokonuje się agregacji poszczegónych macierzy jednostkowych (wyznaczonych da pojedynczych prętów). Aby jednak można było zagregować macierze sztywności zapisane da pojedynczych prętów, muszą one dotyczyć jednego, gobanego układu współrzędnych. W tym ceu przeprowadza się transformację macierzy zapisanych w układach okanych do układu gobanego Transformacja układu współrzędnych Aby składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, zapisane w okanym układzie współrzędnych, odnosiły się do przyjętego da całej konstrukcji, gobanego układu współrzędnych, naeży je odpowiednio przetransformować. =[ W tym ceu posłużymy się macierzą transformacji [T: cos sin 1 sin cos 1 [T (6.14) cos sin sin cos gdzie kąt α jest kątem mierzonym od osi x układu gobanego do osi układu okanego (rys. 6.6). Za dodatni uznajemy kąt α skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara. α x y Rys Gobany i okany układ współrzędnych Prawo transformacji wektora niewiadomych opisujemy wzorem: [q =[T T [ q [ q =[T [q (6.15) Podobnie wygąda transformacja wektora sił przywęzłowych: [ R =[T T [ R (6.16) W przypadku dwuwymiarowej macierzy sztywności posłużymy się wzorem: [ =[T T [ [T (6.17) Jeżei okany układ współrzędnych będzie się pokrywał z układem gobanym, zarówno macierz sztywności, jak i wektor sił przywęzłowych po transformacji nie powinny się zmienić: [ R da α = =[ R [ =[ Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
14 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 14 Transformacja pozwaa nam uzyskać składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, odniesione do gobanego układu współrzędnych. Składowe wektora sił będą wyrażały teraz reakcje zorientowane zgodnie z osiami gobanego układu współrzędnych (rys. 6.7). x y R 3 (e) e R 6 (e) R 5 (e) R 4 (e) R (e) R 1 (e) Rys ierunki reakcji od obciążeń przęsłowych w gobanym układzie współrzędnych (po transformacji) Jak widać na rys. 6.7, reakcje R 3 i R 6 nie zmieniły kierunku. Ponieważ momenty przywęzłowe nie zaeżą od przyjętego układu współrzędnych, nie zmieniła się także ich wartość: R 3 = R 3 R 6 = R 6 Dysponując macierzami zapisanymi w jednoitym układzie współrzędnych możemy dokonać ich agregacji (złożenia) Agregacja macierzy Agregacja macierzy poega na odpowiednim ułożeniu poszczegónych składników macierzy zapisanych da koejnych eementów w odpowiadające im poa w macierzy całkowitej (da całej konstrukcji). Agregować można składowe wieu macierzy eementowych, pod warunkiem, że wszystkie dotyczą jednego, gobanego układu współrzędnych. Aby ułatwić sobie odnajdywanie miejsc właściwego położenia poszczegónych eementów, skorzystamy z tak zwanej tabei aokacji (powiązań). Nie ma uniwersanej tabei aokacji. Trzeba sporządzić ją da każdego zadania oddzienie, ae korzystamy z niej zarówno do agregacji macierzy sztywności, jak i wektora obciążeń. Tworzeniu takiej tabei przyjrzymy się agregując wektor obciążeń Agregacja wektora obciążeń Anaizie poddamy ramę obciążoną siłami węzłowymi, w której obciążenie przęsłowe może być dowone (zakładamy zerowe). Istotne jest, aby siły przyłożone w węźe pokrywały się z gobanym układem współrzędnych. Gdyby jednak działały w dowonym kierunku, trzeba by je rzutować i w każdym węźe wyrazić jako składowe równoegłe do osi gobanego układu współrzędnych. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
15 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 15 y M P y x P x 1 Rys Przykładowa rama obciążona w węźe Ponieważ umiemy znaeźć i przetransformować wartości reakcji przywęzłowych od obciążeń przęsłowych występujące na pojedynczych prętach ramy, narysujmy je da każdego pręta (rys. 6.9) w odniesieniu do gobanego układu współrzędnych (po transformacji). y R 6 () x R 6 (1) R 4 (1) R 3 () R 1 () R 5 () R 4 () R 3 (1) 1 R 5 (1) R () R 1 (1) R (1) Rys Reakcje przywęzłowe w gobanym układzie współrzędnych Pamiętając, że gobane kierunki reakcji pokrywają się z gobanymi kierunkami przemieszczeń (rys. 6.1), możemy stwierdzić, że na przykład kierunek reakcji R 1 (1) pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia, a kierunek reakcji R 5 (1) pokrywa się z kierunkiem piątego przemieszczenia q 5. Podobne zaeżności można zapisać da pręta drugiego, np.: kierunek reakcji R 1 () pokrywa się z kierunkiem czwartego przemieszczenia q 4. Możemy zatem zestawić te wiadomości w tabei aokacji (tabea 6.5). w pierwszym wierszu cyfry od 1 do 6 oznaczają sześć koejnych kierunków w dowonym eemencie, zgodnych z układem gobanym (wskaźnik i w symbou Ri () ). W koejnych wierszach podano jakim kierunkom gobanych przemieszczeń (rys. 6.1) odpowiadają one w poszczegónych eementach. Tabea 6.5. Tabea powiązań da eementów wektora obciążeń numer reakcji R nr pręta Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
16 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 16 Dzięki tej tabei wiemy, w którym wierszu macierzy gobanej umieścić wiekość wyznaczoną da eementu. Wyrazy wektora obciążeń przywęzłowych są eementami jednoindeksowymi (R k (e) ), datego do okreśenia ich miejsca w wektorze obciążeń wystarczy zamiana k - tego indeksu na nowy, zgodnie z tabeą aokacji. I tak na przykład, reakcja R6 () z drugiego pręta zajmie miejsce w dziewiątym wierszu w wektorze obciążeń, a reakcja R () zajmie miejsce w wierszu piątym. Teraz, gdy wiemy już, które wiersze odpowiadają którym reakcjom na pojedynczych prętach, możemy przystąpić do agregacji wektora obciążeń. Zgodnie ze wzorem (6.4) na wektor obciążeń [Pij składa się wektor sił węzłowych i wektor sił przywęzłowych. Numery wierszy, w których znajdą się składowe wektora sił przywęzłowych odczytujemy, jak to wyjaśniono powyżej, z tabei aokacji (powiązań). Jak widać, w niektórych wierszach znajdą się po dwa składniki, np. na czwarty wiersz składać się będą reakcje R4 (1) z pierwszego pręta i R1 () z drugiego pręta. Składowe wektora sił węzłowych to wartości sił działających w węzłach konstrukcji umieszczone w odpowiednich wierszach związanych z kierunkiem ich działania. W naszym przykładzie występują trzy siły węzłowe: Px, Py, i M. Siła Px działa po kierunku czwartego przemieszczenia (reakcji), siła Py działa po kierunku przemieszczenia piątego, a moment M po kierunku przemieszczenia szóstego. I takie właśnie będą ich miejsca w wektorze sił węzłowych. Znaki, z jakimi wpiszemy wartości sił węzłowych, przyjmujemy zgodnie z gobanym układem współrzędnych. P [ P ij =[ x P y M [ R 1 R R 3 R 4 R 1 R 5 R R 6 R 3 R 4 R 5 R 6 =[ R 1 R R 3 P x R 4 R 1 P y R 5 R M R 6 R 3 R 4 R 5 R 6 =[R1 R R 3 R 4 9 R 5 R 6 R 7 R 8 R Agregacja macierzy sztywności Agregacja macierzy sztywności przebiega bardzo podobnie do agregacji wektora obciążeń. Posłużymy się tym samym przykładem ramy. Przyjmijmy, że eementy macierzy sztywności prętów 1 i opisują symboe: [ =[ Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
17 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [ =[ ażdy z eementów macierzy sztywności pojedynczych prętów [ (1) i [ () ma swoje miejsce w macierzy gobanej [ij o wymiarze 9 x 9 w przypadku układy z trzema węzłami. Aby ułatwić sobie znaezienie tego miejsca posłużymy się tą samą tabeą aokacji, którą wykorzystaiśmy przy agregacji wektora obciążeń. Nieco inna będzie jedynie interpretacja zaeżności zawartych w tabei powiązań, gdyż dotyczyć będą one każdego indeksu donego poszczegónych eementów macierzy. Indeks pierwszy oznaczać będzie wiersz, w który naeży wpisać eement, a indeks drugi koumnę. Tabea 6.6. Tabea powiązań da eementów macierzy sztywności numer indeksu eementu macierzy nr pręta ażdy eement macierzy sztywności pojedynczego pręta ma oznaczenie dwuindeksowe (mn (e) ), zatem aby znaeźć miejsce danego eementu naeży zamienić oba indeksy. I tak na przykład eement 11 (1) da pierwszego pręta, po zamianie indeksów będzie eementem 11 całkowitej macierzy sztywności, a eement 35 () da drugiego pręta, po zamianie indeksów będzie eementem 68 całkowitej macierzy sztywności. Podobnie jak w przypadku wektora obciążeń, w niektórych poach znajdzie się więcej niż jeden eement macierzy wyznaczony da pojedynczego pręta. Tak będzie np. z eementem 56 całkowitej macierzy sztywności. Składać się na niego będą eement 56 (1) z pierwszego pręta i 3 () z pręta drugiego. Puste poa, w które nie wpisały się żadne wartości z macierzy sztywności da pojedynczych prętów najepiej będzie wypełnić zerami. Zapiszmy zatem całą macierz sztywności po agregacji: [ ij =[ = 66 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
18 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ =[ Teraz, gdy wykonaiśmy agregację wszystkich macierzy potrzebnych do rozwiązania równania (6.1), możemy przystąpić do ich modyfikacji, czyi do uwzgędnienia warunków podparcia rzeczywistej konstrukcji Warunki podparcia Jak pamiętamy, pierwszym etapem rozwiązania ramy komputerową metodą przemieszczeń było wyznaczenie i ponumerowanie kierunków przemieszczeń węzłowych. Zakładaiśmy wówczas, że każdy węzeł może mieć trzy przemieszczenia, niezaeżnie czy rama była w danym węźe podparta czy też nie. Obecność podpór w niektórych węzłach ogranicza swobodę ich przemieszczeń. Jeżei wiemy, że dane przemieszczenie w podporze jest równe zero (znamy jego wartość), ub możemy je pominąć ze wzgędu na redukcję statyczną, to musimy wyeiminować równanie równowagi układu (6.1). W tym ceu zerujemy odpowiedni wiersz z wektora obciążeń oraz wiersz i koumnę z macierzy sztywności układu. Jeżei przemieszczenie q r jest równe zero, to przy mnożeniu macierzowym cała koumna r będzie mnożona przez zero. Wobec tego można ją pominąć, a wiersz r będzie niepotrzebnym równaniem (zmniejsza się iczba niewiadomych). Praktycznie modyfikacja poega na wykreśeniu wiersza i koumny o numerze kierunku, wzdłuż którego jest podpora. Ustamy zatem, które przemieszczenia możemy uznać za zerowe, które możemy pominąć ze wzgędu na redukcję statyczną, a których pominąć nie naeży. Ułatwi to nam tabea 6.7, w której podano kika przykładowych zamocowań prętów. Tabea 6.7. ierunki i wartości przemieszczeń w węzłach Schemat podparcia węzła Wartości przemieszczeń Schemat podparcia węzła Wartości przemieszczeń q q = q q = 1 = q q q 4 q 4 q red. stat. R 3 = red. stat. R 4 = q = 3 q = q red. stat. R 3 = q q 4 3 q q 1 q q 4 red. stat. R 4 = q = q = Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
19 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 19 Obecność podpory sprężystej w węźe ramy uwzgędniamy nieco inaczej niż obecność sztywnych podpór. Ma ona bowiem wpływ na macierz sztywności, a nie jak było do tej pory, na wektor niewiadomych przemieszczeń. Modyfikacji dokonujemy przez dodanie parametru sztywności k podpory sprężystej do odpowiadającego numerowi jej kierunku wyrazu z przekątnej macierzy sztywności układu. k R k = k q q Rys Podpora sprężysta w węźe ramy W przypadku podpory sprężystej z rys. 6.1, sztywność k dodamy do wyrazu 11 w macierzy sztywności układu, ponieważ kierunek reakcji R k w sprężynie pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia. Zastanówmy się zatem, które przemieszczenia będą zerowe w przykładzie z rys Rama ma utwierdzenia w dwóch węzłach, możemy zatem napisać, że przemieszczenia w tych węzłach są równe zero: =q = =q 7 =q 8 =q 9 = Wynika z tego, że niezerowe są tyko trzy pozostałe przemieszczenia: q 4 q 5 q 6 Wyzerujmy teraz w wektorze obciążeń wiersze, a w macierzy sztywności wiersze i koumny, odpowiadające zerowym przemieszczeniom. Na przykład przemieszczenie po kierunku pierwszym jest zerowe, możemy więc wyzerować pierwszy wiersz w wektorze obciążeń, oraz pierwszy wiersz i pierwszą koumnę w macierzy sztywności układu. Jeżei nie zmieniamy wymiaru macierzy ( zerowe wiersze pozostają) to na głównej przekątnej naeży wpisać jedynki. W ten sposób mnożenie pierwszego wiersza macierzy sztywności przez wektor przemieszczeń daje warunek =. Jeśi tego nie uczynimy macierz sztywności będzie osobiwa (nie ma rozwiązań). [1 [q1 1 q q 4 R q 5 R q 6 R 6 1 q Jeżei do rozwiązania układu równań użyjemy programu komputerowego, nie będzie miało znaczenia, jakiego jest on wymiaru. Do obiczeń ręcznych wskazane byłoby wykreśenie wyzerowanych wierszy i koumn. Wtedy pozostaną tyko trzy równania: q 8 q 9=[ Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
20 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [ [q4 q 5 R 5 q 6=[R4 6 R Rozwiązaniem powyższego układu jest wektor niewiadomych przemieszczeń [q. Dysponując rzeczywistymi przemieszczeniami węzłów można okreśić wartości sił wewnętrznych Interpretacja wyników W metodzie przemieszczeń, uzyskane po rozwiązaniu układu równań kanonicznych, wartości przemieszczeń podstawiaiśmy do wzorów transformacyjnych. Otrzymywaiśmy w ten sposób wartości sił przekrojowych. W wersji komputerowej, siły przekrojowe na każdym z prętów ramy, uzyskamy bezpośrednio z zaeżności: N ik = R 1 T ik = R M ik = R 3 N ki = R 4 T ki = R 5 M ki = R 6 (6.18) Jak widać, wystarczy znaeźć wartości reakcji, jakie powstaną w utwierdzeniach prętów w układach okanych. Posłuży nam do tego omówione już wcześniej, równanie równowagi pojedynczego pręta w okanym układzie współrzędnych (6.3). Tym razem jednak, znamy już zarówno macierz sztywności [, jak i wektor sił przywęzłowych [ R. Znamy też przemieszczenia węzłów, ae w układzie gobanym. Pozostaje nam wyznaczyć wektor przemieszczeń węzłów [ q w układzie okanym każdego pręta. Wcześniej zajmowaiśmy się agregacją macierzy całego układu prętowego z macierzy eementowych. Teraz, z gobanego wektora przemieszczeń [q musimy wydzieić wektory dotyczące poszczegónych eementów prętowych. Aby tego dokonać, ponownie posłużymy się tabeą powiązań. Przyjmijmy zatem, że da naszej przykładowej ramy (rys. 6.1) uzyskaiśmy, po rozwiązaniu równania równowagi, wektor przemieszczeń [q: q 4 [q=[ =[Q1 Q Q 3 Q 4 9 q 5 Q 5 q 6 Q 6 Q 7 Q 8 Q Zgodnie z tabeą powiązań (tabea 6.5), eementy od pierwszego do szóstego z wektora [q, stanowią wektor przemieszczeń da pierwszego pręta [q (1), natomiast eementy od czwartego do dziewiątego, stanowią wektor przemieszczeń da drugiego pręta [q (). Wiemy to z anaizy ostatniego wiersza tabei 6.5 aokacji, który dotyczy drugiego pręta. Pokazuje on, które przemieszczenia gobane Qi odpowiadają koejnym przemieszczeniom pręta drugiego q i w gobanym układzie współrzędnych. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
21 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 Q [q =[Q1 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 [q Q 5 =[Q4 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Aby uzyskać wektory przemieszczeń [ q w okanym układzie współrzędnych musimy skorzystać z prawa transformacji (6.15) wektora [q (e) z gobanego do okanego układu współrzędnych. Tak przygotowany wektor przemieszczeń podstawiamy do równania (6.3) i na podstawie związków (6.) wyznaczamy, a potem rysujemy siły wewnętrzne Sprawdzenie wyników ontroa wyników w komputerowej wersji metody przemieszczeń wygąda bardzo podobnie jak w kasycznej metodzie przemieszczeń. Nie ma jednak potrzeby sprawdzania symetrii macierzy sztywności pojedynczych prętów (eementowe macierze sztywności są z założenia symetryczne). Warto natomiast zwrócić uwagę czy macierz sztywności całego układu również jest symetryczna Sprawdzenie kinematyczne Sprawdzenie kinematyczne pozwaa ocenić poprawność wykresu momentów zginających. ontroę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na równaniu pracy wirtuanej: i P i i i R k k = { j s M M P EI t t h n R n R n P ds s f m B m b m N N P t t ds s T T P GA ds } gdzie: M P, N P, T P - rzeczywiste siły wewnętrzne, Δ i P i R k k R n R n P - niewiadome przemieszczenie, - wirtuana siła jednostkowa, - reakcja wywołana siłą jednostkową, wirtuaną w podporze doznającej przemieszczenia, - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), - reakcja wirtuana w n-tej podporze podatnej, - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (iniowa ub kątowa) po kierunku m, B m - siła w pręcie po kierunku wiekości obarczonej błędem. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
22 Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ Przy wykonywaniu kontroi kinematycznej w metodzie przemieszczeń zwyke pomijaiśmy wpływ sił normanych i poprzecznych. Ponieważ jednak, wersja komputerowa zakłada uwzgędnienie sił normanych i rezygnację z zasady nieskracaności prętów, trzeba pamiętać o uwzgędniemiu wpływu sił normanych w kontroi kinematycznej Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśi w sprawdzeniu statycznym da całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (da układu zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: X = Y = M = Suma momentów może być zapisana wzgędem dowonego punktu układu. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoCzęść 2 8. METODA CROSSA 1 8. METODA CROSSA Wprowadzenie
Część. ETOA CROSSA 1.. ETOA CROSSA.1. Wprowadzenie etoda Crossa pozwaa w łatwy sposób okreśić wartości sił wewnętrznych w układach niewyznaczanych, jednak dokładność obiczeń zaeży od iczby przeprowadzonych
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoWstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Bardziej szczegółowoNależy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,
Część 2 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 1 14. 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego pręta. Drgania poprzeczne są to takie
Bardziej szczegółowo3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoCzęść ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowo1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Bardziej szczegółowo2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego
Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowo2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l
Przykład 10.. Obiczenie obciażenia granicznego Obiczyć obciążenie graniczne P gr da poniższej beki. Przekrój poprzeczny i granica pastyczności są stałe. Graniczny moment pastyczny, przy którym następuje
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowo( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją
..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych,
Bardziej szczegółowoStateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoRozwiązanie stateczności ramy MES
Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek
Bardziej szczegółowoRozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2
Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład
Bardziej szczegółowoNOŚNOŚĆ GRANICZNA
4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna i Drgania
Mechanika naityczna i rgania Zasada prac przygotowanych dr inż. Sebastian akuła Wydział nżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki mai: spakua@agh.edu.p dr inż. Sebastian akuła
Bardziej szczegółowoWprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z
Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z wykorzystaniem Metody Sił Temat zadania rozwiązanie
Bardziej szczegółowoStateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z
Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z wykorzystaniem Metody Sił Temat zadania rozwiązanie
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Bardziej szczegółowoWprowadzanie zadanego układu do
Wprowadzanie zadanego układu do programu ROBOT w celu rozwiązania MP 1. Ustawienie preferencji zadania WYMIARY Narzędzia -> Preferencje zadania SIŁY INNE MATERIAŁY Najpierw należy dodać, a potem kliknąć
Bardziej szczegółowoPraca siły wewnętrznej - normalnej
Praca siły wewnętrznej - normanej Uzyskujemy ostatecznie: L L 1 1 1 N N s N EA N EA Gzie ostatni wzór pokazuje pracę sił normanych w całym pręcie (przypomnienie z poprzeniego wykłau) Ważna ygresja Współczynnik
Bardziej szczegółowo2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Kratownice
ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Bardziej szczegółowo1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowoUTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.
Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym
Bardziej szczegółowo3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ
3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowoPrzykład 1.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną
Przykład.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną Anaizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne da zadanych wartości przekrojów prętów A [m ] i napręŝeń
Bardziej szczegółowo7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoZ1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia
LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoZ1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowoPrzykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoCzęść 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BŁĘDY MONTAŻU W RÓWNANIU b a = b c. a= bd b c. t g h. t d. h g = 1 2. = t g t d 2
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 5. 5. TEMPERTUR, SIDNI PDPÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU PRCY WIRTULNEJ 5.1. Wpływ temperatury Działanie temperatury ma istotny wpływ na odkształcanie
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowo1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH
5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest
Bardziej szczegółowoTreść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka
Bardziej szczegółowo4.1. Modelowanie matematyczne
4.1. Modelowanie matematyczne Model matematyczny Model matematyczny opisuje daną konstrukcję budowlaną za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych będą należały to zbioru liczb rzeczywistych i będą one reprezentować
Bardziej szczegółowoZADANIA - POWTÓRKA
Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5. 5. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie W ramie przedstawionej na rys 5. obliczyć kąt obrotu przekroju w punkcie K oraz obrót cięciwy RS. W obliczeniach można pominąć wpływ sił normalnych
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
Bardziej szczegółowoNarysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql
Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. q l Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: n s = r - 3 - p = 5-3 - 0 = 2 Przyjmujemy schemat podstawowy: X 2 X Zakładamy do obliczeń,
Bardziej szczegółowoDla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI
POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU KONSRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI ĆWICZENIE PROJEKOWE NR 2 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUEROWA Z PRZEDMIOU MECHANIKA KONSRUKCJI Wykonał: Kamil Sobczyński WBiIŚ; SUM;
Bardziej szczegółowoSPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM
LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowo1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI LINIE WPŁYWU BELKI CIĄGŁEJ
Zadanie 6 1. Narysować linie wpływu wszystkich reakcji i momentów podporowych oraz momentu i siły tnącej w przekroju - dla belki. 2. Obliczyć rzędne na wszystkich liniach wpływu w czterech punktach: 1)
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 1 8. 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE
4. Obiczanie sił wewnętrznych w ramach płaskich i przestrzennych. Sporządzanie wykresów 4.1 Zadanie 1. Da ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna statyka
Mechanika ogóna statyka kierunek Budownictwo, sem. II materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: dr inż. iotr Dębski, dr inż. Irena Wagner TREŚĆ WYKŁADU ojęcia podstawowe, działy mechaniki. ojęcie punktu
Bardziej szczegółowoMetody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoJANOWSCY. Reakcje, siły przekrojowe i ugięcia belek jednoprzęsłowych. ZESPÓŁ REDAKCYJNY: Dorota Szafran Jakub Janowski Wincenty Janowski
u. Krzywa /5, 8-500 Sanok NIP:687-1--79 www.janowscy.com JNOWSCY projektowanie w budownictwie Reakcje, siły przekrojowe i ugięcia beek jednoprzęsłowych ZESPÓŁ REDKCYJNY: Dorota Szaran Jakub Janowski Wincenty
Bardziej szczegółowo