Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ)."

Teodor Klimek
5 lat temu
Przeglądów:

1 Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Otrzymujemy: r 3 ( cos(3ϕ + π ) + i sin(3ϕ + π )) = r (cos( ϕ) + i sin( ϕ)), gdzie oczywiście skorzystaliśmy z tego, że i = cos π + i sin π Możemy teraz wywnioskować, że: r 3 = r 3ϕ + π = ϕ + kπ, k Z, skąd, po przekształceniach: co przekłada się na pięć różnych rozwiązań: (r = 0 r = ) ϕ = k π π 8, k Z, z 0 = 0 oraz z k = ( cos(k π π 8 ) + i sin(k π π 8 )), k {,, 3, 4} Przejdźmy teraz do drugiego równania Wymnażając znajdujące się pod "Re" nawiasy, dostajemy: Re ( z z 3z ) = 0 Zauważmy teraz, że dla każdego z R wyrażenie z 9 jest rzeczywiste, natomiast wyrażenie 3 z 3z jest czysto urojone Powyższe równanie jest więc równoważne równaniu z 9 = 0, czyli, równoważnie: z = 3 Zbiór rozwiązań tego równania na płaszczyźnie zespolonej to okrąg o środku w zerze i promieniu 3 Łącznie, zbiór rozwiązań wyjściowego równania przedstawia się na płaszczyźnie zespolonej następująco: Im z 3 z z 3 z 0 3 Re z z 4 z 3 3

2 Zad (0p) a) Niech A M n n (K) Wykazać, że V(A) := {B M n n (K) : (A + B)(A B) = A B } wraz ze zwykłymi działaniami dodawania macierzy oraz mnożenia macierzy przez element ciała K jest przestrzenią wektorową nad K b) Wyznaczyć dim V(A), gdzie A := [ a) Udowodnimy, że V(A) jest podprzestrzenią przestrzeni M n n (K) Na początku zauważmy, że dany warunek oznacza, że macierz B jest przemienna z macierzą A (A + B)(A B) = A B, A(A B) + B(A B) = A B A AB + BA B = A B, AB + BA = 0, BA = AB Weźmy teraz dowolne B, C V(A) oraz w K Mamy (B + wc)a = BA + (wc)a = BA + w(ca) = AB + w(ac) = AB + A(wC) = A(B + wc), gdzie większość równości zachodzi na mocy elementarnych własności działań na macierzach, a równość trzecia jest prawdziwa, gdyż macierze B i C są elementami zbioru V(A) Pozostaje zauważyć, że zbiór V(A) jest niepusty - w istocie, należy do niego macierz zerowa, należy też jednostkowa b) W celu ustalenia wymiaru przestrzeni V(A) zbadamy jakiej postaci są macierze do niej należące Niech [ x y z u będzie dowolną taką macierzą Mamy [ x y z u [ = [ [ x y z u, [ [ 3x y 5x + 7y 3x + 5z 3y + 5u = 3z u 5z + 7u x + 7z y + 7u Porównanie odpowiednich wyrazów macierzy po obu stronach równości prowadzi do układu równań

3 y 5z = 0 5x + 4y 5u = 0 x 4z u = 0 y + 5z = 0, po jego rozwiązaniu dostajemy x = t y = 5t + 5s 4 4 z = t s u = s Już wiemy, że V(A) jest przestrzenią dwuwymiarową (i zwróćmy uwagę, że nie musieliśmy rozwiązywać układu równań, żeby to stwierdzić i zakończyć zadanie), ale dla sportu napiszemy sobie jeszcze bazę tej przestrzeni Dowolną macierz z V(A) można zapisać [ t 5t + 5s 4 4 t s s [ 5 = t 4 0 [ s 4 Tym samym te dwie macierze stanowią przykładową bazę przestrzeni V(A)

4 Zad 3 (0p) Udowodnij, że funkcja d : R R R zadana wzorem d(x, y) = ln( + x y ) jest metryką Znajdź kulę otwartą K(, ln 3) w tej metryce Wykażmy najpierw, że x, y R d(x, y) = 0 x = y Istotnie, biorąc dowolne x, y R, mamy: d(x, y) = 0 ln( + x y ) = 0 + x y = x y = 0 x = y Symetria d(x, y) = d(y, x) dla dowolnych x, y R wynika bezpośrednio z tego, że x y = y x Pozostało wykazać nierówność trójkąta: x, y, z R d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Rzeczywiście, dla dowolnych x, y, z R otrzymujemy, że: d(x, z) + d(z, y) = ln( + x z ) + ln( + z y ) = ln [( + x z )( + z y ) = ln ( + x z + z y + x z z y ) ln ( + x z + z y ) ln( + x y ) = d(x, y), gdzie w powyższych nierównościach skorzystaliśmy z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej oraz z tego, że ln jest funkcją rosnącą Szukana kula otwarta to, z definicji, K(, ln 3) = {x R : d(x, ) < ln 3} Rozwiążmy znajdującą się w tej definicji nierówność względem x: d(x, ) < ln 3 ln( + x ) < ln 3 x < < x < 3 Otrzymaliśmy więc, że K(, ln 3) = (, 3)

5 Zad 4 (0p) Niech n > 0 oraz x, x,, x n C Niech A n M n+ n+ (C) będzie następującą macierzą, jeśli j = A n [i, j := x, jeśli j > j = i, x j, jeśli j > j i czyli A n = x x x n x n x x x n x n x x x n x n x x x x n x x x n x Wykazać, że det A n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x {x,, x n } Wykonajmy na macierzy A n następujący ciąg operacji wierszowych r i r i r dla i > W ich wyniku otrzymamy macierz x x x n x n 0 x x x x x x n x x n Jest to macierz trójkątna, więc jej wyznacznik jest iloczynem wyrazów z diagonali, czyli n k= (x x k) A ponieważ operacje wierszowe, które wykonaliśmy nie zmieniają wyznacznika, to stwierdzamy, iż zachodzi równość det A n = n k= (x x k), która implikuje bezpośrednio tezę

Podobne dokumenty

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +