Rozwiązanie stateczności ramy MES

Transkrypt

1 Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek : Rama i jej mode skończenie eementowy ETAPI STATYKA. Obiczenie macierzy sztywności i wektorów obciążenia da eementów. Korzystając ze wzoru na macierz sztywności eementu ramowego: K e EA EA EA 2EI 3 6EI 2 6EI 2 4EI 2EI 6EI 3 2 6EI 2EI 2 EA 2EI 3 6EI 2 6EI 2 2EI 2EI 6EI 3 2 6EI 4EI 2 e () styczeń 29 P. Puciński

2 oraz ze wzoru na macierz transformacji: cos(α e ) sin(α e ) sin(α e ) cos(α e ) T e cos(α e ) sin(α e ), (2) sin(α e ) cos(α e ) i wykorzystując prawo transformacji obiczamy macierze da eementów. K e (T e ) T K e T e (3) Eement α 27, 4m Macierz sztywności K Wektory sił węzłowych p b r b {r r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 } Eement2 α , 2 5m Macierz sztywności K Wektory sił węzłowych p 2b r 2b {r 2 r 2 2 r 2 3 r 2 4 r 2 5 r 2 6 } 2. Agregacja i budowa równań MES. Gobany układ równań MES budujemy wykorzystując tabicę topoogii oraz warunki ciągłości przemieszczeń uogónionych w węzłach. U d U 2U 2 d 4 U 2 2d 7 W d 2 W 2 W2 d 5 W 2 2 d 8 ϕ d 3 ϕ 2 ϕ2 d 6 ϕ 2 2 d 9 2 P. Puciński styczeń 29

3 gdzieu e i,w e i,e,i,2sąprzemieszczeniamieementówwgobanymukładziewspółrzędnych,aϕ e i kątami ugięcia. W rezutacie otrzymamy układ równań w postaci d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 d 9 r r 2 r 3 r4r 2 r5 r2 2 r6 r2 3 r4 2 r5 2 r6 2 (4) 3. Uwzgędnienie podstawowych warunków brzegowych i warunków równowagi sił w węzłach. Kinematyczne warunki brzegowe są niejednorodne i mają postać d d 2 d 3 d 4 d 7 d 8 (5) Statyczne warunki brzegowe są równaniami równowagi sił w węzłach ramy o postaci r r r 4r 2 r 4 r 2 4r 7 r 2 r 2 r 5 r2 2 r 5 r 2 5 r 8 r 3 r 3 r 6 r2 3 r 6 r 2 6 r 9 gdzier,r 2,r 3,r 4,r 7 ir 8 sąreakcjamipodpór. Podstawiając(5) i(6) do(4) otrzymamy końcowy układ równań w formie (6) d 5 d 6 r d 9 r 2 r 3 r 4 r 7 r 8 (7) styczeń 29 P. Puciński 3

4 Jesttoukładdziewięciurównańztrzemaniewiadomymipierwotnymid 5,d 6 id 9 orazsześcioma niewiadomymi wtórnymi(reakcjami). Niewiadome pierwotne obiczymy rozwiązując 5te, 6te i 9te równanie(7) skąd po uwzgędnieniu zerowych przemieszczeń otrzymamy d 5 d 6 d 9 d{ } 2 (8) Pozostałe równania(7) wykorzystujemy do obiczenia reakcji r{ } (9) 4. Obiczenie wektorów sił przywęzłowych w eementach. Eement Wektor stopni swobody eementu w układzie współrzędnych gobanych d { } 2 Wektor sił przywęzłowych w układzie współrzędnych okanych r b T K d { } Eement 2 Wektor stopni swobody eementu d 2 { } 2 Wektor sił przywęzłowych w układzie współrzędnych okanych r 2b T 2 K 2 d 2 { } 4 P. Puciński styczeń 29

5 ETAP II STATECZNOŚĆ 5. Obiczenie macierzy sztywności geometrycznej da eementów. Wzór na macierz sztywności geometrycznej da eementu ramowego jest w postaci K e σ Ne e () gdzien e jestwartościąsiłyściskającejdadanegoeementu. Znając macierze transformacji wyiczamy macierze da eementów. Eement(N ) K σ (T ) T K σ T Eement2(N ) K 2 σ (T2 ) T K 2 σ T styczeń 29 P. Puciński 5

6 6. Agregacja geometrycznej macierzy sztywności K σ Rozwiązanie probemu własnego. Uwzgędniając warunki brzegowe otrzymamy następujący probemwłasny((kλk σ ) d) λ d () Wartość własną obiczymy z wyznacznika(przedstawiam jeden ze sposobów rozwiązywania probemu własnego) λ co prowadzi do równania charakterystycznego probemu w postaci co daje λ λ λ 3 λ λ 2 λ 3 Najmniejszypierwiastekrównaniacharakterystycznegowynosiλ min Popodstawieniu tejwartościdoukładurównań()orazprzyzałożeniu d 9 układtenprzyjmiepostać d d d 9 6 P. Puciński styczeń 29

7 d 5 d 6 d 9 Rysunek2:Postaćwyboczeniadaλ min codajerozwiązanie d 5.85, d awektorwłasnydawszystkichstopniswobody wynosi d{ } styczeń 29 P. Puciński 7