Wykład z równań różnicowych

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład z równań różnicowych"

Transkrypt

1 Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1.1. Operatorem przesunięcia nazywamy operator określony na ciągach wzorem Ex (n) = x (n + 1). Operator I dany wzorem Ix (n) = x (n) nazywamy operatorem identycznościowym. Uwaga 1.2. W dalszym ciągu dla liczby rzeczywistej λ będziemy używać zapisu E λ zamiast E λi. Zastanówmy się co daje wielokrotne zastosowanie operatora przesunięcia. Mamy E 2 x (n) = E (Ex (n)) = Ex (n + 1) = x (n + 2), E 3 x (n) = E ( E 2 x (n) ) = Ex (n + 2) = x (n + 3). Widać, że indukcyjnie daje się wykazać ogólny wzór Jeżeli więc E k x (n) = x (n + k), k N. p (λ) = a 0 λ k + a 1 λ k a k jest dowolnym wielomianem stopnia k zmiennej λ, to możemy określić operator wielomianowy p (E) określony za pomocą wzoru który na ciągu x (n) przyjmuje wartość p (E) = a 0 E k + a 1 E k a k I, p (E) x (n) = a 0 x (n + k) + a 1 x (n + k 1) + + a k x (n). Następującym przykładem zilustrujemy czym są równania różnicowe. 1

2 Przykład 1.3. Załóżmy, że w chwili t = 0 populacja liczy P (0) osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = , a roczna umieralność d = 101. Oznacza to, że jeżeli w końcu n-tego roku żyje P (n) osób, to w następnym roku urodzi się P (n) P (n) 100 dzieci i umrze 101 osób. Zatem liczba osób żyjących na koniec (n + 1)-ego roku wyniesie P (n + 1) = P (n) + P (n) 100 P (n) 101 = P (n) (1 + b d) = P (n) ( ) Zachodzi pytanie, czy z tego związku potrafimy wyznaczyć wzór na wyraz ogólny ciągu (P (n)). Jeżeli wprowadzimy oznaczenie r = b d, to nasz związek przyjmie postać P (n + 1) = P (n) (1 + r), (1) Jest to przykład równania różnicowego (tzw. równania wzrostu) opisującego przyrost populacji. Na początek odgadniemy rozwiązanie. Twierdzimy, że rozwiązaniem jest każdy ciąg postaci P (n) = A (1 + r) n, n = 0, 1, 2,..., gdzie A jest dowolną stałą. Sprawdzamy, że to jest rozwiązanie równania (1): L = A (1 + r) n+1, P = A (1 + r) n (1 + r) = A (1 + r) n+1, czyli L = P. Jest to tak zwane rozwiązanie ogólne równania (1). Rozwiązania ogólne zawsze zawierają dowolne stałe. Podstawiając w ich miejsce konkretne liczby, otrzymujemy tzw. rozwiązania szczególne. Aby dla danego problemu uzyskać właściwe rozwiązanie szczególne, potrzebne są tak zwane warunki początkowe. Warunek początkowy jest dodatkową porcją informacji, która pozwoli wyznaczyć nieokreślone stałe. Na przykład w naszym modelu wzrostu możemy dowiedzieć się, że populacja w chwili 0 liczy 100 osób, czyli P (0) = 100. Znaczy to, że 100 = P (0) = A (1 + r) 0 = A, a więc właściwym dla naszego problemu rozwiązaniem szczególnym będzie ( P (n) = ) n Widać więc, że równanie różnicowe będzie związkiem między kilkoma (niekoniecznie dwoma, jak w powyższym przykładzie) kolejnymi wyrazami ciągu, zaś jego rozwiązanie będzie polegać na wyznaczeniu wzoru na n-ty wyraz tego ciągu. Inaczej, rozwiązanie równania różnicowego jest wyznaczeniem wzoru na n-ty wyraz, gdy ciąg zadany jest rekurencyjnie. W naszym wykładzie zajmować się będziemy tylko szczególnym rodzajem równań różnicowych, mianowicie równaniami liniowymi. 2

3 2 Ogólna teoria liniowych równań różnicowych Definicja 2.1. Równaniem liniowym rzędu k nazywamy równanie różnicowe postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = g (n), (2) gdzie p i (n) dla i = 1, 2,..., k oraz g (n) są ciągami określonymi dla n n 0 przy pewnym ustalonym n 0 (w naszym wykładzie najczęściej n 0 = 0), przy czym p k (n) 0 dla n n 0. W równaniu powyższym niewiadomą jest ciąg y (n), zaś pozostałe ciągi są dane. Rozwiązaniem równania (2) nazywamy każdy ciąg y (n) określony dla n n 0, który spełnia to równanie. Jeżeli g (n) = 0 dla wszystkich n n 0, to równanie (2) nazywamy jednorodnym. W przeciwnym przypadku równanie to nazywamy niejednorodnym. Jeżeli równanie (2) jest niejednorodne, to równanie jednorodne postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = 0 (3) nazywamy równaniem jednorodnym stowarzyszonym z równaniem (2). Zauważmy, że równanie (2) można zapisać w postaci y (n + k) = p 1 (n) y (n + k 1) p k (n) y (n) + g (n), (4) z której przy n 0 = 0 kładąc n = 0, otrzymujemy y (k) = p 1 (0) y (k 1) p 2 (0) y (k 2) p k (0) y (0) + g (0), czyli k-ty wyraz szukanego ciągu jest dobrze określony przez wyrazy poprzednie y (0),..., y (k 1). Jeżeli znamy już y (k), to kładąc we wzorze (4) n = 1 mamy y (k + 1) = p 1 (1) y (k) p 2 (1) y (k 1) p k (1) y (1) + g (1), czyli potrafimy z kolei obliczyć y (k + 1). Powtarzając ten proces możemy obliczyć wszystkie y (n) dla n k. Zilustrujmy powiedziane wyżej za pomocą przykładu. Przykład 2.2. Rozważmy równanie liniowe trzeciego rzędu postaci y (n + 3) n y (n + 2) + ny (n + 1) 3y (n) = n, n 1. (5) n + 1 Załóżmy, że y (1) = 0, y (2) = 1 i y (3) = 1. Obliczymy kolejne wyrazy ciągu y (n). Zapiszmy równanie (5) w równoważnej postaci y (n + 3) = Podstawiając n = 1 w (6), dostajemy n y (n + 2) ny (n + 1) + 3y (n) + n. (6) n + 1 y (4) = 1 2 y (3) y (2) + 3y (1) + 1 =

4 Dla n = 2 Dla n = 3 Dla n = 4 y (5) = 2 3 y (4) 2y (3) + 3y (2) + 2 = 4 3. y (6) = 3 4 y (5) 3y (4) + 3y (3) + 3 = 5 2. y (7) = 4 5 y (6) 4y (5) + 3y (4) + 4 = 89 6 itd. Jeżeli do równania różnicowego dołączymy dodatkowo pierwszych k wartości szukanego rozwiązania, to otrzymamy tzw. zagadnienie początkowe: y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = g (n), (7) y (n 0 ) = a 0, y (n 0 + 1) = a 1,..., y (n 0 + k 1) = a k 1, (8) gdzie a i są ustalonymi liczbami dla i = 0, 1,..., k 1. Z powyższych rozważań otrzymujemy następujące Twierdzenie 2.3. Zagadnienie początkowe (7) i (8) posiada dokładnie jedno rozwiązanie y (n). Pozostaje pytanie czy potrafimy wyznaczyć wzór na n-ty wyraz ciągu spełniającego równanie (2) lub spełniającego zagadnienie początkowe (7) i (8). Zajmiemy się w pierwszej kolejności równaniem liniowym jednorodnym rzędu k postaci x (n + k) + p 1 (n) x (n + k 1) + + p k (n) x (n) = 0, (9) gdzie p k (n) 0 dla n n 0. Zaczniemy od wprowadzenia ważnych pojęć Definicja 2.4. Ciągi f 1 (n),..., f r (n) nazywamy liniowo zależnymi dla n n 0, gdy istnieją stałe a 1,..., a r nie wszystkie równe zeru, takie, że a 1 f 1 (n) + + a r f r (n) = 0 dla n n 0. (10) Jeżeli nie jest spełniony warunek Definicji 2.4, to ciągi f 1 (n),..., f r (n) nazywamy liniowo niezależnymi. Inaczej, ciągi te nazywamy liniowo niezależnymi, gdy z równości a 1 f 1 (n) + + a r f r (n) = 0 dla n n 0 wynika, że a 1 = a 2 = = a r = 0. Zilustrujmy powyższe pojęcia za pomocą przykładu: Przykład 2.5. Pokażemy, że ciągi 3 n, n3 n, n 2 3 n są liniowo niezależne dla n 1. Przypuśćmy, że dla stałych a 1, a 2 i a 3 mamy a 1 3 n + a 2 n3 n + a 3 n 2 3 n = 0 dla n 1. 4

5 Dzieląc przez 3 n mamy a 1 + a 2 n + a 3 n 2 = 0 dla wszystkich n 1. To jest możliwe tylko w przypadku, gdy a 3 = 0, bo trójmian kwadratowy ma co najwyżej dwa pierwiastki rzeczywiste. Stąd dalej mamy a 2 = 0, bo wielomian stopnia 1 ma co najwyżej jeden pierwiastek, a stąd dalej a 1 = 0. Zatem mamy liniową niezależność. Definicja 2.6. Zbiór k liniowo niezależnych rozwiązań równania (9) nazywamy fundamentalnym zbiorem rozwiązań. Zwróćmy uwagę, że w powyższej definicji k jest rzędem równania. Podamy teraz praktyczniejszą metodę sprawdzania liniowej niezależności rozwiązań. Definicja 2.7. Kasoratianem W (n) rozwiązań x 1 (n),..., x r (n) nazywamy wyznacznik dany przez x 1 (n) x 2 (n)... x r (n) x 1 (n + 1) x 2 (n + 1)... x r (n + 1) W (n) =. (11)... x 1 (n + r 1) x 2 (n + r 1)... x r (n + r 1) Przykład 2.8. Rozważmy równanie różnicowe x (n + 3) 7x (n + 1) + 6x (n) = 0. Pokażemy, że ciągi 1, ( 3) n i 2 n są rozwiązaniami tego równania i obliczymy dla nich kasoratian. Najpierw sprawdzamy, czy to są rozwiązania, podstawiając te ciągi do równania. Dla ciągu x (n) = 1 mamy L = = 0 = P. Dla ciągu x (n) = ( 3) n mamy L = ( 3) n+3 7 ( 3) n ( 3) n = ( 3) n [ ] = 0 = P. Wreszcie dla ciągu x (n) = 2 n mamy L = 2 n n n = 2 n [ ] = 0 = P. Obliczamy teraz kasoratian: 5

6 1 ( 3) n 2 n W (n) = 1 ( 3) n+1 2 n+1 1 ( 3) n+2 2 n+2 = ( 3)n+1 2 n+1 ( 3) n+2 2 n n+1 ( 3)n 1 2 n ( 3) n+1 2n 1 ( 3) n+2 = 2 n+2 ( 3) n+1 2 n+1 ( 3) n+2 ( 3) n ( 2 n+2 2 n+1) + 2 n ( ( 3) n+2 ( 3) n+1) = 12 2 n ( 3) n 18 2 n ( 3) n 4 2 n ( 3) n n ( 3) n n ( 3) n n ( 3) n = 20 2 n ( 3) n. Wykazuje się, że zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.9. Zbiór rozwiązań x 1 (n), x 2 (n),..., x k (n) równania (9) rzędu k jest zbiorem fundamentalnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla początkowego n 0 N {0} zachodzi W (n 0 ) 0. Przykład Sprawdzimy, że {n, 2 n } jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania x (n + 2) 3n 2 x (n + 1) + 2n x (n) = 0. n 1 n 1 Podstawiając do równania ciąg x 1 (n) = n, dostajemy L = n+2 3n 2 n 1 2n (n + 1)+ n 1 n = n2 + n 2 3n 2 n n 2 = 0 = P. n 1 Podstawiając teraz ciąg x 2 (n) = 2 n, mamy L = 2 n+2 3n 2 n 1 2n+1 + 2n n 1 2n n 4n 4 6n n = 2 = 0 = P. n 1 Ponieważ równanie nie ma sensu dla n = 1, więc przyjmiemy n 0 = 2. Mamy W (2) = = 4 0. Stąd na mocy Twierdzenia 2.9 ciągi n, 2 n dla n 2 stanowią zbiór fundamentalny rozwiązań danego równania. Przykład Rozważmy równanie rzędu trzeciego postaci x (n + 3) + 3x (n + 2) 4x (n + 1) 12x (n) = 0. Pokażemy, że ciągi 2 n, ( 2) n i ( 3) n tworzą zbiór fundamentalny rozwiązań tego równania. Sprawdzamy najpierw, że są to rozwiązania danego równania: dla ciągu 2 n mamy L = 2 n n n n = 2 n ( ) = 0 = P, 6

7 dla ciągu ( 2) n mamy L = ( 2) n ( 2) n+2 4 ( 2) n+1 12 ( 2) n i dla ciągu ( 3) n mamy L = ( 3) n ( 3) n+2 4 ( 3) n+1 12 ( 3) n Mamy = ( 2) n ( ) = 0 = P, = ( 3) n ( ) = 0 = P W (0) = = Na mocy Twierdzenia 2.9 podane rozwiązania tworzą zbiór fundamentalny rozwiązań. Opierając się teraz na Twierdzeniu 2.3, dowodzi się Twierdzenie 2.12 (Twierdzenie podstawowe). Jeżeli p k (n) 0 dla wszystkich n n 0, to równanie (9) posiada fundamentalny zbiór rozwiązań dla n n 0. Pokazuje się, że jeżeli x 1 (n),..., x k (n) jest zbiorem fundamentalnym rozwiązań równania (9), to dla dowolnych liczb c 1,..., c k ciąg k c i x 1 (n) i=1 jest rozwiązaniem równania (9) i dodatkowo jeśli x (n) jest dowolnym rozwiązaniem tego równania, to istnieją liczby a 1,..., a k takie, że x (n) = k a i x i (n). i=1 Stąd wynika zasadność następującej definicji Definicja Niech {x 1 (n), x 2 (n),..., x k (n)} będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania (9). Wówczas rozwiązanie x (n) = k a i x i (n), i=1 gdzie a i są dowolnymi stałymi, nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (9). 7

8 3 Liniowe jednorodne równania o stałych współczynnikach Rozważmy równanie różnicowe rzędu k postaci x (n + k) + p 1 x (n + k 1) + p 2 x (n + k 2) + + p k x (n) = 0, (12) gdzie p i są stałymi rzeczywistymi i p k 0. (W tych równaniach przyjmujemy zawsze n 0 = 0.) Uwaga 3.1. Zauważmy, że równanie (12) daje się zapisać przy pomocy operatora przesunięcia w postaci p (E) x (n) = 0. gdzie p (λ) = λ k + p 1 λ k 1 + p 2 λ k p k. Wielomian p nazywamy wielomianem charakterystycznym równania (12), a jego pierwiastki pierwiastkami charakterystycznymi tego równania. Zajmiemy się szczególnym przypadkiem, gdy wielomian p rozkłada się wyłacznie na czynniki liniowe. Mamy do rozważenia dwa przypadki: Przypadek (a). Załóżmy, że pierwiastki charakterystyczne λ 1,..., λ k są różne, czyli każdy z pierwiastków charakterystycznych jest pierwiastkiem jednokrotnym. Pokazuje się, że wtedy zbiór {λ n 1,..., λ n k } jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań. W konsekwencji rozwiązaniem ogólnym równania (12) jest x (n) = k a i λ n i, (13) i=1 gdzie a i są dowolnymi liczbami. Przypadek (b). Załóżmy teraz, że różnymi pierwiastkami charakterystycznymi są λ 1, λ 2,..., λ r i mają one odpowiednio krotności m 1, m 2,..., m r, przy czym r i=1 m i = k. Przy tych założeniach równanie (12) może być zapisane w postaci (E λ 1 ) m1 (E λ 2 ) m2 (E λ r ) mr x (n) = 0. (14) Wówczas pokazuje się, że zbiór G = G 1 G 2 G r, gdzie G i = { λ n i, nλ n i, n 2 λ n i,..., n mi 1 λ n i }, jest zbiorem fundamentalnym rozwiązań równania (14). Twierdzenie 3.2. Ogólnym rozwiązaniem równania (14) jest x (n) = r λ n i i=1 ( ai0 + a i1 n + a i2 n a imi 1n mi 1). (15) 8

9 Przykład 3.3. Rozwiążemy zagadnienie początkowe x (n + 3) 7x (n + 2) + 16x (n + 1) 12x (n) = 0, Równaniem charakterystycznym jest x (0) = 0, x (1) = 1, x (2) = 1. λ 3 7λ λ 12 = 0. Pierwiastkami charakterystycznymi są λ 1 = 2 = λ 2 i λ 3 = 3. Na mocy Twierdzenia 3.2 rozwiązaniem ogólnym jest x (n) = a 0 2 n + a 1 n2 n + b 0 3 n. Aby wyznaczyć stałe a 0, a 1, b 0 skorzystamy z warunków początkowych: x (0) = a 0 + b 0 = 0 x (1) = 2a 0 + 2a 1 + 3b 0 = 1 x (2) = 4a 0 + 8a 1 + 9b 0 = 1. Rozwiązując powyższy układ równań dostajemy a 0 = 3, a 1 = 2, b 0 = 3. Ostatecznie rozwiązaniem naszego zagadnienia początkowego jest x (n) = 3 2 n + 2n 2 n 3 n+1. 4 Liniowe niejednorodne równania: metoda przewidywania Zajmiemy się teraz równaniami postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = g (n), (16) gdzie p k (n) 0 dla n n 0 i g (n) nie jest ciągiem zerowym. Ciąg g (n) nazywamy składnikiem wymuszającym. Zachodzi Twierdzenie 4.1. Jeżeli y 1 (n) i y 2 (n) są rozwiązaniami równania (16), to ciąg x (n) = y 2 (n) y 1 (n) jest rozwiązaniem stowarzyszonego z nim równania jednorodnego x (n + k) + p 1 (n) x (n + k 1) + + p k (n) x (n) = 0. (17) Umówmy się, że ogólne rozwiązanie równania jednorodnego stowarzyszonego z danym równaniem niejednorodnym nazywać będziemy rozwiązaniem komplementarnym równania niejednorodnego i oznaczać będziemy symbolem y c (n). Rozwiązanie równania niejednorodnego nazywać będziemy rozwiązaniem szczególnym i oznaczać symbolem y p (n). Następne twierdzenie daje nam algorytm na generowanie wszystkich rozwiązań równania niejednorodnego (16). 9

10 Twierdzenie 4.2. Każde rozwiązanie y (n) równania (16) może być zapisane w postaci k y (n) = y p (n) + a i x i (n), gdzie {x 1 (n), x 2 (n),..., x k (n)} jest zbiorem fundamentalnym rozwiązań jednorodnego równania stowarzyszonego (17). Powyższe stwierdzenie upoważnia nas do zdefiniowania ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego jako i=1 y (n) = y c (n) + y p (n). (18) Przejdźmy teraz do wyznaczania szczególnych rozwiązań równań niejednorodnych ze stałymi współczynnikami takich, jak y (n + k) + p 1 y (n + k 1) + + p k y (n) = g (n). (19) Ze względu na prostotę zaprezentujemy tzw. metodę przewidywania zwaną inaczej metodą współczynników nieoznaczonych. Metoda ta ogólnie mówiąc polega na przewidzeniu postaci rozwiązania szczególnego, a następnie podstawieniu jej do równania, co umożliwia sprecyzowanie ostateczne tego rozwiązania. Pamiętajmy jednak, że metoda ta nie jest efektywna dla zupełnie dowolnego ciągu g (n). Jednakże dobrze działa, gdy g (n) jest liniową kombinacją składników postaci a n lub n l lub a n n l. (20) Definicja 4.3. Operator wielomianowy N (E), gdzie E jest operatorem przesunięcia nazywamy anihilatorem g (n), gdy N (E) g (n) = 0. (21) Inaczej mówiąc N (E) jest anihilatorem g (n), gdy g (n) jest rozwiązaniem równania jednorodnego (21). Zatem wyznaczenie anihilatora polega na znalezieniu możliwie najprostszego równania jednorodnego, którego rozwiązaniem jest g (n). Przykład 4.4. Podamy anihilatory pewnych składników wymuszających: g (n) = 3 n N (E) = E 3 g (n) = n 2 + n N (E) = (E 1) 3 g (n) = n ( 2) n N (E) = (E + 2) 2 g (n) = n 2 2 n + n 1 N (E) = (E 2) 3 (E 1) 2. Zapiszmy równanie (19) używając operatora E gdzie p (E) = E k + p 1 E k 1 + p 2 E k p k I. p (E) y (n) = g (n), (22) 10

11 Załóżmy teraz, że N (E) jest anihilatorem ciągu g (n) w (22). Zastosujmy operator N (E) do obu stron równania (22) N (E) p (E) y (n) = 0. (23) Niech λ 1, λ 2,..., λ k będą pierwiastkami charakterystycznymi równania jednorodnego p (E) y (n) = 0 (24) i niech µ 1, µ 2,..., µ l będą pierwiastkami charakterystycznymi równania jednorodnego N (E) y (n) = 0. (25) Musimy rozważyć dwa przypadki: Przypadek 1. Żadne z λ i nie pokrywa się z żadnym µ j. Wówczas y p (n) piszemy jako ogólne rozwiązanie równania (25) z nieoznaczonymi współczynnikami. Podstawiając je do równania (19) wyznaczamy te współczynniki. Przypadek 2. Któreś λ i0 pokrywa się z pewnym µ j0. Dla wyznaczenia rozwiązania szczególnego y p (n) znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania (23), a następnie opuszczamy w nim wszystkie składniki, które pojawiają się w ogólnym rozwiązaniu y c (n) równania (24). Dalej, dla wyznaczenia współczynników, postępujemy, jak w Przypadku 1. Przykład 4.5. Rozwiążemy równanie y (n + 2) + y (n + 1) 12y (n) = n 2 n. (26) Pierwiastkami charakterystycznymi jednorodnego równania stowarzyszonego są λ 1 = 3 i λ 2 = 4. Zatem y c (n) = c 1 3 n + c 2 ( 4) n. Ponieważ anihilatorem składnika wymyszającego jest N (E) = (E 2) 2, więc µ 1 = µ 2 = 2 i zbiory pierwiastków charakterystycznych są rozłączne. Zatem y p (n) = a 1 2 n + a 2 n 2 n. Wstawiając ciąg y p (n) do równania (26), dostajemy a 1 2 n+2 +a 2 (n + 2) 2 n+2 +a 1 2 n+1 +a 2 (n + 1) 2 n+1 12a 1 2 n 12a 2 n 2 n = n 2 n, czyli (10a 2 6a 1 ) 2 n 6a 2 n 2 n = n 2 n. Aby powyższa równość zachodziła, musi być spełniony układ równań: { 6a1 + 10a 2 = 0 6a 2 = 1. Rozwiązaniem tego układu równań jest a 1 = 5 18 i a 2 =

12 W konsekwencji y p (n) = n 1 6 n 2n i rozwiązaniem ogólnym danego równania jest y (n) = c 1 3 n + c 2 ( 4) n n 1 6 n 2n. Przykład 4.6. Rozwiążemy równanie y (n + 2) y (n + 1) 6y (n) = 5 3 n. (27) Pierwiastkami charakterystycznymi jednorodnego równania stowarzyszonego są λ 1 = 3 i λ 2 = 2. Zatem y c (n) = c 1 3 n + c 2 ( 2) n. Ponieważ anihilatorem składnika wymuszającego jest N (E) = E 3, więc µ 1 = 3, czyli µ 1 = λ 1. Zauważmy, że dane równanie zapisane przy użyciu operatora przesunięcia jest postaci (E 3) (E + 2) y (n) = 5 3 n. Zatem przykładając do obu stron tego równania anihilator składnika wymuszającego, otrzymujemy równanie jednorodne Rozwiązaniem ogólnym równania (28) jest (E 3) 2 (E + 2) y (n) = 0. (28) ỹ (n) = (a 1 + a 2 n) 3 n + a 3 ( 2) n. Opuszczając w tym rozwiązaniu składniki występujące w y c (n), otrzymujemy y p (n) = a 2 n 3 n. Podstawienie y p (n) do równania (27) daje nam a 2 (n + 2) 3 n+2 a 2 (n + 1) 3 n+1 6a 2 n 3 n = 5 3 n, skąd a 2 = 1 3. W kosekwencji y p (n) = n 3 n 1 i rozwiązaniem ogólnym równania (27) jest y (n) = c 1 3 n + c 2 ( 2) n + n 3 n 1. Przykład zastosowania w finansach. Załóżmy, że kupiliśmy bezterminową obligację, która pod koniec roku daje dywidendę w wysokości I złotych. Jaką kwotę uzyskamy, jeśli nie wydajemy pochodzących z tego źródła dochodów, a stopa procentowa jest stała i wynosi r procent? Ponieważ nie wydajemy 12

13 dochodów, więc mamy do czynienia z procentem składanym. Jeżeli w roku n mamy kwotę M n, to M n+1 = (1 + r) M n + I, n = 0, 1, 2,... Otrzymaliśmy w ten sposób równanie różnicowe, które musimy rozwiązać przy warunku brzegowy M 0 = 0. Jeżeli oznaczymy przez c = 1+r, to nasze równanie przyjmie postać M n+1 cm n = I. Wielomianem pomocniczym jest p (x) = x c. Zatem ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego ma postać M n = A c n. Sprawdźmy, czy dane równanie niejednorodne ma stałe rozwiązanie M n = k. Podstawiając do lewej strony dostajemy L = k ck = k (1 c) = rk. Zatem przy k = I r otrzymaliśmy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego. Stąd rozwiązaniem ogólnym tego równania jest M n = I r + A cn. Uwzględnaiając warunek brzegowy M 0 = 0, dostajemy A = I r. Zatem ostatecznym rozwiązaniem naszego problemu jest lub inaczej 5 Zadania M n = I r + I r cn = I r (cn 1) = I cn 1 c 1 M n = I r ((1 + r)n 1). Rozwiąż następujące zagadnienia początkowe: Zadanie 1: y (n + 1) y (n) = 3 ( 1) n, y (0) = 1 2. Zadanie 2: Zadanie 3: y (n + 1) y (n) = 2n + 1, y (0) = 2. y (n + 1) 3y (n) = 5, y (0) =

14 Zadanie 4: Zadanie 5: y (n + 1) 2y (n) = 4 3 n, y (0) = 7. y (n + 1) + 2y (n) = n ( 2) n + 5, y (0) = 2 3. Zadanie 6: y (n + 2) y (n + 1) 2y (n) = 2n n, y (0) = 11 2, y (1) = Zadanie 7: y (n + 2) + y (n + 1) 2y (n) = 2n + ( 2) n, y (0) = 1, y (1) = Zadanie 8: y (n + 3) 7y (n + 2) + 8y (n + 1) + 16y (n) = 10 4 n+2 36, y (0) = 0, y (1) = 4, y (2) = 96. Odpowiedzi: 1. y (n) = 3 2 ( 1)n y (n) = n y (n) = 3 n y (n) = 3 2 n n. 5. y (n) = ( n 2 + n 4 ) ( 2) n y (n) = ( 1) n n n n y (n) = ( 2) n ( 1 6 n + 1) n2 5 9 n. 8. y (n) = ( n 2 + n ) 4 n + 2 ( 1) n 2. 14

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań

Bardziej szczegółowo

Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".

Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski Matematyka w ekonomii. Modele i metody. Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2) Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu: RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo