; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze..."

Jan Michalik
4 lat temu
Przeglądów:

1 Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... D T (B +C) A + B A B (B C) T (A B) T A D D D T B A zatem C (A + B) zatem A + (B C) T zatem (A B) T C E E T D T D D T B E 76 4 E T C E 4 E T E 0 zatem E T E (A+C) Zadanie. A Składowe: A ; B A ; Wyznacz A 4(A B) T + B (A B) T 4 B 6 7 Wynik A 4(A B) T + B

2 Zadanie. Dla jakich iloczyn 0 jest macierzą zerową? + Iloczyn drugiej macierzy przez trzecią daje macierz -kolumnową: która, wymnożona przez pierwszą macierz, daje wyrażenie + +. Rozwiązujemy równanie kwadratowe Wyróżnik tego równania jest ujemny więc nie ma takich. Zadanie 4. Znaleźć wszystkie macierze B dla których A B B A, jeśli A 0 4 Macierz B zapisujemy jak niżej i wykonujemy oba mnożenia: a b a + c b + d a b a a + 4b A B B A 0 4 c d 4c 4d c d 0 4 c c + 4d Porównujemy elementy obu macierzy, co prowadzi do układu czterech równań: a + c a b + d a + 4b 4c c 4d c + 4d Z pierwszego równania wynika c 0, co potwierdzaną równania trzecie i czwarte. Drugie równanie daje d (a + b)/, natomiast liczby a i b są dowolne (oczywiście można użyć innej pary zmiennych jako parametrów, niekoniecznie a, b). Macierz B ma mieć postać: Zadanie 5. a 0 b a + b Wyznaczyć symetryczną macierz B i skośno-symetryczną C aby zachodziła równość: A + B C gdzie A Antysymetryczna (to jest to samo co skośnie-symetryczna, a krócej się pisze) macierz C ma tylko trzy niezależne elementy, y, z i wygląda jak niżej. Przekształćmy podaną równość do postaci: B C A C 0 y 0 z y z 0 z z zatem z zatem B C A y z y z Macierz B ma być symetryczna, czyli ma zachodzić B jk B kj. Porównujemy wyrazy poza przekątną: zatem y y zatem y 0 / / czyli C / 0 / B / / 0 / / / / / /

3 Zadanie 6. Obliczyć ślad macierzy A B gdy: A B Ślad macierzy jest sumą elementów na jej przekątnej. Nie musimy wykonywać całego mnożenia A B, wystarczy znaleźć elementy przekątnej (A B) kk. Weźmy element (A B). Ponieważ macierz B zawiera same trójki to wartość tego elementu jest o prostu sumą pierwszego wiersza macierzy A mnożoną przez. (A B) ( ) 0 Suma drugiego wiersza macierzy A jest o 4 większa (bo każdy element jest o większy) i wynosi 4, suma trzeciego wiersza to 8, suma czwartego wiersza to. Dostajemy: T r(a B) ( ) 9 Zadanie 7. Metodą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierze odwrotne. Ta metoda polega na doprowadzeniu danej macierzy A do postaci macierzy identycznościowej, mającej jedynki na przekątnej i poza tym zera. Jednocześnie te same operacje wykonujemy na innej macierzy identycznościowej. Po zakończeniu dostajemy w miejscu macierzy identycznościowej macież odwrotną do danej. Można to objaśnić w taki sposób: każda operacja na wierszach jest jak mnożenie danej macierzy przez jak ąć macierz M j. Skoro ciąg operacji: M n...m j...m doprowadza macierz A do postaci identycznościowej, to ten ciąg jest równy macierzy odwrotnej do A, więc mnożony przez identyczność da właśnie A. Na podanej macierzy A wykonujemy kolejno: zamieniamy miejscami wiersz pierwszy i czwarty oraz drugi i trzeci. Dzielimy wiersze odpowiednio przez,,5, 7, 4 i dostajemy identyczność. A Id Te same operacje na macierzy identycznościowej: Id / 0 0 /5 0 0 /7 0 0 / A Na macierzy B wykonujemy kolejno: pierwszy wiersz razy i odejmujemy go od drugiego wiersza. Drugi wiersz razy 6 i dodajemy do pierwszego. Dzielimy pierwszy wiersz przez, drugi przez. Gotowe. B Te same operacje ma macierzy identycznościowej Id Id B

4 ciąg dalszy zadania 7. Na macierzy C wykonujemy kolejno: Sumę wierszy i odejmujemy od pierwszego. Pierwszy wiersz dwukrotnie dodajemy do trzeciego. Drugi wiersz odejmujemy od trzeciego. Trzeci wiersz dwukrotnie dodajemy do drugiego, mnożymy trzeci i pierwszy wiersz przez, C Te same operacje na identyczności: Id Id 4 5 C Na macierzy D wykonujemy kolejno: Drugi wiersz dodajemy do trzeciego. Potrajamy pierwszy i drugi wiersz, a potem trzeci wiersz odejmujemy od pierwszego i dwukrotnie od drugiego. Drugi wiersz dwukrotnie dodajemy do pierwszego. Dzielimy pierwszy wiersz przez i odejmujemy od drugiego, a potem dzielimy pierwszy i trzeci wiersz przez, drugi przez. D 0 0 Te same operacje na identyczności: Id / /9 5/9 / /9 /9 0 / / Id D Na macierzy E wykonujemy kolejno: Od czwartego wiersza odejmujemy drugi. Pierwszy wiersz odejmujemy od trzeciego i dwukrotnie od drugiego, a potem drugi wiersz odejmujemy od trzeciego, który mnozym przez Trzeci wiersz dodajemy do drugiego i czwartego oraz -krotnie odejmujemy od pierwszego. E Ciąg dalszy: Czwarty wiersz odejmujemy 4-krotnie od pierwszego i dodajemy 7-krotnie do drugiego. Drugi wiersz dodajemy do pierwszego. Dzielimy drugi wiersz przez ciąg dalszy na następnej stronie Id

5 ciąg dalszy zadania 7, macierz E. To samo powtarzamy na identyczności. Przypominam operacje z poprzedniej strony. Od czwartego wiersza odejmujemy drugi. Pierwszy wiersz odejmujemy od trzeciego i dwukrotnie od drugiego, a potem drugi wiersz odejmujemy od trzeciego, który mnożymy przez. Trzeci wiersz dodajemy do drugiego i czwartego oraz -krotnie odejmujemy od pierwszego. Id Ciąg dalszy: Czwarty wiersz odejmujemy 4-krotnie od pierwszego i dodajemy 7-krotnie do drugiego. Drugi wiersz dodajemy do pierwszego. Dzielimy drugi wiersz przez / 0 0 E Zadanie 8. Wyznaczyć macierz X spełniającą równania. UWAGA: Tutaj jest dużo macierzy, których odwrotności się przydadzą. Jest prosty sposób znajdowania odwrotności takich macierzy. Jeśli macierz M ma postać: M to a b c d macierz odwrotną tworzymy zamieniając miejscami elementy a, d i zmieniając znaki elementów c, d i potem dzieląc powstałą macierz przez wyznacznik macierzy M. Dowód: a b d b ad bc ab + ba 0 c d ad bc c a ad bc cd dc cb + da 0 X Znajdujemy macierz odwrotną do macierzy przez którą jest mnożona 4 macierz X i mnożymy przez nią (z lewej strony) macierz po prawej stronie równania. X zatem X Liczymy jak poprzednio: ( ) ( 5) 5 zatem X Ciąg dalszy na następnej stronie

6 ciąg dalszy zadania 8 X 7 0 Tutaj trzeba mnożyć przez macierz odwrotną z prawej strony X zatem X Mnożymy prezez macierze odwrotne z obu stron. 0 0 ( ) 0 oraz Znajdujemy X Y / 7 6 Macierz Y musi mieć wiersze i kolumny aby to mnożenie było możliwe. Można by tu także znaleźć macierz odwrotną do tej, przez którą jest mnożona Y i pomnożyć przez nią z prawej strony, ale łatwiej będzie zastosować inną metodę. a b c Macierz Y ma postać: Wykonamy mnożenie z przykładu i ułożymy 6 równań d e f z niewiadomymi a...f a b c d e f a + b + c a + 4b 4a + 5b c d + e + f d + 4e 4d + 5e f Porównanie macierzy po prawej stronie daje dwa układy równań: a + b + c a + 4b 4a + 5b c oraz d + e + f 4 d + 4e 4d + 5e f Z trzecich równań obliczmy c 4a+5b oraz f 4d+5e, wstawiamy do pierwszych równań: { a + b + 4a + 5b a + 4b oraz { d + e + 4d + 5e 4 d + 4e Rozwiązania tych równań dają: a ; b ; c ; d ; e ; f. Macierz Y ma postać: Zadanie 9. Postać macierzowa układów równań (od razu rozwiązania) 4 4 y z 5 0 y z 4

7 Zadanie 0. Rozwiąż układ z użyciem macierzy odwrotnej: Zapisujemy układ równań w postaci macierzowej: A r b czyli y + z 5 + y + 7z 6 + y 4 gdzie wektor r to szukane wartości, y, z, wektor b to prawe strony równań w podanym układzie. Mnożymy obie strony lewostronnie przez odwrotność A i mamy: y z (A A) r A b zatem r A b Policzymy macierz odwrotną do A inaczej niż w zadaniu 7, bo chcę Ci pokazać, jak to się robi. Są kroki: Najpierw wyznaczamy macierz dopełnień macierzy A w taki sposób, że dla każdego elementu z A wykreślamy wiersz i kolumnę w których ten element jest i liczymy wyznacznik tego, co zostało. Znajdujemy macierz dopełnień D. D det D det D det D det D det D det D det D det D det W drugim kroku nakładamy na otrzymaną macierz siatkę znaków jak niżej i transponujemy wynik. Przyjrzyj się proszę dokładnie temu po znaku ( prowadzi do ) siatka znaków zatem W ostatnim kroku dzielimy otrzymaną poprzednio macierz przez wyznacznik macierzy A. Ten wyznacznik wynosi deta. Mamy macierz odwrotną: A zatem r Rozwiązaniem jest więc: ; y; z W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.

Podobne dokumenty

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x