Kinematyka płynów - zadania

Transkrypt

1 Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać, że ruch jest ustalony. Rozwiązanie Prędkość we współrzędnych Lagrange a oblicza się jako: φ (X, Y, t) v (X, Y, t) = = Xe t i Ye t j, t 0 t Funkcja odwrotna do funkcji (Xe, Ye ) daje prawo ruchu w zmiennych Eulera: X = xe Y = ye t 0 Po podstawieniu wyrażenia na X i Y do wzoru na prędkość w zmiennych Lagrange a otrzyma się pole prędkości w zmiennych Eulera (przestrzennych): v = xi yj Równanie linii prądu znajdujemy po scałkowaniu równania: stąd A więc równanie linii prądu ma postać wzoru: dx x = dy y ln x = ln x + lnc xy = C Ponieważ prędkość wyrażona w zmiennych Eulera nie zależy w sposób jawny od czasu = 0, więc ruch jest ustalony. Równanie określające tor cząstki, zadane dwzorowaniem φ, musi być identyczne z równaniem linii prądu. Rzeczywiście, po wyeliminowaniu z równań x = Xe, y = Ye, czasu t, otrzymuje się: xy = XY = C

2 Zadanie 2 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a: x = Xe + Z(e 1) y = Z(e e ) + Y z = Z gdzie (X,Y,Z) współrzędne materialne Sprawdzić, czy jakobian J dla zadanego prawa ruchu jest różny od zera. Znaleźć prawo ruchu w zmiennych Eulera. Sprawdzamy czy jakobian jest różny od zera: X φ J = X X Y Y Y Z Z Z e 0 e 1 = 0 1 e e = e 0 Po prostych przekształceniach można znaleźć funkcję odwrotną: X = xe + y(e 1) Y = y z(e e ) Z = z Zwróćmy uwagę, że przy obu sposobach opisu prawa ruch dla t = 0 otrzymujemy x = X, y = Y, z = Z.

3 Zadanie 3 Zadane jest prawo ruchu: x = X y = kx t + Y z = Z a) Znaleźć prawo ruchu we współrzędnych Eulera. b) Określić prędkość i przyspieszenie cząstki we współrzędnych Lagrange a i Eulera. c) Dla danego pola prędkości zadane jest pole temperatury T = Axy. Obliczyć pochodną substancjalną dt/dt. a) Odwzorowanie odwrotne, dające opis w zmiennych Eulera, równa się: X = x Y = y kx t Z = z b) Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych Lagrange a v (X, Y, Z, t) = φ t = Oı + 2kX tȷ + Ok a = φ t = 2kX ȷ Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych Eulera otrzymujemy po podstawieniu za X = x. v (x, y, z, t) = 2kx tȷ a (x, y, z, t) = 2kx ȷ c) Pochodna substancjalna temperatury równa się: dt dt = v T x + v T y + v T z = 2kx tax = 2kAx t

4 Zadanie 4 Zadane jest prawo ruchu: x = K Y t + X y = K Yt + Y z = Z K = K = 1/2 a) W chwili t = 0 wierzchołki kwadratu ABCD mają współrzędne A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(1,0,0). Określić położenie A, B,C,D w chwili t = 2 i naszkicować nowy kształt czworokąąta. b) Określić prędkość i przyspieszenie we współrzędnych materialnych i przestrzennych. a) Obliczamy przemieszczenie każdego wierzchołka kwadratu według zadanego prawa ruchu (rysynek poniżej). Wierzchołek A(0,0,0) i D(1,0,0) nie zmieni swojego położenia, a więc linia materialna AD przez cały czas ruchu nie będzie ulegała zmianie, wierzchołek C(1,1,0) przejdzie do punktu: x = k Y t + X = = 3 y = k Yt + Y = 2 z = 0 Wierzchołek B(0,1,0) przejdzie do punktu x = 2, y = 2. Boki nowego czworokąta nie będą jednak już odcinkami prostych. Obliczmy jak przeniosą się środki boków AB i CD. B (0,1/2,0) oraz C (1,1/2,0). B przejdzie do B o współrzędnych (1/2,1,0), a punkt C do punktu C o współrzędnych (1,5,1,0). Przybliżony kształt nowego czworokąta zaznaczono linią przerywaną. b) Prędkość i przyspieszenie we spółrzędnych Lagrange a: Opis ruchu w zmiennych Eulera dany jest wzorami: v (X, Y, Z, t) = φ t = 2k Y tı + k Yȷ a = 2k Yı yk X = x k k t + 1 Y = y k t + 1 Z = z

5 Zadanie 5 Zadane jest pole prędkości: v = 0 v = A(xy z )e v = A(y xz)e A i B są pewnymi stałymi. Wyznaczyć gradient prędkości gradient prędkości, tensor deformacji oraz wirowość w punkcie P(1,0,3) w chwili t = 0. x grad(v ) = x x y y Yy z v z = y x 2z Ae z 2y x z W punkcie P(1,0,3) i czasie t = 0 tensor ma wartość: grad(v ) = 0 A 6A 3A 0 A Tensor deformacji obliczamy z wzoru: D = 1 2 grad(v ) + grad(v ) = A 6A A 0 0 1,5A 2 0 A 0 = 0 A 3A 3A 0 A 0 6A A 1,5 3A A Tensor wirowości obliczamy z następującego wzoru: Ω = ,5A 2 grad(v ) grad(v ) = 0 0 3A 1,5A 3A 0

6 Zadanie 6 Znaleźć równanie linii wirowych dla pola prędkości: v = (Az By)ı + (Bx Cz)ȷ + (Cy Ax)k Wektor wirowości W = rot(v ) ma składowe: i j k W = v v = = 2Cı + 2Aȷ + 2Bk x y z Az By Bx Cz Cy Ax Linie wirowe, czyli linie styczne w każdym punkcie do kierunku pola wirowego, wyznaczamy z układu równań różniczkowych: czyli stąd dx 2C = dy 2A = dz 2B Adz = Bdy Cdy = Adx Cdx = Bdy z = B A y + K y = A C x + K gdzie K 1, K 2, K 3 są stałymi całkowania. x = B C y + K

7 Zadanie 7 Wykazać, że pole prędkości z zad. 6 odpowiada ruchowi ciała szczytowego (tensor deformacji D=0). Zapszmy gradient prędkości w postaci macierzowej: 0 B A grad(v ) = B 0 C A C 0 Jak widać macierz grad(v ) jest asymetryczna. Część symetryczna macierzy grad(v ), zwana tensorem deformacji D, jest tożsamościowo równa zeru (D=0). Zadanie 8 Dane jest następujące pole prędkości dla cieczy nieściśliwej: v = k(y 2) z v = xy v = kxz Określić stałą k tak aby spełnione było równanie ciągłości. Dla cieczy nieściśliwej div(v ) = 0, a więc: stąd x + y + = x + kx = 0 z k = 1

8 Zadanie 9 Wykazać, że jeśli F jest polem przekroju poprzecznego strugi, to równanie ciągłości ma postać: gdzie oznacza pochodną wzdłuż osi strugi. F ρ t + (ρfv) = 0 Rozpatrzmy dwa przekroje strugi oddalone od siebie o ds które wycinają ze strugi objętość kontrolną V = A ds. Korzystając z zasady zachowania masy można dla objętości V ułożyć następujący bilans masy: (masa wypływająca z V) - (masa dopływająca do V) + (zmiana masy w V) = 0 Masa cieczy dopływającej do objętości V równa się: a odpływająca: ρ + ρ ρv Adt ds v + v Zmiana masy wewnątrz objętości kontrolnej jest równa: ρ t Adsdt A ds A + ds dt Pomijając w wyrażeniu na masę wypływającą z objętości kontrolnej człony zawierające nieskończenie małe wyższego rzędu (ds 2 dt), otrzymujemy: va ρ Równanie to można przekształcić do postaci: A v + ρv + ρa + ρ t A = 0 A ρ t + (ρav) = 0 Dla przepływu ustalonego ( = 0) równanie ciągłości przybiera formę: Q m strumień masy ρav = Q = const

9 Zadanie 10 Ciecz wiruje w ten sposób, że cząstki poruszają się stale po tych samych okręgach z jednakową prędkością kątową ω. Jakie równanie musi spełniać gęstość płynu ρ? Podczas ruchu płynu, gęstość płynu musi spełniać równanie ciągłości: ρ + ρ div(v ) = 0 t Z warunków zadania wynika, że składowe prędkości tego ruchu wynoszą: gdzie: v = ωr moduł wektora prędkości Dywergencja prędkości: Płyn jest więc nieściśliwy, ( = 0), czyli: v = v cosα = ω r cosα = ω x v = v sinα = ω r sinα = ω y div(v ) = x + y + = ω + ω = 0 z ρ t ρ ρ ω x + ω y x y = 0 Z warunków zadania wynika, że prędkość jest funkcją tylko promienia r i istnieje tylko składowa obwodowa v φ = ωr. Korzystnie jest więc przedstawić równanie ciągłości we współrzędnych cylindrycznych, które to równanie we współrzędnych (r, φ, z) ma postać: ponieważ: więc: ρ t + 1 r (ρ v ) r + 1 r (ρv ) φ + (ρv ) = 0 z v = 0 v = 0 v = r ω ρ (ρ ω) + = 0 t φ