Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Transkrypt

1 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej. Do opisu zjawisk w niej będzie stosowany prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich przedstawiony na rysunku Na potrzeby opisu zjawisk zamiast tradycyjnego oznaczenia wprowadzono osie X 1, X i X 3. Położenie dowolnego punktu opisują trzy współrzędne x 1, x i x 3, które można zapisać w zapisie wskaźnikowym x i, (10.1) w którym i=1,, 3. Indeks i będzie zawsze przyjmował wartości od 1 do 3. Prawoskrętny układ oznacza, że śruba prawoskrętna kręcąca się od osi X 1 do osi X będzie się wkręcała w kierunku osi X 3. Podobnie śruba kręcąca się od osi X do osi X 3 będzie się wkręcała w kierunku osi X 1. Na koniec, jeżeli śruba będzie się kręciła od osi X 3 do osi X 1 to będzie się wkręcała w kierunku osi X. Przedstawia to rysunek 10.. Z=X 3 A O x 3 Y=X x 1 x X=X 1 Rys Prawoskrętny układ współrzędnych. Z=X 3 Z=X 3 Z=X 3 Y=X Y=X Y=X X=X 1 X=X 1 X=X 1 Obrót śruby prawoskrętnej Rys Obrót śruby prawoskrętnej.

2 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE W analizie konstrukcji często występującą wielkością jest wielkość wektorowa. Wielkością wektorową może być siła lub przemieszczenie punktu konstrukcji. Rysunek 10.3 przedstawia przykładowy wektor A przyłożony w początku układu współrzędnych. Wektor jest taką wielkością, którą charakteryzuje moduł wektora, kierunek i zwrot. Jak widać na rysunku 10.3 wektor został przedstawiony za pomocą trzech współrzędnych wektora na trzy osie przyjętego układu współrzędnych. Wektor przedstawiony na rysunku 10.3 posiada wszystkie trzy współrzędne dodatnie. Z=X 3 A 3 A A 1 O A Y=X X=X 1 Rys Składowe wektora A. Trzy współrzędne wektora można zapisać w formie macierzy kolumnowej w postaci [A1 A 3], A (10.) lub w zapisie wskaźnikowym A i, (10.3) w którym i=1,, 3. Jeżeli dwa wektory A i B są równe to współrzędne wektorów spełniają warunek A i =B i. (10.4) Jeżeli pomnożymy wektor A przez skalar a, otrzymano wektor współosiowy B, który spełnia zależność

3 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 3 B=a A. (10.5) Równanie (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie miało postać B i =a A i. (10.6) Sumowanie dwóch wektorów A i B można wykonać sumując ich współrzędne. W wyniku otrzyma się wektor C o współrzędnych C i =A i B i. (10.7) Wektor o module równym jeden nazywamy wektorem jednostkowym. Jeżeli kierunek i zwrot wektora jednostkowego zgodne są z kierunkiem i zwrotem osi układu współrzędnych to wektor taki nazywamy wersorem. Wersory przedstawia rysunek Z=X 3 e 3 e 1 O e Y=X X=X 1 Rys Wersory. Dowolny wektor A można zapisać w postaci sumy 3 A=A 1 A e A 3 = i=1 A i e i. (10.8) Dla skrócenia zapisu wzoru (10.8) wprowadzono umowę sumacyjną Einstaina. Umowa ta mówi, że jeżeli w jednomianie występuje dwa razy ten sam wskaźnik, to oznacza to, że należy wykonać sumowanie względem wszystkich możliwych wartości tego wskaźnika. Zgodnie z tą umową wzór (10.8) będzie miał postać

4 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 4 A=A i e i, (10.9) w którym powtarzający się wskaźnik i jest wskazówką, że należy wykonać sumowanie dla wartości i zmieniających się od 1 do 3. Wskaźnik ten nazywa się wskaźnikiem sumacyjnym lub niemym, ponieważ może być on zastąpiony każdym innym symbolem bez zmiany sensu zapisu. Pozostałe wskaźniki są wskaźnikami żywymi. Jeżeli jednak wyrażenia nie mają być sumowane to wskaźniki należy ująć w nawiasy. Iloczynem skalarnym dwóch wektorów A i B nazywamy skalar, który jest równy iloczynowi modułów wektorów A i B oraz kosinusa kąta zawartego pomiędzy oboma wektorami. A B= A B cos. (10.10) Szczególnym przypadkiem będzie skalarne mnożenie wersorów. W wyniku takiego mnożenia otrzymano e 1 = e e = e 3 =1 (10.11) oraz e 1 e = e = e 1 = e 3 = e = e 3 e =0 (10.1) gdyż kąty zawarte między wersorami równe są 0 lub /. Wektor A można wyrazić A=A 1 A e A 3. (10.13) Wektor B można wyrazić B=B 1 B e B 3. (10.14) Iloczyn skalarny można wyrazić za pomocą wzoru A B= A 1 A e A 3 B 1 B e B 3. (10.15) Po wykonaniu mnożenia oraz uwzględnieniu (10.11) i (10.1) otrzymano

5 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 5 3 A B=A 1 B 1 A B A 3 B 3 = i=1 A i B i =A i B i. (10.16) Iloczyn skalarny jest działaniem przemiennym, wynik mnożenia skalarnego wektora A przez B oraz wektora B przez wektor A będzie identyczny. Wartość iloczynów skalarnych wersorów można zapisać w postaci e i e j = ij ={ 1 gdy i= j 0 gdy i j. (10.17) Wartość d ij nazywamy symbolem Kroneckera. Symbol ten ma duże znaczenie w mechanice ciała stałego. Jedno z ważnych zastosowań symbolu Kroneckera można przedstawić na przykładzie równania A i = ij B j. (10.18) Wskaźnik j jest wskaźnikiem niemym i wzór (10.18) można przedstawić w postaci A i = i1 B 1 i B i3 B 3. (10.19) Wzór (10.19) można przedstawić w postaci A 1 = 11 B 1 1 B 13 B 3 A = 1 B 1 B 3 B 3 A 3 = 31 B 1 3 B 33 B 3. (10.0) Uwzględniając wartości delty Kroneckera wzór (10.0) można zapisać A 1 =B 1 dla i=1 A =B dla i= A 3 =B 3 dla i=3. (10.1) Ostatecznie wzór (10.18) można zapisać A i = ij B j =B i. (10.)

6 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 6 Z powyższego przykładu wynika, że działanie symbolem Kroneckera na wektor B j powoduje w nim zmianę wskaźnika j na i. Symbol Kroneckera nazywa się symbolem zmiany wskaźnika. Wartość delty Kroneckera przy jednakowych wskaźnikach wynosi ii = =1 1 1=3. (10.3) Iloczynem wektorowym dwóch wektorów A i B nazywamy wektor C, którego moduł wynosi C = A B sin. (10.4) Moduł wektora C równa się polu równoległoboku, który można zbudować na wektorach A i B. Wektor C jest prostopadły do płaszczyzny, na której znajdują się wektory A i B. Natomiast zwrot wektora C spełnia regułę śruby prawoskrętnej, która mówi, że kręcąc śrubą od wektora A w kierunku wektora B śruba będzie się wkręcała zgodnie ze zwrotem wektora C. Przedstawia to rysunek C B A Rys Iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym czyli A B= B A. (10.5) Iloczyn skalarny wersora przez siebie wynosi e 1 e 1 = e e = e 3 e 3 =0 (10.6) Iloczyn skalarny wersora e 1 przez e wynosi

7 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 7 e 1 e = e e 1 = e 3. (10.7) Iloczyn skalarny wersora e przez e 3 wynosi e e 3 = e 3 e = e 1. (10.8) Iloczyn skalarny wersora e 3 przez e 1 wynosi e 3 e 1 = e 1 e 3 = e. (10.9) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów A i B można zapisać w postaci A B= A 1 A e A 3 B 1 B e B 3. (10.30) Wzór ten po wymnożeniu będzie miał postać A B=A 1 B 1 e 1 A 1 B e A 1 B 3 e 3 A B 1 e e 1 A B e e A B 3 e e 3. (10.31) A 3 B 1 e 1 A 3 B e A 3 B 3 e 3 Uwzględniając (10.6), (10.7), (10.8) i (10.9) wzór (10.31) będzie miał postać A B= A B 3 A 3 B A 3 B 1 A 1 B 3 e A 1 B A B 1. (10.3) Wzór (10.3) można zapisać w postaci wyznacznika 1 e e 3 A B= e A 1 A A 3 3. B 1 B B (10.33) W zapisie wskaźnikowym iloczyn wektorowy można zapisać w postaci

8 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 8 A B=e ijk e i A j B k, (10.34) w którym e ijk stanowi symbol permutacyjny, który można wyrazić jako e ijk ={ gdy i= j lubi=k lub j=k gdy i, j, k przedstawiają permutację dodatnią gdy i, j, k przedstawiają permutację ujemną. (10.35) Permutacja dodatnia oznacza kolejne występowanie liczb 1,, 3. Permutacja ujemna oznacza kolejne występowanie liczb 3,, 1. Przedstawia to rysunek Permutacja dodatnia Permutacja ujemna Rys Permutacja dodatnia i ujemna. Na podstawie rysunku 10.6 permutacja dodatnia oznaczają kolejność liczb 13, 31, 31, (10.36) natomiast permutacja ujemna oznacza kolejność liczb 13, 31, 13. (10.37) 10. Transformacja układu współrzędnych W rozdziale tym podane zostaną wzory opisujące transformację (obrót) układu współrzędnych. Pierwotnym układem jest układ X 1X X 3. Układ transponowany (obrócony) to układ X 1'X 'X 3'. Oba układy zostały pokazane na rysunku Osie układu współrzędnych X 1'X 'X 3' tworzą z osiami X 1X X 3 kąty, których kosinusy kierunkowe opisuje zależność a i ' j =cos x i ', x j. (10.38)

9 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 9 Z=X 3 Z'=X 3' Z=X 3 e 1 e 3 O e Y=X e3' e ' O Y'=X ' Y=X e 1' X=X 1 X=X 1 X'=X 1' Rys Układ pierwotny i transponowany (obrócony). Kosinusy kierunkowe tworzą tablicę x 1 x x 3 x 1 ' a 1 ' 1 a 1' a 1' 3 x ' a ' 1 a ' a ' 3 (10.39) x 3 ' a 3 ' 1 a 3' a 3' 3 nazywaną macierzą transformacji układu współrzędnych. Macierz ta nie jest macierzą symetryczną, ponieważ A i ' j A j' i. (10.40) Oznacza to na przykład, że kosinus kąta między osią X 1' i osią X 3 (a 1'3) jest różny od kosinusa kąta między osią X 3' i osią X 1 (a 3'1). Wartość kosinusa kierunkowego równa się iloczynowi skalarnemu wersora e i ' i e j e i ' e j = 1 1 cos x i ', x j =cos x i ', x j =a i ' j. (10.41) W układzie X 1X X 3 znajduje się wektor A, który można zapisać równaniem (10.8) lub (10.9). Współrzędna A ' w układzie osi X 1'X 'X 3' równa się rzutowi tego wektora na oś X '. Przedstawia to rysunek Współrzędna A ' wynosi A ' = A cos. (10.4)

10 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 10 Z=X 3 Z'=X 3' Z=X 3 A 1 A 3 O A A Y=X A e ' A ' O Y'=X ' Y=X X=X 1 X=X 1 X'=X 1' Rys Rzut wektora na oś układu transponowanego. Kosinus kąta a można wyznaczyć z iloczynu wektorowego wektora A i e '. Kosinus ten wynosi A e ' = A 1 cos = A cos. (10.43) Wzory (10.4) i (10.43) są sobie równe czyli można zapisać A ' = A e '. (10.44) Podstawiając równanie (10.8) do (10.44) otrzymano A ' = A 1 A e A 3 e '. (10.45) Po wymnożeniu wzór (10.45) będzie miał postać A ' =A 1 e ' A e e ' A 3 e '. (10.46) Uwzględniając (10.41) wzór (10.46) będzie miał postać A ' =A 1 a ' 1 A a ' A 3 a ' 3. (10.47)

11 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 11 Wzór (10.47) można zapisać wskaźnikowo w postaci A ' =a ' j A j. (10.48) Ogólnie wzór (10.48) można zapisać w postaci A i ' =a i ' j A j. (10.49) Wzór (10.49) możemy także uogólnić na współrzędne punktu x 1x x 3 i x 1'x 'x 3' x i ' =a i ' j x j (10.50) Inaczej kosinusy kierunkowe można wyznaczyć obliczając pochodną cząstkową funkcji współrzędnej x 1' względem x 1. Pochodna ta wynosi x 1' x 1 = x 1 x 1 a 1' 1 x a 1' x 3 a 1' 3 =a 1' 1. (10.51) Ogólnie można zapisać x i ' x j =a i ' j. (10.5) Wzór (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie zapisana w postaci (pochodną oznacza się przecinkiem) x i ' x j =x i ', j =a i ' j. (10.53) Obrót układu współrzędnych, podobnie jak obrót bryły sztywnej w przestrzeni trójwymiarowej, ma tylko trzy stopnie swobody. Oznacza to, że tylko trzy spośród dziewięciu kosinusów kierunkowych są niezależne. Współrzędne wersora e 1' w układzie X 1X X 3 równają się odpowiednim kosinusom kierunkowym. Przedstawia to rysunek 10. Wersor e 1' możemy wyrazić za pomocą wzoru e 1' =e 1 e e e 3 =a 1' 1 a 1' e a 1' 3. (10.54)

12 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 Z=X 3 e 3 e e 1 O e 1' X'=X 1' Y=X cos =a 1' 1 cos =a 1' cos =a 1' 3 X=X 1 Rys Współrzędne wersora osi X 1'. Wzór (10.54) można zapisać w postaci e i ' e p. (10.55) Wzór (10.55) można zapisać także w postaci e j' =a j' q e q. (10.56) Mnożąc skalarnie wersory (10.55) i (10.56) otrzymano e i ' e j' = a i ' p e p a j' q e q e p e q. (10.57) Na podstawie definicji symbolu Kroneckera (10.17) można zapisać e i ' e j' = i ' j' (10.58) oraz e p e q = pq. (10.59) Uwzględniając (10.58) i (10.59) wzór (10.57) będzie miał postać

13 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 13 i ' j' pq. (10.60) Korzystając z delty Kroneckera jako operatora zmiany wskaźnika wzór (10.61) będzie miał postać a i ' p a j' p = i ' j'. (10.61) Wzór (10.61) nazywa się warunkami ortogonalności (osie układu współrzędnych są prostopadłe). Sumowanie we wzorze (10.61) będzie się odbywało po wskaźniku p. Wzór (10.61) będzie miał postać a i ' 1 a j' 1 a i ' a j' a i ' 3 a j' 3 = i ' j'. (10.6) Jeżeli i'=1' oraz j'=1' to wzór (10.6) będzie miał postać a 1' 1 a 1' 1 a 1' a 1' a 1' 3 a 1' 3 = 1' 1' =1. (10.63) Jeżeli i'=' oraz j'=' to wzór (10.6) będzie miał postać a ' 1 a ' 1 a ' a ' a ' 3 a ' 3 = ' ' =1. (10.64) Jeżeli i'=3' oraz j'=3' to wzór (10.6) będzie miał postać a 3' 1 a 3' 1 a 3' a 3' a 3' 3 a 3' 3 = 3' 3' =1. (10.65) Jeżeli i'=1' oraz j'=' lub i'=' oraz j'=1' to wzór (10.6) będzie miał postać a 1' 1 a ' 1 a 1' a ' a 1' 3 a ' 3 = 1' ' =0. (10.66) Jeżeli i'=1' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=1' to wzór (10.6) będzie miał postać a 1' 1 a 3' 1 a 1' a 3' a 1' 3 a 3' 3 = 1' 3' =0. (10.67) Jeżeli i'=' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=' to wzór (10.6) będzie miał postać

14 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 14 a ' 1 a 3' 1 a ' a 3' a ' 3 a 3' 3 = ' 3' =0. (10.68) Wzory (10.63), (10.64) oraz (10.65) powstają z przemnożenia wyrazów z kolejnych wierszy tablicy (10.39) przez siebie. Wzory (10.66), (10.67) oraz (10.68) powstają z przemnożenia wyrazów z wiersza pierwszego przez drugi, wiersza pierwszego przez trzeci oraz wiersza drugiego przez trzeci. Wzory (10.63) do (10.68) stanowią sześć zależności wiążących między sobą kosinusy kierunkowe. Widać więc, że tylko trzy kosinusy kierunkowe są niezależne Pojęcie tensora Dane są dwa wektory A i B, które transformują się zgodnie ze prawem transformacji (10.49) w postaci (zamianie uległ wskaźnik niemy) A i ' A p, (10.69) B j' =a j' q A q. (10.70) Tworząc iloczyn współrzędnych wektorów A i B w postaci 1 A1 B A1 B3 A i B j =[A A B 1 B B 3 ]=[A1 B1 A 1 A B A B 3 ij (10.71) A 3] [ A 3 B 1 A 3 B A 3 B 3]=C otrzymano układ dziewięciu liczb C ij, który nazywa się diadą natomiast iloczyn wszystkich współrzędnych wektorów A i B nazywa się iloczynem tensorowym lub iloczynem zewnętrznym. Diada C ij będzie miała postać C ij =[C 11 C 1 C 13 C 1 C C 3 C 31 C 3 C 33]. (10.7) Diada w układzie obróconym przyjmie postać C i ' j' =A i ' B j' A p B q A p B q, (10.73) którą można zapisać

15 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 15 C i ' j' C pq. (10.74) Równanie (10.74) stanowi prawo transformacji tensora natomiast diadę C pq transformującą się zgodnie z równaniem (10.74) nazywa się tensorem rzędu drugiego. W celu usystematyzowania wprowadza się wielkości o różnym charakterze, a mianowicie 1. Tensory rzędu zerowego, do których zalicza się skalary. Skalar jest to pojedyncza liczba, której wartość zależy od miejsca nie zależy natomiast od obrotu układu współrzędnych. Przykładem skalara jest gęstość materiału lub temperatura.. Tensory rzędu pierwszego, czyli wektory. Przykładem wektora może być wektor siły, wektor przemieszczenia punktu, wektor prędkości czy wektor przyśpieszenia. 3. Tensory rzędu drugiego. Przykładem tensora rzędu drugiego jest tensor naprężenia, który zostanie dokładnie omówiony w następnym rozdziale. Pojedyncze składowe tego tensora takie jak naprężenie normalne s X, naprężenie styczne t XZ zostały już omówione we wcześniejszych wykładach. Symbol Kroneckera jest także tensorem rzędu drugiego. Można go zapisać w postaci 0 0 1] =[1 ij (10.75) Tensor (10.75) jest tensorem jednostkowym oraz symetrycznym, ponieważ ij = ji. (10.76) Jest on także izotropowy, ponieważ jego postać nie zmienia się podczas obrotu układu współrzędnych czyli zachodzi równość ij = i ' j'. (10.77) 4. Tensory rzędu trzeciego, powstają z pomnożenia tensora rzędu drugiego przez wektor w postaci B ij C k =A ijk. (10.78) Tensor ten zawiera 7 wielkości skalarnych, które transformować się będą według A i ' j' k ' a k ' r A pqr. (10.79)

16 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 16 Z powyższego zestawienia wynika, że skalar określa jedna liczba (3 0 ), wektor określają trzy liczby (3 1 ), tensor rzędu drugiego określa dziewięć liczb (3 ), a tensor rzędu trzeciego określa dwadzieścia siedem liczb (3 3 ). Można więc stwierdzić, że tensor n-tego rzędu będzie określać 3 n liczb. Prawo transformacji tensora n-tego rzędu będzie miało postać, która jest uogólnieniem prawa transformacji dla tensora rzędu drugiego. Prawo to ma następującą postać A i ' j' k '... n ' a k ' r... a n' s A pqr...s. (10.80) 10.4 Działania na tensorach Pierwszym działaniem, które można wykonać na tensorach jest dodawanie i odejmowanie tensorów. Działanie to można przeprowadzić tylko dla tensorów tego samego rzędu. Można je zapisać C ij =A ij ±B ij. (10.81) Aby udowodnić, że wynik dodawania jest również tensorem należy sprawdzić czy tensor C ij spełnia prawo transformacji tensora C ij =A ij ±B ij A pq ±a i ' p B pq, (10.8) które można zapisać w postaci C ij A pq ±B pq C pq. (10.83) Jak widać ze wzoru (10.83) C ij spełnia prawo transformacji tensora, jest więc to wielkość tensorowa. Drugim działaniem wykonywanym na tensorach jest mnożenie tensorów. Takie mnożenie nazywa się iloczynem zewnętrznym. Mnożąc tensor drugiego rzędu i wektor można otrzymać tensor trzeciego rzędu C ijk =A i B jk. (10.84) Prawo transformacji tensora ma w tym przypadku postać C i ' j' k ' A p a k ' r B qr, (10.85) którą można ostatecznie zapisać jako

17 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 17 C i ' j' k ' a k ' r A p B qr a k ' r C pqr. (10.86) Trzecim działaniem jest zwężenie lub kontrakcja tensora. Działanie to można wykonać tylko dla tensorów rzędu wyższego niż dwa. Działanie to można pokazać na przykładzie tensora A ijk. Przyjmując, że j=k otrzymano wyrażenie A ijj. Powtórzenie się wskaźnika j oznacza sumowanie, co daje w wyniku A ijj =A i11 A i A i33. (10.87) Rozpisując wzór (10.87) po wskaźniku i można otrzymać układ trzech liczb tworzących tensor pierwszego rzędu w postaci A 111 A 1 A 133 dla i=1 A 11 A A 33 dla i= A 311 A 3 A 333 dla i=3. (10.88) Wynik zwężania tensora trzeciego rzędu można zapisać następująco A ijj =C i. (10.89) Prawo transformacji tensora ma w przypadku zwężenia postać (przyjęto, że j=k) A i ' j' j' a j' r A pqr, (10.90) pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność a j' q a j' r = qr. (10.91) Uwzględniając (10.91) wzór (10.90) będzie miał postać A i ' j' j' qr A pqr. (10.9) Traktując symbol Kroneckera jako symbol zmiany wskaźnika wzór (10.9) będzie miał postać

18 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 18 A i ' j' j' A pqq A p11 A p A p33 C p. (10.93) Szczególnym przypadkiem zwężania tensora jest zwężanie tensora drugiego rzędu, który można przedstawić w postaci A ii =A 11 A A 33, (10.94) który jest sumą współrzędnych diagonalnych tensora A ij. Sumę tą nazywa się także śladem macierzy. Czwartym działaniem jest nasuwanie tensorów. Możemy je wykonać dla tensorów dowolnych rzędów. Działanie to zostanie podstawione na podstawie tensora czwartego rzędu, który można otrzymać mnożąc (iloczyn zewnętrzny) tensor trzeciego rzędu A ijk i tensor pierwszego rzędu (wektor) B m. A ijk B m =C ijkm. (10.95) Jeżeli w iloczynie zewnętrznym (10.95) przyjmie się przykładowo k=m to w wyniku takiego mnożenia nazywanego iloczynem wewnętrznym otrzyma się tensor drugiego rzędu w postaci A ijk B k =C ijkk =D ij. (10.96) Prawo transformacji tensora w przypadku nasuwania tensorów ma postać C i ' j' k ' k ' =A i ' j' k ' B k ' a k ' r A pqr a k ' s B s, (10.97) który można zapisać w postaci C i ' j' k ' k ' a k ' r a k ' s A pqr B s. (10.98) pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność a k ' r a k ' s = rs. (10.99) Uwzględniając (10.99) wzór (10.98) można zapisać w postaci C i ' j' k ' k ' rs A pqr B s A pqr B r. (10.100)

19 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 19 Wzór (10.100) można ostatecznie zapisać jako C i ' j' k ' k ' A pqr B r C pqrr D pq. (10.101) 10.5 Tensory drugiego rzędu W dalszych wykładach najczęściej będą stosowane tensory drugiego rzędu. W związku z tym w punkcie tym zostaną podane podstawowe wiadomości o tensorach drugiego rzędu. W tensorze tym można wyodrębnić główną przekątną pokazaną na rysunku A ij =[ A 11 A 1 A 13 A 1 A A 3 A 31 A 3 A 33]Główna przekątna Rys Główna przekątna tensora drugiego rzędu. Tensor drugiego rzędu będzie tensorem symetrycznym, jeżeli zamiana wskaźników miejscami nie zmienia wartości współrzędnych, to znaczy gdy A ij =A ji. (10.10) Jeżeli zamiana wskaźników miejscami powoduje zmianę znaku współrzędnej to tensor jest nazywany tensorem skośnie symetrycznym. Opisuje to zależność B ij = B ji. (10.103) Dla współrzędnych, które mają jednakowe wskaźniki zależność (10.103) jest spełniona jeżeli te współrzędne równają się zero czyli B 11 =B =B 33 =0. (10.104) Dowolny tensor drugiego rzędu C ij można rozłożyć na dwa tensory drugiego rzędu, z których jeden jest symetryczny

20 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 0 C ij = 1 C ij C ji, (10.105) a drugi skośnie symetryczny C [ij] = 1 C ij C ji. (10.106) Szczególnym przypadkiem tensora drugiego rzędu jest tensor kulisty nazywany także aksjatorem. W tensorze kulistym współrzędne znajdujące się na przekątnej (współrzędne o jednakowych wskaźnikach) są jednakowe a pozostałe współrzędne (współrzędne o różnych wskaźnikach) są równe zero. Najprostszym tensorem kulistym jest symbol Kroneckera opisanego wzorem (10.75). Z każdego dowolnego symetrycznego tensora drugiego rzędu można wydzielić jego część kulistą, którą opisuje wzór =[1 A O ij = 1 3 A pp ij 3 A pp A pp 0, (10.107) 1 3 pp] A w którym A pp =A 11 A A 33 (10.108) jest sumą wyrazów na głównej przekątnej. Tensor będący różnicą tensora drugiego rzędu i tensora kulistego nazywa się dewiatorem. Można go przedstawić w postaci =[A A pp A 1 A 13 D =A ij 1 3 A pp ij A 1 A 1 3 A pp A. 3 (10.109) A 31 A 3 A pp] A A ij

21 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 Suma współrzędnych na głównej przekątnej w dewiatorze wynosi A D kk =A kk 1 3 A kk kk. (10.110) Zgodnie ze wzorem (10.3) mamy kk =3, (10.111) czyli ostatecznie suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi A D kk =A kk 1 3 A 3=0. kk (10.11) 10.6 Przykłady liczbowe Dany jest tensor drugiego rzędu Przykład numer 1 =[ 6 A ij 3 7] (10.113) Rozłożyć go na tensor symetryczny i skośnie symetryczny. Zgodnie z wzorem (10.105) część symetryczna będzie miała postać 6 6 =[ 1 3 A ij ] 9 0, 7 7 (10.114) która ostatecznie będzie miała postać

22 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE =[ 6 A ij 4,5 9 ] 4,5 6 4,5. 9 4,5 7 (10.115) Zgodnie z wzorem (10.106) część skośnie symetryczna będzie miała postać 6 6 =[ 1 3 A [ij] ] 9 0, 7 7 (10.116) która ostatecznie będzie miała postać =[ 0 A [ij] 7,5 1 ] 7,5 0 4,5. 1 4,5 0 (10.117) Suma (10.115) i (10.117) równa się oczywiście tensorowi A ij czyli =[ 6 A ij 4,5 9 4,5 6 4,5 9 4,5 7 ] [ 0 ]=[ 7, ] 8 7,5 0 4, , (10.118) Dany jest tensor symetryczny Przykład numer =[ 6 B ij 3 7] (10.119) Rozłożyć tensor B ij na aksjator i dewiator. Zgodnie ze wzorem (10.108) suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi

23 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 3 B pp =6 4 7=9. (10.10) Tensor kulisty (aksjator) będzie wynosił A O ij = 1 [ ] 3 9 = ij (10.11) Dewiator będzie wynosił B D ij =[ ]=[ 4]. 8 9 (10.1)