RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na nim warunek f(u) u. Definicja Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie, które można zapisać w postaci y' Równanie to za pomocą podstawienia u( x) y( x) x f y x (w skrócie u y ) x sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych. 2

3 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Istotnie, różniczkując równość dostajemy y ux Wstawiając do równania mamy ( tzn. y( x) u( x) x) dy dx u du u x f (u) dx Rozdzielając zmienne otrzymujemy równanie du dx f ( u) u x Po jego rozwiązaniu wracamy do wyjściowej funkcji y, podstawiając u = y/x. Uwaga Jeżeli warunek f(u) u nie jest spełniony, należy dodatkowo rozważyć równanie f(u) = u. du dx x 3

4 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Rozwiązać równanie Podstawiamy Stąd Wstawiając do równania dostajemy 4

5 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład (c. d.) Dla f(u) u, czyli gdy rozdzielamy zmienne i całkujemy Czyli Dla f(u)=u mamy Stąd dostajemy dodatkowe rozwiązanie y 0. 5

6 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Często, w celu identyfikacji równania jednorodnego niezbędne jest wykonanie pewnych przekształceń. Przykład Rozwiązać równanie Mnożąc licznik i mianownik prawej strony równania przez 1/x 2 otrzymujemy Jest to równanie jednorodne. Podstawiając u = y/x dostajemy 6

7 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład (c. d.) Dla u 0 rozdzielając zmienne i całkując obustronnie mamy Podstawiając u = y/x dostajemy rozwiązanie ogólne równania w postaci uwikłanej Dodatkowo z warunku f(u) = u (czyli u 2 = 0) dostajemy rozwiązanie y 0. 7

8 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego dla x > 0 i y > 0. Przekształcamy równanie Po podstawieniu u = y/x dostajemy 8

9 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład (c. d.) Przy uczynionych założeniach (y > 0) jest spełniony warunek f(u) u. Rozdzielając zmienne mamy Uwzględniając założenia (x > 0 i y > 0) oraz podstawienie u = y/x dostajemy Jest to szukana całka ogólna równania. 9

10 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania przez x stwierdzamy, że jest to równanie jednorodne spełniające warunek f(u) u. Stosując podstawienie u =y/x dostajemy czyli Rozwiązanie ogólne równania ma zatem postać Z warunku początkowego, 0 = 1(ln1 + C), czyli C = -ln1 = 0 i zagadnienie Cauchy'ego ma rozwiązanie 10

11 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Do równania o zmiennych rozdzielonych można też sprowadzić równanie typu gdzie f jest funkcją ciągłą, a, b, c stałymi a 0, b 0, stosując podstawienie (gdy a = 0, lub b = 0 równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych). Mamy Stąd Rozdzielając zmienne (przy założeniu a + bf(u) 0) dostajemy równanie 11

12 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Po rozwiązaniu równania, z równości wyznaczamy funkcję y. Przypadek a + bf(u) = 0 sprawdzamy oddzielnie. 12

13 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy y(0) = 1. Podstawiamy u = x + y + 1, stąd Rozwiązujemy równanie metoda rozdzielenia zmiennych gdy u 1 0 Stąd gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera. 13

14 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład (c. d.) Podstawiając u = x + y + 1 mamy C 0 Jest to szukana całka ogólna równania. Obejmuje ona również rozwiązanie równania dla u + 1 = 0, tzn. y = -x - 2, które dostajemy kładąc C = 0. Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 1 dostajemy Zatem szukana całka szczególna jest równa 14

15 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego y' = 2x + y. Stosując podstawienie u = 2x + y dostajemy Dla 2+u 0 rozdzielamy zmienne Otrzymana całka ogólna obejmuje również rozwiązanie dla przypadku u =

16 Równania różniczkowe liniowe Definicja Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b). Przedział (a, b) może być skończony lub nieskończony. Definicja Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy jednorodnym (w skrócie oznaczamy je symbolem RJ), jeżeli f(x) 0 na rozważanym przedziale tzn. Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy niejednorodnym (w skrócie RN), jeżeli funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale tzn. 16

17 Równania różniczkowe liniowe Przykład RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE RZĘDU PIERWSZEGO Rozważymy szczegółowo przypadek równania jednorodnego Spełnia je oczywiście funkcja y(x) 0. Jeżeli y(x) 0, to mamy równanie o zmiennych rozdzielonych. 17

18 Równania różniczkowe liniowe Rozwiązując je wcześniej prezentowaną metodą dostajemy gdzie P(x) oznacza funkcję pierwotną funkcji p(x) na przedziale (a, b), C 1 jest stałą dodatnią, Stąd rozwiązanie ma postać gdzie C jest dowolną stałą różną od zera. Uwaga Dla C = 0 powyższy wzór obejmuje również rozwiązanie y(x) 0. 18

19 Równania różniczkowe liniowe Twierdzenie Jeżeli p jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b) to: a. całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci gdzie P jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b), b. dla każdego x 0 (a, b) i y 0 (-, ) zagadnienie Cauchy'ego, ma dokładnie jedno rozwiązanie. 19

20 Równania różniczkowe liniowe Przykład Wyznaczyć całkę ogólną równania W równaniu tym p(x) = x, zatem każda funkcja pierwotna jest postaci P(x) = x 2 /2 + C. Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) = x 2 /2, wówczas całka ogólna ma postać (Oczywiście ten sam wynik otrzymamy realizując pełną procedurę rozdzielenia zmiennych). 20

21 Równania różniczkowe liniowe Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego W równaniu tym p(x) = - cosx, zatem jej każda funkcja pierwotna jest postaci P(x) = - sinx + C. Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) = -sinx, wówczas całka ogólna ma postać Uwzględniając warunek początkowy dostajemy Odpowiedź: 21

22 Równania różniczkowe liniowe RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU PIERWSZEGO Będziemy rozważać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego postaci y' p( x) y f ( x) gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), i funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale. Nazywamy je wówczas równaniem niejednorodnym (RN). Rozwiązywanie równania niejednorodnego jest realizowane w dwóch etapach. W pierwszym rozwiązujemy odpowiadające mu równanie jednorodne (tzn. równanie, które otrzymujemy kładąc f(x) 0). Stosujemy w tym celu metodę rozdzielenia zmiennych, bądź korzystamy z wzoru określającego całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. W etapie drugim stosujemy metodę uzmiennienia stałej, lub metodę przewidywań. 22

23 Równania różniczkowe liniowe Metoda uzmiennienia stałej W metodzie tej opieramy się na całce ogólnej równania jednorodnego (CORJ), która ma zawsze postać gdzie P(x) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji p(x). Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) wyraża się podobnym wzorem, z tą różnicą, że zamiast stałej C występuje w nim pewna funkcja zmiennej x. Aby ją znaleźć, zastępujemy stałą C nieznaną funkcją, którą oznaczamy C(x) (nazywamy to uzmiennieniem stałej), a następnie staramy się dobrać ją tak, by wzór definiował rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. 23

24 Równania różniczkowe liniowe Procedura wyznaczania funkcji C(x) Różniczkujemy ostatnią równość i wstawiamy do RN otrzymując Redukując wyrazy podobne dostajemy czyli Stąd gdzie jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji fe P. Jest to szukana funkcja C(x). 24

25 Równania różniczkowe liniowe Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) ma postać Twierdzenie Jeżeli p i f są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), to: CORN jest postaci gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b), zaś jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji fe P, dla każdego x 0 (a, b) i y 0 (-, ) zagadnienie Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie. 25

26 Równania różniczkowe liniowe Przykład Rozwiązać równanie Jest to równanie liniowe niejednorodne. Wyznaczamy CORJ Ma ona postać CORN wyznaczamy metodą uzmiennienia stałej. 26

27 Przykład Szukamy CORN w postaci Różniczkując ostatnią równość dostajemy Wstawiając do równania niejednorodnego mamy Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy Stąd Równania różniczkowe liniowe Czyli Zatem CORN jest równa 27

28 Równania różniczkowe liniowe Przykład Metodą uzmiennienia stałej wyznaczyć CORN Wyznaczamy CORJ Mamy Stąd CORJ Wobec dowolności C możemy CORJ zapisać równoważnie 28

29 Równania różniczkowe liniowe Przykład (c. d.) Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej, tzn. szukamy rozwiązania w postaci Różniczkując ostatnią równość dostajemy Wstawiając do równania niejednorodnego mamy Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy Zatem CORN jest równa 29

30 Równania różniczkowe liniowe Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego Wyznaczamy CORJ Mamy Stąd CORJ Wobec dowolności C możemy CORJ zapisać równoważnie 30

31 Równania różniczkowe liniowe Przykład (c. d.) Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej. Szukamy rozwiązania w postaci Różniczkując ostatnią równość dostajemy Wstawiając do równania niejednorodnego mamy Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy Całkując dostajemy 31

32 Przykład (c. d.) Zatem CORN jest równa Równania różniczkowe liniowe Wyznaczamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek y( ) = 0. Stąd C 2 = -2 i całka szczególna będąca rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest równa 32

33 Przykład Równania różniczkowe liniowe Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego Wyznaczamy CORJ Mamy Stąd CORJ 33

34 Równania różniczkowe liniowe Przykład (c. d.) Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej. Różniczkując ostatnią równość dostajemy Wstawiając do równania niejednorodnego mamy Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy Całkując dostajemy 34

35 Przykład (c. d.) Zatem CORN jest równa Równania różniczkowe liniowe Wyznaczamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(0) = 2. Stąd C 1 = 2 i całka szczególna będąca rozwiązaniem zagadnienia Cauchy`ego jest równa 35

36 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ 36