1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Transkrypt

1 1. PODSTAWY TEORETYCZNE PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych opracowaniach wykładów. My zajmiemy się tymi, które przydatne będą w zrozumieniu późniejszych przekształceń macierzowych. Ponadto przypomnimy podstawowe zagadnienia z teorii sprężystości Podstawowe działania na macierzach Przyjmijmy, że macierz [D] jest macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (1.1) Wówczas macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna) [ D ] 1 [ D ] T (1.2) Wektor to macierz wierszowa. Weźmy pod uwagę wektor o trzech składowych, który zapisujemy ogólnie jako: {A}=[ A 1 A 2 A 3 ] 1 x3 (1.3) Transponując wektor otrzymamy macierz (kolumnową) o wymiarach 1x3 [ A] T =[A 1 A 2 A 3]3 1 (1.4) Macierz odwrotna do danej to taka, która po przemnożeniu przez daną daje macierz jedynkową Macierz odwrotną obliczamy z zależności: gdzie M ij jest macierzą minorów Przykład: {A} 1 {A}=[ I ] (1.5) {A} 1 = 1 det {A} [ 1 i j M ij ] T (1.6)

2 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 2 Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A, która jest określona następująco: A={ } Obliczamy wyznacznik macierzy A det A= = 1 Wyznaczamy macierz minorów =[ 19 M ij 7 9 ] Następnie obliczamy wartość wyrażenia [ 1 ij M ij ] T M ij =[ ] Dla przykładu obliczymy dwie wartości z macierzy odwrotnej do danej macierzy A A 11 = = 19 A 23 = 1 1 5= 5 W analogiczny sposób obliczamy pozostałe wyrazy macierzy odwrotnej. W rezultacie otrzymamy końcową postać macierzy odwrotnej w postaci: {A} 1 ={ } Mnożenie macierzy można przedstawić przy pomocy poniższych zapisów:

3 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 3 a) skalarnego (absolutnego) A B=c (1.7) b) wskaźnikowego c=a i B i (1.8) c) macierzowego A [ A]=[A 1 A 2 A 3]=[ A 1 A 2 A 3 ] T B [ B]=[B 1 B 2 B 3] (1.9) 1 A B=[ A] T [ B]=[ A 1 A 2 A 3 ] 1 3 [B B 2 =[C ] 1 1 B 3]3 1 Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. Możemy to zapisać: A [m n] B [n p] =C [m p] (1.1) Łatwo zatem zauważyć, że np. w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy macierz także o wymiarach 3x3 Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy zapisujemy Transpozycja iloczynu dwóch macierzy [ A] 3 3 [ B] 3 3 =[C ] 3 3 (1.11) A ij B jk =C ik (1.12) A B T =B T A T (1.12) Tensor działa na wektor jako operator 1.3. Działanie tensora na wektor

4 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 4 T a=b T ij a j =b i [T ] 3 3 [a] 3 1 =[b] 3 1 (1.13) co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym oraz wektorowym. Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób: a T =c [a] 3 1 [T ] 3 3 niewykonalne a i T ij =c j T T [a] 1 3 [T ] 3 3 =[b] 1 3 A i ' = i ' j A j [ A ' ]=[ D][ A] A j = ji ' A i ' [ A]=[ D] T [ A ' ] (1.14) 1.4. Transformacja tensora Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie obróconym. Postać macierzową wektora b w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako [b]=[t ][a] (1.15) natomiast w układzie obróconym [b ' ]=[T ' ][a ' ] (1.16) Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób - odwołujemy się do (1.1): [b ' ]=[ D][b] [b]=[ D] T [b ' ] [a]=[ D] T [a ' ] (1.17) podstawiamy do wzoru (1.16) i otrzymujemy [ D] T [b ' ]=[T ][ D] T [a ' ] [b ' ]=[T ][ D][ D] T [a ' ] [b ' ]=[T ][a ' ] [T ' ]=[ D][T ][ D] T (1.18) 1.5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych w nawiązaniu do równań mechaniki kontinuum Podstawowe równania liniowej sprężystości

5 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 5 W analizie będziemy przyjmować prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich [1,2,3] lub [ x, y, z ] Stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała, które poddano działaniu obciążenia opisujemy w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, które po uporządkowaniu w macierz zapiszemy: =[ ] (1.19) Naprężenia, dla których i= j, czyli 11,, 33 przedstawiają naprężenia normalne. Natomiast naprężenia, dla których i j, czyli, 21,, 31,, 32 przedstawiają naprężenia styczne. Tensor stanu naprężenia jest symetryczny, a więc zachodzą następujące zależności = 21 = 31 = 32 (1.2) Wykorzystując fakt, że tensor stanu naprężenia jest symetryczny, możemy ten tensor zapisać w postaci wektora =[ xx yy zz xy xz yz ] T (1.21) Tutaj, jak poprzednio powtarzające się indeksy oznaczają składowe normalne, natomiast różne odnoszą się do składowych stycznych. Stan odkształcenia nawiązujący do opisu tensorowego możemy przedstawić w uporządkowanej macierzy o składowych =[ ] (1.22) Posługiwać się będziemy również wektorem odkształcenia, którego składowe będą równe =[ ] T (1.23) Warto zauważyć, że w powyższym zapisie posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń. Opisują to następujące związki =2 =2 =2 (1.24)

6 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 6 Pracę w zapisach wskaźnikowym i macierzowym opisujemy = T (1.25) Składowe pola przemieszczeń w punkcie opisane są w zapisie odpowiednio wskaźnikowym i macierzowym: u i =[u 1,u 2,u 3 ] T (1.26) Podstawowe równania w zapisie wskaźnikowym Przypomnijmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowe zadanie dla ciała odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń lub przemieszczeń u spełniających następujące równania: trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera), j b i = i, j=1,2,3 (1.27) gdzie, j = x j sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego) = 1 2 u i, j u j,i (1.28) gdzie u i, j = u i x j sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a) =E ijkl kl (1.29) Z powyższego zapisu nie wynika bezpośrednio, że liczba równań Hooke'a jest równa sześć. Dopiero gdy weźmiemy pod uwagę założenia o izotropii układ (3.11) zredukuje się do deklarowanej liczby równań. Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą spełniać dodatkowe zależności: równania nierozdzielności geometrycznej w każdym punkcie obszaru: naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe:, kl kl,ij ik, jl jl,ik = (1.3)

7 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 7 n j = p i (1.31) warunek należy spełnić na brzegu S u i =u i (1.32) warunek należy spełnić na brzegu S u Należy dodać, że brzegi S i S u są rozłączne i w sumie tworzą cały brzeg, tzn. spełnione są poniższe warunki: S S u = (1.33) S S u =S (1.34) Ze względu na złożoność problemu, określenie funkcji analitycznych spełniających warunki (1.27.) - (1.32.) nie jest sprawą łatwą. Ponadto skomplikowane warunki brzegowe mogą dodatkowo utrudnić rozwiązywanie takiego zadania, albo uczynić zadanie algebraicznie nierozwiązywalnym Podstawowe równania w zapisie macierzowym Rozpocznijmy od równań geometrycznych, gdyż posłużą one jako równania wyjściowe do dalszej analizy. Składowe wektora odkształceń możemy zapisać: odkształcenia liniowe 11 = u 1 x 1 = u 2 x 2 (1.35) 33 = u 3 x 3 Odkształcenia poprzeczne

8 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 8 = 21 = 1 2 u 1 x 2 u 2 x 1 = 21 = = 31 = 1 2 u 1 x 3 u 3 x 1 = 31 = = 32 = 1 2 u 2 x 3 u 3 x 2 = 32 = u 1 u 1 2 x 2 x u 1 u 3 1 x 3 x u 2 u 3 2 x 3 x (1.36) Powyższe równania możemy macierzowo zapisać ogólnie =[ [11 33 ][6 1] x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2][6 3] [u 1 u 2 u 3][3 1] (1.38) =Lu (1.37) szczegółowo ogólnie Równania równowagi Naviera możemy teraz zapisać w postaci: gdzie b jest wektorem sił masowych {L} T b= (1.39) szczegółowo

9 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 9 [ x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 1 x 3 x 2][3 6] {11 33 }[6 1] 1 {b b 2 = (1.4) b 3}[3 1] Równania fizyczne (konstytutywne) określone są następująco: 11 = E = E 33 = E = G = G = G (1.41) gdzie E to moduł odkształcalności podłużnej (moduł Younga), G jest modułem odkształcalności postaciowej (moduł Kirchoffa) wyliczany z zależności: G= E, zaś jest współczynnikiem 2 1 Poissona. W postaci równania macierzowego powyższe zależności konstytutywne można zapisać: ogólnie szczegółowo {11 33 }= 1 E [ 1 =C (1.42) (1.43) 1 1 1] {11 } Zależność (3.42) jest jednoznaczna, a macierz konstytutywna C jest nieosobliwa (tzn. det {C } ). Wynika z tego, że istnieje odwzorowanie odwrotne w postaci:

10 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 ogólnej =D (1.44) szczegółowej {11 33 }= [ E ] {11 } (1.45) Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej Zakładamy trójwymiarowy element skończony zdefiniowany w kartezjańskim układzie współrzędnych [x,y,z]. Wektor przemieszczeń opiszemy u=[u v w] T (1.46) gdzie przemieszczenia u, v, w oznaczają przemieszczenia odpowiednio po kierunkach osi x, y i z. Siły masowe zapiszemy następująco: b=[b x b y b z ] T (1.47) Poszczególne składowe oznaczają siły przypadające na jednostkę objętości, powierzchni lub długości. Przez d oznaczamy wektor przemieszczeń węzłowych elementu. Wymiar tego wektora jest analogiczny do liczby węzłów elementu przemnożonej przez liczbę przyjętych stopni swobody węzła. Przyjmując oznaczenie liczby stopni swobody przez n otrzymujemy d =[d i ]; i=1,2,..., n (1.48) Jeśli przyjmiemy, że przemieszczenia węzła mają opisywać składowe przesunięć po kierunkach osi x, y, z otrzymamy d i =[d xi d yi d zi ] (1.49) Warto zaznaczyć, że inne typy przemieszczeń, takie jak obroty czy krzywizny mogą być także traktowane jako składowe wektora przemieszczeń. W podobny sposób przyjmujemy siły węzłowe p jako składowe sił we wszystkich węzłach elementu

11 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 11 p=[ p i ]; i=1,2,...,n (1.5) Jeśli przemieszczenia dotyczą przesunięć po kierunkach osi x, y, z p i =[ p xi p yi p zi ] (1.51) Teraz zakładamy pole przemieszczeń w elemencie jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci u [3 1] =N [3 n] d [n 3] (1.52) Macierz N nazywamy macierzą funkcji próbnych i określa wpływ danej składowej wektora przemieszczeń d na przemieszczenie dowolnego punktu elementu o współrzędnych x, y, z. Zależność u możemy zapisać Po podstawieniu zależności (1.52) Przyjmując podstawienie =L u (1.53) =L N d (1.54) B=L N (1.55) gdzie B opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu spowodowane jednostkowym przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów. Stąd otrzymujemy Z prawa fizycznego otrzymujemy zależność =B d (1.56) =D =D B d (1.57) Wprowadzając powyższe zależności otrzymamy zapis

12 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 12 u= T d = 1 D T d = 1 T D T d = 2 2 = 1 2 Układ zapisujemy jako: Wprowadzając podstawienie: Otrzymujemy równanie postaci: B d e T DB d = 1 2 d T e (1.58) B T DBd d e B T DBd d e =P (1.59) B T DBd =k e (1.6) k e d e =P (1.61)