Defi f nicja n aprę r żeń

Transkrypt

1 Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1

2 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie części przekrojem α-α. P α q P Jeżeli bryła jest w spoczynku, to zewnętrzne oddziaływania muszą być w stanie równowagi statycznej. α P 2

3 Definicja naprężeń Oddziaływanie odciętego fragmentu modeluje obciążenie przyłożone w sposób ciągły do płaszczny α-α,, nazywane naprężeniami. P q q P P 3

4 Definicja naprężeń Na powierzchniach fragmentu bryły także zlokalizowane są naprężenia i przedstawiają one oddziaływanie bryły na ten fragment. naprężenia 4

5 Oznaczenia naprężeń Jeżeli wytniemy prostopadłościan o wymiarach dążących do zera, to możemy przyjąć, że naprężenia na powierzchniach tego fragmentu są stałe i można je przedstawić w formie trzech obciążeń o kierunkach wzajemnie do siebie prostopadłych: kierunek prostopadły do powierzchni i dwa kierunki wzajemnie do siebie prostopadłych, ale równoległe do powierzchni. 5

6 Oznaczenia naprężeń Naprężenia są oznaczane w następujący sposób: naprężenia prostopadłe do ścian literą,, naprężenia równoległe lub.. Pierwszy indeks oznacza położenie czyli oznaczenie osi prostopadłej do danej powierzchni, a drugi indeks oznacza kierunek wektora naprężenia czyli oznaczenie osi równoległej do wektora naprężenia: lub częściej 6

7 Tensor naprężeń Naprężenia, działające na element o nieskończenie małych wymiarach, zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu naprężeń a wygląda w następujący sposób: yx zx zy xz a naprężenia ii i ij są nazywane składowymi tensora naprężeń. Powyższa macierz jest macierzą symetryczną czyli Τ oraz ij ji 7

8 Definicje odkształceń Pod wpływem zewnętrznych obciążeń następuje przesunięcie elementu oraz zmiana jego postaci. Prostokąt ABCD zmienia się w równoległobok A B C D.. Punkt A przesuwa się o wektor: AA' [ u ] x, u y Natomiast zmiana położenia pozostałych punktów jest sumą przesunięcia punktu A, wydłużenia się elementu oraz obrotu boków elementu. 8

9 Definicje odkształceń Zmiana położenia punktu B może być opisana wektorem u u x y BB' ux + dx, u y + dx x x gdzie: u x x u x dx x u y tg x u y dx x średnie odkształcenie elementu wydłużenie elementu na długości dx ( α) α kąt obrotu boku prostokąta przesunięcie punktu B spowodowane obrotem boku o długości dx 9

10 Definicje odkształceń Zmiana położenia punktu B może być opisana wektorem u u x y CC' u y + dy, u y + dy y y gdzie: u y y u y dy y u x tg y u x dy y średnie odkształcenie elementu wydłużenie elementu na długości dy ( β) β kąt obrotu boku prostokąta przesunięcie punktu C spowodowane obrotem boku o długości dy 1

11 Definicje odkształceń Odkształcenia podłużne (względne) jest to stosunek wydłużenia do pierwotnej długości czyli: AB dx A' B' AB AB A'B' AB' AA' ux dx + ux + dx ux dx + x ux dx + dx dx x ux dx x u x x dx 11

12 Definicje odkształceń Odkształcenia podłużne (względne) jest to stosunek wydłużenia do pierwotnej długości czyli: A' D' AD AD AD dy A'D' AD' AD' u y dy + u y + dy u y dy + y u y dy + dy dy y u y dy y u y y dy 12

13 Definicje odkształceń Odkształcenie postaciowe jest to połowa kąta o który zmieni się kąt prosty BAD : u y x y u x tg tg ( α) α ( β) β 1 2 ( α + β) kąt obrotu boku prostokąta AB kąt obrotu boku prostokąta AD 1 2 u y x + u y x 13

14 Tensor odkształceń Odkształcenia elementu, wywołane działaniem naprężeń, zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu odkształceń a wygląda w następujący sposób: a naprężenia ii i ij są nazywane xz składowymi tensora odkształceń. Powyższa macierz jest macierzą symetryczną czyli yx zx zy Τ oraz ij ji Definicje odkształceń w przestrzeni: odkształcenia podłużne u x x u y y u z z odkształcenia postaciowe 1 u y u x + 2 x y 1 u y u z + 2 z y 1 uz ux xz + 2 x z yx zy xz zx 14

15 Równanie konstytutywne Równania konstytutywne są to równania opisujące zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami. xz? yx zx zy yx zx zy xz Równania te zależą od rodzaju materiału oraz stadium pracy konstrukcji (sprężysta, plastyczna) i zawierają odpowiednie stałe materiałowe. 15

16 Równanie konstytutywne dla sprężystych ciał izotropowych Materiały izotropowe to są takie materiały, które mają takie same własności w każdym kierunku, np. stal, beton. Materiałem izotropowym nie jest drewno. Na podstawie badań stwierdzono, że w przypadku niektórych materiałów można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami. Wykres próby rozciągania, na którym zaznaczona jest granica sprężystości R H. W strefie pracy sprężystej w jednoosiowej próbie rozciągania zależność pomiędzy odkształceniami i naprężeniami można zapisać jako: 16

17 Odkształcenia w jednoosiowym stanie rozciągania Jeżeli następuje wydłużenie wzdłuż osi x,, to w kierunkach prostopadłych następuje zwężenie Odkształcenie Odkształcenie poprzeczne podłużne d d ' 1 d Współczynnik Poissona l l stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego ' Odkształcenia podłużne przy działaniu naprężeń w jednym kierunku: u x x 17

18 Zestawienie odkształceń podłużnych Zestawienie odkształceń podłużnych w przestrzennym stanie naprężeń naprężenia działają wzdłuż osi x naprężenia działają wzdłuż osi y naprężenia działają wzdłuż osi z 18

19 Zestawienie odkształceń podłużnych Odkształcenia od działania naprężeń normalnych w trzech kierunkach będzie sumą odkształceń od poszczególnych naprężeń czyli [ ( + )] [ + ] lub w formie ( ) [ ( + )] 19

20 Zestawienie odkształceń postaciowych Tak jak w przypadku odkształceń podłużnych na podstawie badań stwierdzono zakres pracy materiału, który nazywany jest sprężystym i w odniesieniu do którego można zapisać: xz G G xz G W przypadku odkształceń postaciowych nie ma sprzężenia pomiędzy odkształceniami w stanie przestrzennym. Odkształcenia postaciowe ostateczne zależą tylko od naprężeń stycznych, działających w płaszczyźnie 2 zmiany kąta odkształcenia postaciowego.

21 Równania konstytutywne w formie analitycznej Zależności Odkształcenia-naprężenianaprężenia xz G 2G xz 2G [ ( + )] [ ( + )] [ ( + )] Zależności naprężenia-odkształcenia G 2G xz 2G xz ( + + ) ( ) ( ) 21

22 Stałe materiałowe W równaniach konstytutywnych występują stałe materiałowe: moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej G moduł Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej współczynnik Poissona 2 1+ Wszystkie powyższe parametry łączy zależność: ( ) G W przypadku zapisu równań konstytutywnych za pomocą rachunku tensorowego dochodzą dwie stałe λ i µ,, nazywane stałymi Lamego. Pomiędzy stałymi Lamego a wyżej wymienionymi stałymi istnieją zależności: µ G 2G λ

23 Równania konstytutywne w formie analitycznej Składowe tensorów naprężeń i odkształceń można zapisać w formie wektorów: xz yx zx zy xz yx zy xz zx yx zx yx zy zy xz xz zx xz 23

24 Równania konstytutywne Równania konstytutywne w formie analitycznej w formie analitycznej Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w formie: formie: D gdzie: gdzie: stałe stałe Lamego Lamego xz xz µ µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ D µ G λ G

25 Równania konstytutywne Równania konstytutywne w formie analitycznej w formie analitycznej Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w formie: formie: D gdzie: gdzie: stałe stałe Lamego Lamego xz xz µ µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ D µ G λ G

26 Płaski stan naprężenia Płaski element, którego grubość jest znacznie mniejsza od dwóch pozostałych, obciążony tylko w swojej płaszczyźnie nazywany jest tarczą. W takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obciążeń, a więc nie ma naprężeń czyli naprężenia, które mają jeden z indeksów z, są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem naprężeń (PSN). Tarcza obciążona tylko w swojej płaszczyźnie.

27 Płaski stan naprężenia (PSN) W płaskim stanem naprężeń (PSN), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie, to następujące naprężenia są równe zero: zy xz zx a tensor naprężeń przyjmuje formę yx Naprężenia różne od zera w przestrzeni Naprężenia różne od zera na płaszczyźnie tarczy

28 Płaski stan naprężenia (PSN) Ponieważ następujące naprężenia są równe zero: zy xz zx to równania konstytutywne przyjmują formę: 1 1 [ ( + ) ] [ ] 1 1 [ ( + ) ] [ ] 1 ( + ) [ ( + )] 2G 2G czyli tensor odkształceń przyjmuje formę xz 2G 2G yx

29 Płaski stan odkształcenia W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierunkach podobne, można wyciąć płaski element. Na ten płaski element działają pozostałe części bryły, które nie pozwalają na odkształcenia w kierunku prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu odkształcenia są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem odkształceń (PSO). Bryła Wycięta tarcza

30 Płaski stan odkształcenia (PSO) W płaskim stanem odkształcenia (PSO), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie, to następujące odkształcenia są równe zero: zy xz zx a tensor odkształceń przyjmuje formę Natomiast naprężenia wynoszą: ( + + ) ( + + ) ( ) 2G xz 2G 2G yx yx Tensor naprężeń:

31 Porównanie PSO i PSN Płaski stan naprężenia PSN Płaski stan naprężenia PSO Tensor stanu naprężeń: yx yx Tensor stanu odkształceń: yx yx

32 Porównanie PSO i PSN Przykład obliczeniowy: Tarcza obciążona siłami skupionymi o wartości 1kN, zamocowana na dole. Zadanie rozwiązane zostało metodą elementów skończonych w PSN i PSO. Uwaga: w PSO obliczenia wykonuje się w odniesieniu do grubości o wartości 1 i dlatego nie przyjmuje się grubości.

33 Porównanie PSO i PSN

34 Porównanie PSO i PSN

35 Porównanie PSO i PSN Jak widać naprężenia mają podobny rozkład, ale różnią się wartościami. Natomiast najważniejszą różnicą jeżeli chodzi o naprężenia jest, to że: dla PSN a dla PSO.

36 Koniec 36