θ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC

Transkrypt

1 Przykłady drgań: Wahadło ateatyczne (ałe wychyenia): θ ( sinθ) M g && θ gsinθ && θ gθ (1-cosθ) && g θ + θ g g naczej: υ T V W & 1 g T θ υ 1 ( cosθ ) + V & θ dw dt &&& θθ + g & θ sinθ θ ub && g θ + sinθ 1

2 Jeszcze inaczej: 1 T θ& V g ( 1 cosθ ) L T V L & θ g ( 1 cosθ ) d dl dl dt dθ & dθ ównanie Euera-Lagrange a: d dt ( & θ ) + g sinθ & θ g + sin θ

3 Ścisłe rozwiązanie wahadła 1 ( 1 Ψ) E Ψ& + g cos Ψ& stąd dψ dt E cosψ + C C Niech A, gdy Ψ Ψ & C cos A cosψ + C dψ g g cosψ + C dt T 4 A dψ cosψ + C Wprowadzay zienną 4 A dψ cosψ cosa sinϕ sin sin ( Ψ ) ( A ) T π π 4 dϕ A 1 sin sin dϕ ( K sin ϕ ) ϕ π π 1 + całka eiptyczna n1 ( n 1) n ( ) K n T π g 1+ sin θ + sin θ

4 1 A 9 4 A 1+ sin + sin π 1 A π T 1 sin T π g A W praktyce: 1 T π g 1 + θ 16 θ < 1% da θ < 16 o 4

5 Wahania, a rotacja. Energia krytyczna: Da WW KYT 1 g & θ & θ θ cos ; Da θ Da W KYT π ( ) θ ( t) θ π t V ( θ ± ) g + g ( cosθ ) 1 exp arcsin 1+ exp ( t) ( t) 5

6 Obraz ruchu wahadła ateatycznego w przestrzeni fazowej. 6

7 Wahadło fizyczne: d θ dt M d θ gbsinθ dt d θ gb sinθ θ θ dt gb T π gb gb T π ; raię gb f ( ), zaeży od kształtu bezwadności 7

8 gb SM + b - tw. Steinera b b SM b + b g g b Mała kuka na długiej nici ( ): b, SM << b g Długość zredukowana wahadła fizycznego g b f r g r b b 8

9 Drgania eektryczne. Ładunek Ψ Potencjał kondensatora C Ψ Natężenie prądu Ψ& dψ& 1 L + Ψ dt C 1 Ψ& + Ψ LC 1 LC 1 9

10 Anaogie poiędzy wiekościai charakteryzującyi oscyator echaniczny i drgający obwód eektryczny Oscyator echaniczny Obwód drgający Przeieszczenie asy Ψ Ładunek na kondensatorze Prędkość asy Ψ& Natężenie prądu Ψ& Przyspieszenie asy Masa Współczynnik sprężystości Ψ& & k Szybkość zian prądu ndukcyjność cewki Odwrotność pojeności kondensatora Ψ Ψ& & L 1 C Opór b Oporność Siła działająca na sprężynę Siła oporu Siła przyspieszająca asę Energia potencjana k Ψ b Ψ& Ψ& & k Ψ Energia kinetyczna Ψ& Napięcie na kondensatorze Napięcie na oporności Napięcie na cewce indukcyjnej Energia eektryczna Energia agnetyczna 1 C Ψ Ψ& L Ψ& & C 1 Ψ L Ψ& 1

11 Drgania gazu w kobie: ( ) Ψ& & ap a ρ p - różnica ciśnień 1 V κ υ p aψ κ p, Ψ ałe υ p współczynnik ściśiwości a ( υρκ ) 1 Przybiżenie adiabatyczne: γ pv const; γ C ; C p ν 1 κ γ p M Mp pv T ρ M ρ κ V T γ T a γ T υ M 1 υ 1, 5s a tzn., 5 1 ν 8Hz 11

12 Drgania cząsteczki: Znając siłę zwrotną ożna okreśić częstość, znając częstość ożna okreśić siłę zwrotną. Cząstka o asie w położeniu r: F() r Położenie równowagi r Ψ r dv dr W pobiżu Ψ : V V dv dψ F d V + dr 1 d V + 6 dr 1 dv dr d V dr dr dψ Ψ dv dr Da ałych wychyeń: d V Ψ + dr 1 Ψ Ψ

13 k d V dr Cząsteczka dwuatoowa A B: + B A 1 d V dr e B V + 4πε r r () r 9 (*) dv dr r B 8 e 6π ε óżniczkując dwukrotnie (*) i kładąc r: k e π ε 7 1,84 1 N k zaeży tyko od długości wiązania Da HC:,1 n k 84 N -1 Sprężyna o tej saej sztywności rozciągałaby się o 1 po zawieszeniu na niej asy 1 kg ; ( ) C 5 H 1 k 7,1 1 1, H ν Hz podczerwień s 1

14 Drgania pazy: Paza gaz zjonizowanych cząstek. Doświadczenie: - jonizacja wiązką UV - przestrzenne rozdzieenie ładunków dodatnich i ujenych ipuse poa eektrycznego. 14

15 Powstają warstwy o powierzchniowej gęstości ładunku Ne Ψ i Ne Ψ poe eektryczne ( Ne ε )Ψ E. Na eektron działa siła zwrotna ( Ne ε )Ψ Ψ& + Ne F. e ównanie ruchu: ( ) a) Jonosfera (>6 k). e eε ε 1 N Ψ 1 ( ) ( e eε.18 1 s ) Najwyższa warstwa: 1 1 eektronów/ s ν 1 MHz Najniższa warstwa: 1 9 eektronów/ s ν KHz Drgania pazy w etau: Traktujey eektrony kasycznie. Da iedzi iczba eektronów w jednostce objętości: A N 1 N Aρ A N - iczba Avogadro, 6, 5 89 kg ρ - gęstość A - ciężar atoowy, N s ( ν Hz) częstość odpowiadająca światłu z obszaru UV. 15