Komitet Główny Olimpiady Fizycznej, Andrzej Szymacha: Olimpiady Fizyczne XXI i XXII. WSiP, Warszawa Badanie drgań wahadła w wodzie.

Transkrypt

1 F_I_D Źródło: XXI LIMPIADA FIZYCZNA (97/97) Stopień I zadanie doświadczane D Nazwa zadania: Działy: Słowa kuczowe: Komitet Główny impiady Fizycznej Andrzej Szymacha: impiady Fizyczne XXI i XXII WSiP Warszawa 975 Badanie drgań wahadła w wodzie Mechanika okres drgań siła wyporu ciężar właściwy gęstość tłumienie Zadanie doświadczane D zawody I stopnia XXI F Zmierz okres drgań stosunkowo masywnego ciała żeaznego o kształcie w miarę opływowym (np główki młotka) zawieszonego na długiej nici i zanurzonego w wodzie (np w wannie ub dużej miednicy odpowiednio ustawionej) Zastanów się czy wykonany pomiar okresu wahań może służyć do wyznaczenia stosunku ciężaru właściwego żeaza do ciężaru właściwego wody Rozwiązanie Część teoretyczna Narzuca się myś że obecność siły wyporu powinna zmienić wartość okresu drgań wahadła zanurzonego w cieczy w porównaniu z okresem drgań tego samego wahadła w powietrzu φ mg H mg Rys Przyjmijmy więc na razie że jest to jedyna siła którą trzeba uwzgędnić (obok oczywiście siły ciężkości) Równanie ruchu przyjmie postać H sinϕ ma mg () Równanie ruchu wahadła w powietrzu ( praktycznie w próżni) jest ma mg sinϕ () Różnica między nimi poega jedynie na tym że współczynnik g w równaniu () zastąpiony został H współczynnikiem g prac PDFiA IF US 8 red MMoenda - /5 -

2 F_I_D ak więc: π H g Dzieąc stronami oba powyższe równania i podnosząc do kwadratu dostaniemy: H co po prostym przekształceniu można zapisać w postaci: Część doświadczana π () g H (4) Pomiar wykonany da zwykłego młotka zawieszonego na sznurku o długości ponad m dał w wyniku co po podstawieniu do (4) prowadzi do gęstości wzgędnej żeaza 48 Jest to wynik różniący się znacznie od rzeczywistej wartości gęstości żeaza równej (w zaeżności od obróbki) W tej sytuacji nie warto zajmować się nawet oszacowaniem błędu przypadkowego pomiaru gdyż jest jasne że poważny błąd musi tkwić w samej metodzie Być może zaniedbanie oporu epkiego wody wprowadziło tak duży błąd? Postarajmy się oszacować wpływ tego czynnika Rozważmy w tym ceu ruch ciała na które działają dwie siły siła proporcjonana do wychyenia pod wpływem której ciało wykonywałoby drgania z częstością ω i siła oporu epkiego proporcjonana do prędkości Równanie ruchu tego ciała ma postać: d d ω α (5) gdzie α jest pewną stałą charakteryzującą wiekość oporu Nie będziemy tu stosowai ogónej metody rozwiązania takiego równania która przekracza niewątpiwie możiwości ucznia ae postaramy się wyciągnąć pewne wnioski odwołując się częściowo do doświadczenia Z doświadczenia wiadomo że równanie takie opisuje drgania tłumione o ampitudzie maejącej w czasie Zastanówmy się czy można na postawie bardzo ogónych argumentów wykazać jaki musi być charakter tych zmian Wyobraźmy sobie że wychyiiśmy punkt materiany do położenia i puściiśmy go swobodnie Po wykonaniu pełnego wahnięcia punkt powróci do położenia odegłego od środka drgań o jakieś < Rozpoczyna się nowy cyk ruchu tym razem z wychyeniem początkowym który zakończy się w położeniu Co można powiedzieć o? Wy- obraźmy sobie że przytrzymaiśmy na chwię wahadło w położeniu i zmieniiśmy na świecie prac PDFiA IF US 8 red MMoenda - /5 -

3 F_I_D układ jednostek mianowicie skróciiśmy długość wzorca metra w proporcji Liczba wyrażająca w rzeczywistości mniejszą długość będzie w nowym systemie miar równa iczbie opisującej długość w starym systemie miar W nowym układzie skaa czasu pozostaje ta sama nie zmieni się więc ω Nie zmieni się również współczynnik α mający podobnie jak ω wymiar s - Nie zmieni się więc i równanie (5) W nowej sytuacji mamy rozwiązać identyczne z przypadkiem poprzednim równanie z identycznym (iczbowo choć nie fizycznie) wychyeniem początkowym W wyniku jako końcowe wychyenie po wykonaniu pełnego wahnięcia musimy dostać tę samą co poprzednio iczbę opisującą odegłość w nowym układzie miar degłość ta po powrocie do zwykłego systemu metrycznego wyrazi się iczbą mniejszą od statecznie o czynnik zmiany skai Rozumowanie powyższe odnosi się do każdych koejnych wychyeń dochodzimy więc do wniosku że koejne ampitudy maeć muszą w postępie geometrycznym Ampitudy te są zarazem wychyeniami w koejnych czasach rosnących według postępu geometrycznego znaczając n tą ampitudę symboem a ioraz postępu iterą q można napisać A n A n n ( n ) q q n Zastępując wyrażenie n czasem bieżącym t możemy napisać równanie słuszne jedynie da czasów t będących wieokrotnością okresu t () t q b a Korzystając ze znanego wzoru a b nc c słusznego da dowonego c > i wybierając da wygody c e (równe podstawie ogarytmów naturanych) możemy napisać q t e t n q t e λ gdzie λ jest nową stałą zastępującą i tak nie wyznaczoną na razie stałą q A co można powiedzieć o wychyeniu pomiędzy chwiami czasu n i (n + )? Przyjmiemy dość naturane założenie które za chwię potwierdzimy że w tych chwiach pośrednich ampitudę A (t ) trzeba pomnożyć przez funkcję cos ωt opisującą drgania harmoniczne: ( t) t e λ t (6) eraz naeży wstawić tę postać funkcji do równania (5) i sprawdzić czy można tak dobrać stałe λ i ω by równanie to było istotnie spełnione Pozwoi to nam nie tyko przekonać się o słuszności rozumowania prowadzącego do (6) ae i wyznaczyć nową częstość ω i stałą tłumienia λ biczamy pochodne: prac PDFiA IF US 8 red MMoenda - /5 -

4 F_I_D d λ t λ t λ e t ω e sinω t d λ e t ω λ e sinω t ω + e i wstawiamy do równania (5) Dostajemy: e ω e [ λ t ω λ sinω t ω t] t + α λe t + α ω e t sinω t Po podzieeniu obu stron przez e λt i uporządkowaniu dostajemy ( ω + ω α λ) t + ( ω λ α ω) sinω t λ Równanie to będzie spełnione we wszystkich chwiach czasu wtedy i tyko wtedy gdy oba nawiasy stojące przy funkcjach sin ω t i cos ω t będą z osobna równe zeru Dostajemy: ω α λ ω λ statni wzór świadczy o tym że uwzgędnienie siły oporu prowadzi nie tyko do zmniejszania się z upływem czasu ampitudy ae i do zmiany częstości drgań ω w porównaniu z wartością ω da oscyatora nietłumionego Wróćmy teraz do naszego młotka Jakościowa obserwacja wskazuje że po jednym okresie ampituda zmniejsza się nie więcej niż o % Przyjmijmy da większej pewności nawet % znacza to że e λt > 9 λ t < n n9 (8) Równanie (7) możemy przepisać w postaci: co po pomnożeniu przez daje Korzystając z oszacowania (8) dostajemy λ ω ω λ ( λ ) 4π π 4π 4 < 5 4π Przekonujemy się że wpływ tłumienia na okres wahań jest w naszym przypadku całkowicie zaniedbywany Nie tłumienie jest więc przyczyną poważnej rozbieżności między wartością gęstości żeaza wyznaczoną przez nas a wartością tabicową Jest jeszcze jeden czynnik całkowicie przez nas dotychczas zaniedbany Zauważmy że kiedy młotek zaczyna przemieszczać się w wodzie to i woda musi wykonywać ruch pewna porcja wody musi bowiem zająć wcześniejsze położenie młotka a inna część wody musi ustąpić robiąc miej- (7) prac PDFiA IF US 8 red MMoenda - 4/5 -

5 F_I_D sce poruszającemu się młotkowi Gdybyśmy podchodzii do naszego zagadnienia drgań od strony energetycznej obiczając energię kinetyczną i potencjaną całego układu to musieibyśmy koniecznie uwzgędnić energię kinetyczną ruchu wody Energia potencjana wody została już przez H nas uwzgędniona poprzez prawo Archimedesa co wyraziło się zastąpieniem g przez g w równaniu ruchu Energię kinetyczną wody możemy uwzgędnić przyjmując że przy prędkości ciała v porusza się nie tyko masa m ae i pewna efektywna masa wody która powinna być proporcjonana do objętości zajmowanej przez młotek E k H υ H m + γ m m γ + υ Zatem obecność wody nie tyko zmniejsza siłę sprowadzając wahadło do położenia równowagi H co wyraża dodatkowy czynnik we wzorze () ae ponao zwiększa bezwładność wa- m hadła Korzystając ze znanej postaci wzoru na okres drgań oscyatora π widzimy że taki k wzrost bezwładności powinien zmodyfikować wzór () do postaci π H + γ H g Ponieważ nie dysponujemy żadnym prostym sposobem obiczenia γ dochodzimy do przekonania że metodą badań okresu wahań wahadła w wodzie nie można wyznaczyć gęstości materiału z którego wahadło jest wykonane Skoro już jednak wykonaiśmy pomiary a wiekość łatwo znaeźć w tabicach to możemy posłużyć się tymi wynikami do obiczenia wartości γ masy wody unoszonej wraz z wahadłem Posługując się danymi które uzyskał doświadczanie autor tej książeczki otrzymuje się H H + γ 7 γ ( 78 ) 78 8 H H 8 co zgadza się z naszą intuicją Wartość γ oznaczałaby że masa wody dołączona do ruchu młotka równa się po prostu masie wody wypartej przez młotek biczenia teoretyczne da ciała o kształcie kui dają wartość γ Warto dodać że wartość γ zaeży w sposób istotny od kształtu ciała i da bryły tak niereguarnej z matematycznego punktu widzenia - jak główka młotka obiczeń dokonać można jedynie na komputerze stosując cały złożony aparat matematyczny hydrodynamiki prac PDFiA IF US 8 red MMoenda - 5/5 -