Tematy: oscylator harmoniczny, oscylator tłumiony, oscylator wymuszony, zjawisko rezonansu, przykłady układ RLC, jądrowy rezonans magnetyczny

Transkrypt

1 Wykład 8 Drgania haroniczne Teaty: oscylator haroniczny, oscylator tłuiony, oscylator wyuszony, zjawisko rezonansu, przykłady układ RLC, jądrowy rezonans agnetyczny 1. Oscylator haroniczny 1.1 Równanie ruchu Rys. 1.1 Mechaniczny oscylator haroniczny Drgające ciało o asie zakreśli sinusoidę. Łatwo to sobie zobrazować, jeśli wyobraziy sobie, iż do ciała przyocowano pisak wsparty na papierowej taśie, która xt przesuwa się ze stałą prędkością patrz rys t.5 1. Rys. 1. Ruch oscylatora haronicznego. 1

2 Proble rozwiązujy ateatycznie, szukay równania ruchu oscylatora haronicznego. Na ciało działa jedna siła siła sprężystości sprężyny, którą znay z prawa Hooka. F k x 1.1 F a d x 1. Z drugiej strony spełniona usi być II zasada dynaiki Newtona. Równanie 1.1 i 1. daje na w rezultacie: d x k x 1.3 równanie różniczkowe -go stopnia. Przepisujey go w postaci: d x + x 1.4 k gdzie: - częstość drgań Równanie 1.4 posiada ogólne rozwiązanie w postaci: lub t Asin t+ ϕ x 1.5a x t Acos t+ ϕ 1.,5b A aplituda, zaś φ aza początkowa ruchu. Zadanie: Sprawdzić, że zależności 1.5a i 1.5b spełniają równanie oscylatora haronicznego 1.4. Znaczenie tych paraetrów wyjaśnia rysunek 1.3.

3 Rys. 1.3 Ruch drgający. Należy zwrócić uwagę na różnicę iędzy częstością a częstotliwością. Częstość deiniujey jako ν 1/ T, podczas gdy częstotliwość to π / T π v. Jednostką obydwu wielkości jest Hertz [Hz] 1/s. Rozwiązanie ruchu haronicznego równania 1.5a i 1.5b ożna przedstawić łącznie jako: x t Asin t + B cos 1.6 t gdzie paraetry A, B stałe, do wyznaczenia z warunków początkowych. Oscylatory haroniczne obserwujey w wielu układach izycznych począwszy od ikroskopowych, jak atoy czy jądra atoowe aż po układy akroskopowe, echaniczne. W tabeli 1 przedstawiono zakresy częstości drgań oscylatorów haronicznych. Tabela 1 Częstość drgań oscylatorów. Oscylator echaniczny elektryczny atoowy jądrowy Częstość [Hz] ~ 1 1. Energia oscylatora haronicznego Energia kinetyczna oscylatora haronicznego jest równa przyjując rozwiązanie postaci 1.5b: 1 dx 1 T A sin t+ϕ, 1.7 zaś energia potencjalna: 3

4 U 1 1 k x dx k x A cos t+ϕ. 1.8 Całkowita energia będzie wynosić: 1 E ka U + T 1.9 i jest stała zgodnie z zasada zachowania energii. Energia ts Rys. 1.4 Energia oscylatora haronicznego: energia kinetyczna linia czerwona, energia potencjalna linia niebieska, sua energii energia całkowita linia czarna Rys. 1.4 ukazuje energię kinetyczną, potencjalną oraz całkowitą dla oscylatora haronicznego. Całkowita energia jest stała. W czasie ruchu energia przepływa iędzy energią kinetyczną i potencjalną, ale całkowita wielkość energii nie ulega zianie. Oscylator haroniczny jest układe zachowawczy całkowita energia układu jest zachowana. Energia nie jest w żaden sposób tracona rozpraszana. Poniżej pokazano diagra azowy dla grupy oscylatorów haronicznych różniących się jedynie wartościai paraetrów ruch. Diagra azowy to 4

5 wykres zależności prędkości ciała od położenia xt, x t. Uożliwia na głębsze odienne spojrzenie w naturę ruch ciała. x' x 1 Rys. Diagra azowy dla oscylatora haronicznego. 1.3 Przykład. Wahadło ateatyczne Wahadło ateatyczne to punkt aterialny o asie zawieszony na nieważkiej nici o długości l. Praktycznie przybliżenie wahadła ateatycznego otrzyay zawieszając bardzo ciężki, ały roziarai obiekt na bardzo długiej cienkiej i wytrzyałej nici rys Rys. 1.5 Wahadło ateatyczne 5

6 Mateatyczną zienną opisujące położenie ciała jest tutaj kąt θ. Zakładają brak tłuienia oraz ałe wychylenia z położeni równowagi równie ruchu wahadła ożey zapisać jako: a lε sinθ θ l d θ g sinθ przybliżenie ałych kątów, stąd równanie ruchu wahadła ateatycznego: d θ g + θ l 1.1 Jest to równanie oscylatora haronicznego równanie 4 ożey więc przewidzieć, że rozwiązanie będzie równanie postaci np. 5a: g θ θ sin t+ ϕ l t 1.11 wartość paraetrów θ, ϕ otrzyay z warunków początkowych.. Oscylator tłuiony Na poruszając się ciało o asie, zawieszone na sprężynie o współczynniku sprężystości k, działa sił tłuiąca, proporcjonalna do prędkości ciała: dx F bv b, gdzie paraetr tłuienia b jest stały. Działające siły pokazuje rys..1 Równanie ruch oscylatora haronicznego tłuionego przybierze postać następującego równania różniczkowego rzędu drugiego: d x dx + b + k x.1. Równanie.1 przekształciy do postaci bardziej użytecznej: 6

7 d x dx + + x γ., k gdzie:, to dobrze znana częstotliwość drgań własnych oscylatora b haronicznego, zaś γ to współczynnik tłuienia. Wydaje się logiczne, że współczynnik tłuienia jest wprost proporcjonalny do paraetru tłuienia b i odwrotnie proporcjonalnie do asy ciała. Rys..1 Oscylator haroniczny tłuiony. λ t Równanie. rozwiązujey, zakładając rozwiązanie postaci x t e. Po podstawieniu tej unkcji do. otrzyujey równanie kwadratowe: + γλ+ λ.3. Pierwiastki równania kwadratowego znajdujey korzystając ze wzorów Viety. λ 1, γ ± γ.4. Jeżeli wyróżnik równania kwadratowego jest większy lub równy zero równanie a pierwiastki rzeczywiste. Jeżeli wyróżnik jest ujeny równanie kwadratowe posiada pierwiastki zespolone. Niezbędna jest znajoość liczb zespolonych oraz działań na liczbach zespolonych wzór Eulera. 7

8 W zależności od wartości wyrażenia pod pierwiastkie rozróżniay trzy ożliwe przypadki: 1. słabe tłuienie, γ < czyli gdy γ iω jest liczbą urojoną, wówczas rozwiązanie równania kwadratowego.4 przybiera postać: λ, γ ± iω 1.5, równanie ruchu oscylatora haronicznego tłuionego opisuje zależność: γ t x t Ae sin Ωt+ ϕ.6 w rezultacie otrzyujey ruch periodyczny tłuiony o częstotliwości Ω γ i współczynniku tłuienia λ 1 / b / Przykład xt ruchu oscylatora tłuionego ukazano na rysunku poniżej. Wykładnicze krzywe czerwone ukazują zależność aplitudy ruchu tłuionego, krzywa niebieska pokazuje zależność wychylenia w unkcji czasu t 1 Rys. Oscylator haroniczny tłuiony, przypadek słabego tłuienia W oscylatorze haroniczny tłuiony energia nie jest stała! Oscylator traci energię w sposób ciągły przekazując ją ośrodkowi poprzez siłę opory tarcia. Mówiy, że taki układ, który traci rozprasza energię jest układe dyssypatywny. 8

9 Widać to na diagraie azowy patrz rysunek poniżej. Wychylenia xt są coraz niejsze, podobnie jak prędkość ciała x t. Na diagraie azowy dla oscylatora haronicznego tłuionego słabo widziy rodzinę spiral zbiegających się do początku układu współrzędnych. x't t 4 Rys. Diagra azowy ruchu haronicznego tłuionego.. silne tłuienie, γ > czyli gdy γ > jest liczbą rzeczywistą, wówczas rozwiązanie równania kwadratowego.4 przybiera postać: 3. tłuienie krytyczne, przypadek graniczny gdy γ, to rozwiązanie 13, opisane jest równanie: λ 1 λ γ, zaś γ t x t Ae 1+ at 17 Graiczne wykresy dla trzech przypadków przedstawiono na rysunku.. 9

10 Rys.. Oscylator haroniczny tłuiony, tłuienie słabe, silne, tłuienie krytyczne. 3. Oscylator wyuszony. Rezonans. Oscylator haroniczny wyuszony to przypadek oscylatora haronicznego tłuionego, na który działa dodatkowa siła zewnętrza, periodyczna, tzn. jej i t równanie dane jest zależnością: F t e cos wt gdzie, to odpowiednio aplituda i częstotliwość siły zewnętrznej. Równanie oscylatora haronicznego wyuszonego zapiszey w postaci: d x + dx b + k x e it 3.1. Jest to równanie różniczkowe rzędu drugiego, zespolone. Równanie to rozwiążey po prostu zgadując rozwiązanie. Metoda zgadywania jest dozwolona, po warunkie, że zgaduje się właściwie. it Sprawdź rozwiązanie w postaci: x t a e. Po podstawieniu do 3.1 otrzyujey równanie zespolone: a+ ib a+ k a 3.. k Podstawiając 1 / b / oraz, wyznaczay aplitudę drgania a, będącą unkcją częstotliwości siły wyuszającej: 1

11 11 i a + / 3.3. Aplituda a jest unkcją zespoloną, przekształcay ją do typowej postaci liczb zespolonych z a +ib: + + i a 3.4. Uwaga: sprawdź poprawność wzoru 34. Teraz ożey wprowadzić tangens przesunięcia azowego: ψ tg 3.5; oraz oduł aplitudy, będący liczbą rzeczywistą i obrazujący zianę aplitudy w unkcji częstotliwości zewnętrznej siły wyuszającej / + a 3.6. Gdy, czyli gdy częstość siły wyuszającej równa się częstotliwości drgań własnych, w przypadku słabego tłuienia, gdy współczynnik tłuienia dąży do zera γ, a, z równania 36 otrzyujey, że aplituda a dąży do nieskończoności, a realnie do dużych, bądź bardzo dużych wartości: a / 3.7. Na rysunku przedstawiono przykłady krzywych rezonansowych dla rosnących wartości paraetru tłuienia. Krzywa najwyższa odpowiada najniejszej

12 wartości paraetru tłuienia. Widoczny jest gwałtowny wzrost aplitudy drgań, gdy częstotliwość zbliża się do częstotliwości drgań własnych. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu i odgrywa bardzo dużą rolę w układach echanicznych, elektrycznych, agnetycznych. Rys. 3.1 Krzywe rezonansowe dla różnych wartości współczynnika tłuienia Przykłady: 1. Aplet: ruch drgający katastroa ostu Tacoa, , 3. breaking a wine glass using resonance 4. Rezonans Resonantie 1

13 3.1 Układ RLC, elektryczny przykład oscylatora wyuszonego. Układ RLC to obwód elektryczny zwierając trzy eleenty: opór R [jednostka Oh ΩV/A], kondensator o pojeności C [jednostka Farad F C/VA s/v] i cewkę indukcyjną o indukcyjności L [jednostka Henry, H V s/a] V wolt, A aper, s - sekunda. Układ zasilany jest ze źródła o napięciu v. Scheat obwodu pokazuje rysunek.3. Rys..3 Scheat układy RLC Mając dane wartości paraetrów: R, L, C, v napięcie na źródle, piszey równanie tego układu zgodnie z prawe Kirchhoa napięciowy prawe Kirchhoa: v + v + v vt R L C Równanie przekształcay do następującego równania różniczkowego rzędu drugiego: d i R di i L LC L dv Deiniując dwa paraetry: γ R / L oraz 1, i podstawiając do LC równania 3.1. otrzyujey następujące równanie: d i di 1 dv + + i L γ

14 identyczne z równanie oscylatora wyuszonego 3.1. Obwód RLC będzie wykonywał drania, dokładniej prąd i wzbudzany w ty obwodzie, będzie wykonywał drgania zgodnie z równaniai oscylator wyuszonego patrz powyższe rozważania. W obwodzie ty pojawi się, w określonych okolicznościach jakich? zjawisko rezonansu. W przypadku, gdy opór R, otrzyay przypadek oscylatora tłuionego i trzy rozwiązania dla: słabego tłuienia, silnego tłuienia i tłuieni krytycznego patrz paragra. 3. Zjawisko rezonansu agnetycznego: jądrowy rezonans agnetyczny a zasada działania Magnetic Resonance Force Microscope b zastosowanie: Huan Brain Magnetic Resonance / Diusion Tensor Iaging 14