Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
|
|
- Kamil Turek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 1 / 16
2 Sprzężone oscylatory harmoniczne Rozważmy jednowymiarowy układ drgający: Mẍ 1 + (κ + κ 12 ) x 1 κ 12 x 2 = 0 Mẍ 2 + (κ + κ 12 ) x 2 κ 12 x 1 = 0 Odejmujemy równania stronami: m 1 = M m 2 = M κ1 = κ κ 12 κ2 = κ x 1 x 2 M(ẍ 1 ẍ 2 )+(κ+2κ 12 )(x 1 x 2 ) = 0 η 1 + κ + 2κ 12 M η 1 = 0 gdzie η 1 = x 1 x 2 κ + 2κ12 Rozwiązanie: η 1 (t) = 2A f cos (ω f t + φ f ) gdzie ω f = M Dodajemy równania stronami: M(ẍ 1 + ẍ 2 ) + κ(x 1 + x 2 ) = 0 η 2 + κ M η 2 = 0 gdzie η 2 = x 1 + x 2 κ Rozwiązanie: η 2 (t) = 2A s cos (ω s t + φ s ) gdzie ω s = M W zmiennych x 1 i x 2 rozwiązanie przyjmuje postać: x 1 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) + A f cos (ω f t + φ f ) x 2 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) A f cos (ω f t + φ f ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 2 / 16
3 Sprzeżone oscylatory harmoniczne Ogólna metoda: szukamy rozwiązań w postaci (A 1, A 2 mogą być zespolone): x 1 (t) = A 1 e iωt oraz x 2 (t) = A 2 e iωt Wstawiając te rozwiązania do układu równań ruchu otrzymujemy: { (κ + κ 12 Mω 2 )A 1 κ 12 A 2 = 0 κ 12 A 1 + (κ + κ 12 Mω 2 )A 2 = 0 Nietrywialne rozwiązanie istnieje kiedy wyznacznik układu jest równy zero: κ + (κ + κ 12 Mω 2 ) 2 κ 2 2κ12 κ 12 = 0 ω f = ± M, ω s = ± M ( ) ( ) ( ) 1 1 Dla ω 2 = ωs 2 A1 0 mamy: κ = A 1 1 A = A 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 Dla ω 2 = ωf 2 mamy: κ A1 0 = A 1 1 A = A 2 Ogólne rozwiązanie ma postać: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x1 (t) 1 = C x 2 (t) 1 e iωst 1 +C 1 2 e iωst 1 +C 1 3 e iω f t 1 +C 1 4 e iω f t 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 3 / 16
4 Mody normalne Żądamy aby położenia x 1 (t) oraz x 2 (t) były rzeczywiste dla wszystkich t: C 1 = C2 1 2 A se iφs oraz C 3 = C4 1 2 A f e iφ f W rezultacie otrzymujemy rozwiązania identyczne jak z pierwszej metody: x 1 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) + A f cos (ω f t + φ f ) x 2 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) A f cos (ω f t + φ f ) Mody normalne: Dla A f = 0 mamy: x 1 (t) = x 2 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) Dla A s = 0 mamy: x 1 (t) = x 2 (t) = A f cos (ω f t + φ f ) ω = ω 1 ω = ω 2 Antisymmetrical mode (out of phase) Symmetrical mode (in phase) Dowolny ruch układu jest kombinacją liniową modów normalnych. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 4 / 16
5 Współrzędne normalne Współrzędnymi normalnymi w powyższym problemie są: η 1 (t) = x 1 (t) x 2 (t) drgania z częstością ω f η 2 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) drgania z częstością ω s W zmiennej η 1 układ wykonuje drgania z częstością ω f, natomiast w zmiennej η 2 z częstością ω s. Przykład: W pewnym problemie rozwiązanie ma postać: ( ) ( ) ( ) x1 (t) 3 1 = B x 2 (t) 1 cos (ω 2 1 t + φ 1 + B 2 cos (ω 5 2 t + φ 2 Współrzędnymi normalnymi są: η 1 = 5x 1 + x 2 odpowiadająca modowi normalnemu (3,2) dragnia z częstością ω 1 η 2 = 2x 1 3x 2 odpowiadająca modowi normalnemu (1,-5) dragnia z częstością ω 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 5 / 16
6 Słabe sprzężenie Niech warunki początkowe w naszym problemie mają postać: ẋ 1 (0) = ẋ 2 (0) = 0 oraz x 1 (0) = 0 i x 2 (0) = A. Korzystając z rozwiązania w postaci: x 1 (t) = a cos ω s t + b sin ω s t + c cos ω f t + d sin ω f t x 2 (t) = a cos ω s t + b sin ω s t c cos ω f t d sin ω f t otrzymujemy b = d = 0 oraz a = c = A/2, czyli x 1 (t) = A 2 (cos ω st cos ω f t) x 2 (t) = A 2 (cos ω st + cos ω f t) W przypadku gdy κ 12 κ, wartość ω f jest tylko niewiele większa od ω s. Wprowadzamy oznaczenia: ω s = ω f + ω s 2 ω f = ω f + ω s 2 ω f ω s 2 + ω f ω s 2 Ω ɛ Ω + ɛ M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 6 / 16
7 Słabe sprzężenie Otrzymujemy: x 1 (t) = A 2 x 2 (t) = A 2 (cos (Ω ɛ)t cos (Ω + ɛ)t) = A sin Ωt sin ɛt (cos (Ω ɛ)t + cos (Ω + ɛ)t) = A cos Ωt cos ɛt Ω=10, ε=1 Obserwacje: wielkości A sin ɛt i A cos ɛt zmieniają się wolno, x 1 (t) i x 2 (t) wykonują drgania sinusoidalne z wolno zmieniającą się amplitudą, energia jest przekazywana od jednego oscylatora do drugiego i z powrotem (ɛt = π/2) A -A A x 1 =A sinωt sinεt A sinεt x 2 =A cosωt cosεt t t M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 7 / 16 -A
8 Układ trzech mas Równania ruchu dla układu trzech mas (rysunek): mẍ 1 = kx 1 k(x 1 x 2 ) mẍ 2 = k(x 2 x 1 ) k(x 2 x 3 ) k k k k m m m mẍ 3 = k(x 3 x 2 ) kx 3 Szukamy rozwiązań w postaci x i (t) = A i e iωt. Wstawiając do układu mamy: ω 2 + 2ω0 2 ω0 2 0 A 1 0 ω0 2 ω 2 + 2ω0 2 ω0 2 A 2 = 0 0 ω0 2 ω 2 + 2ω0 2 A 3 0 gdzie ω 2 0 = k/m. Nietrywialne rozwiązania istnieją dla zerowego wyznacznika: ( ω 2 + 2ω 2 0)(ω4 4ω 2 0ω 2 + 2ω 2 0) = 0 ω 2 = 2ω 2 0 i ω 2 = (2 ± 2)ω 2 0 Mody normalne: ω = ± 2ω 0 A 1 A A 3 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 8 / 16
9 Układ trzech mas ( ) ( ) Mody normalne: ω = ± 2 + A1 1 2ω 0 A 2 2 A 3 1 ( ) ( ) ω = ± 2 A1 1 2ω 0 A 2 2 A 3 1 Ogólne rozwiązanie otrzymujemy jako kombinację liniową sześciu rozwiązań odpowiadających sześciu wartościom ω: ( ) ) ) x1 x 2 x 3 = C 1 ( e i 2ω 0 t + C 2 ( e i 2ω 0 t +... Ponieważ położenia muszą być rzeczywiste, więc: ) ) ( x1 x 2 x 3 = A m ( ( 1 +A f 2 1 ( ) 1 2 +A s 1 cos ( 2ω 0 t + φ m) ) cos ( 2 + 2ω 0 t + φ f ) cos ( 2 2ω 0 t + φ s) medium: (-1,0,1) fast: (1,- 2,1) slow: (1, 2,1) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 9 / 16
10 Ogólna teoria małych drgań Niech S będzie układem zachowawczym o n stopniach swobody i współrzędnych uogólnionych q = (q 1, q 2,..., q n ). Punkt q = q 0 = const jest położeniem równowagi układu S jeśli spełnia równania Lagrange a: ( ) d T T = V j = 1,..., n dt q j q j q j gdzie T ( q, q) = n j,k=1 t jk ( q) q j q k oraz V ( q). Ponieważ lewa strona j-tego równania Lagrange a jest równa zero dla q = q 0, więc q = q 0 spełnia równania Lagrange a wtedy i tylko wtedy gdy: V q j = 0 j = 1,..., n Wniosek: Położeniami równowagi układu zachowawczego są punkty stacjonarne energii potencjalnej tego układu. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 10 / 16
11 Stabilne położenie równowagi Punkt q 0 w przestrzeni konfiguracyjnej odpowiada punktowi ( q 0, 0) w przestrzeni fazowej. Definicja: Położenie równowagi ( q 0, 0) nazywamy stabilnym jeśli promień dąży do zera gdy δ dąży do zera. C δ p C q Twierdzenie: Minima energii potencjalnej V ( q) są stabilnymi położeniami równowagi układu S. Przykład: Stabilność położenia równowagi podwójnego wahadła Energia potencjalna: O V = (M + m)gb(1 cos θ) + mgc(1 cos φ) θ b V θ = (M + m)gb sin θ = 0 dla θ = 0, φ = 0 V φ = mgc sin θ = 0 dla θ = 0, φ = 0 M φ c m A więc punkt (0,0) jest stabilnym punktem równowagi. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 11 / 16
12 Przybliżone formuły dla V oraz T Niech energia potencjalna układu S ma minimum dla q = 0 takie że V ( 0) = 0. Rozwijając w szereg wokół minimum dostajemy (dla dwóch stopni swobody): ( V V (q 1, q 2 ) = V (0, 0) + q 1 + V ) ( ) 2 V q 2 + q 1 q 2 q1 2 q V q 1 q V q 1 q 2 q2 2 q Ponieważ V (0, 0) = 0 oraz w minimum V/ q 1 = V/ q 2 = 0, więc V app (q 1, q 2 ) = 2 V q1 2 q V (0,0) q 1 q 2 q 1 q V (0,0) q2 2 q2 2 (0,0) Dla n stopni swobody: n V app ( q) = v jk q j q k = q T V q gdzie v jk = v kj = 2 V q 1 q 2 j,k=1 Przybliżona postać energii kinetycznej: T ( q, q) = n j,k=1 t jk ( 0) q j q k +... T app = n j,k=1 q= 0 t jk ( 0) q j q k = q T T q M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 12 / 16
13 Ogólna teoria modów normalnych Zlinearyzowane równania dla małych drgań wokół położenia równowagi T app n T app V app n Ponieważ: = 2 t jk q k, = 0, = 2 v jk q k więc q j q j q j Mody normalne k=1 k=1 n (t jk q k + v jk q k ) = 0 T q + V q = 0 k=1 Modami normalnymi nazywamy rozwiązania równań drgań w postaci: q j = a j cos (ωt γ), j = 1,..., n q = a cos (ωt γ) W modzie normalnym wszystkie współrzędne zmieniają się harmonicznie w czasie z ta samą częstością ω i tą samą fazą γ, ale z różnymi amplitudami. Wstawiając mody normalne do równań ruchu otrzymujemy równania dla amplitud: n ( vjk ω 2 ) t jk ak = 0, j = 1,..., n ( V ω 2 T ) a = 0 k=1 Częstości ω modów normalnych nazywamy częstościami normalnymi. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 13 / 16
14 Podwójne wahadło matematyczne Energia potencjalna: V = (M + m)gb(1 cos θ) + mgc(1 cos φ) V app = 1 2 (M + m)gbθ mgcφ2 ( 1 ) ( ) = (θ, φ) 2 (M + m)gb 0 θ mgc φ Energia kinetyczna: T = 1 2 M(b θ) ((b 2 m θ 2 + (c φ) 2 + 2(b θ)(c φ) ) cos (θ φ) θ b φ c b θ c φ b θ (φ θ) T app = 1 2 (M + m)b2 θ2 + mbc θ φ mc2 φ2 ( = θ, φ) ( 1 2 (M + m)b2 1 2 mbc ) ( ) θ 1 2 mbc 1 2 mc2 φ M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 14 / 16
15 Podwójne wahadło matematyczne Przykład: Znajdź częstości normalne podwójnego wahadła matematycznego dla: M = 3m oraz c = b. Rozwiązujemy układ równań na mody normalne: det(v ω 2 T) = 0 4n2 4ω 2 ω 2 ω 2 n 2 ω 2 = 0 gdzie n 2 = g/b. Z wyznacznika otrzymujemy częstości normalne: ω 2 1 = 2n2 3, ω2 2 = 2n 2 Znajdujemy amplitudy dla każdego z modów normalnych: Dla ω1 2 = 2n 2 /3 mamy: ( ) ( ) 4 2 a1 = a 1 = a 2 ɛ A więc: θ = ɛ cos ( 2/3 nt γ) a 2 φ = 2ɛ cos ( 2/3 nt γ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 15 / 16
16 Podwójne wahadło matematyczne Przykład: ciąg dalszy. Podobnie dla ω 2 2 = 2n 2 otrzymujemy: θ = ɛ cos ( 2 nt γ) φ = 2ɛ cos ( 2 nt γ) gdzie w obu przypadkach stałe ɛ i γ wyznaczamy z warunków początkowych. Zachowanie układu dla obu modów normalnych przedstawia rysunek: O ǫ ǫ O ǫ ǫ 3m 3m 2ǫ 2ǫ 2ǫ 2ǫ m m Ogólne rozwiązanie problemu małych drgań podwójnego wahadła ma postać: θ = ɛ 1 cos ( 2/3 nt γ 1 ) + ɛ 2 cos ( 2 nt γ 2 ) φ = 2ɛ 1 cos ( 2/3 nt γ 1 ) 2ɛ 2 cos ( 2 nt γ 2 ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 16 / 16
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoMechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych
Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych. Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Załóżmy, że układ materialny o jednym stopniu swobody i więzach idealnych,
Bardziej szczegółowoSiła sprężystości - przypomnienie
Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoWykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoZadanie domowe z drgań harmonicznych - rozwiązanie trzech wybranych zadań
- rozwiązanie trzech wybranych zadań Ireneusz Mańkowski I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14 28 kwietnia 2016 Wybrane zadania domowe 1 Zadanie 5.4.4 Rozwiązanie zadania 5.4.4 2 Zadanie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowo1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20)
Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) 37 1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie widma drgań układu czterech wahadeł sprzężonych oraz wyznaczenie
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoWykład 2: Od drgań do fali Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 2: Od drgań do fali Katarzyna Weron WPPT, Mateatyka Stosowana Drgania układów o dwóch stopniach swobody k κ k Równania Newtona: Dodaj równania: x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = k(x 1 +x 2 ) x 1 = kx 1 κ x
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoRozwiązanie równania oscylatora harmonicznego
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego Motywacją do zebrania różnych sposobów rozwiązania równania oscylatora harmonicznego: m d2 x(t) dt 2 = kx(t) (1) jest notorycznie zadawane przez studentów
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Ortonormalne
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoDrgania. O. Harmoniczny
Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności
Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoModelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowo1.1 Wahadło anharmoniczne(m5)
10 Mechanika 1.1 Wahadło anharmoniczne(m5) Celem ćwiczenia jest zbadanie drgań anharmonicznych wahadła fizycznego(zależność okresu drgań wahadła od amplitudy jego drgań, bilans energetyczny wahadła). Zagadnienia
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoWykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoα - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowodr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWykład 3 Ruch drgający Ruch falowy
Wykład 3 Ruch drgający Ruch falowy Dr Henryk Jankowski 2010/2011 WIMIR_studia niestacjonarne Mechanika Analityczna Czasoprzestrzeń zasada składania ruchów Galileo Galilei (1564-1642) - "Dialogi" (Florencja,
Bardziej szczegółowoDwa przykłady z mechaniki
Rozdział 6 Dwa przykłady z mechaniki W rozdziale tym przedstawimy proste przykłady rozwiązań równań mechaniki Newtona. Mechanika Newtona zajmuje się badaniem ruchu układu punktów materialnych w przestrzeni
Bardziej szczegółowoD103. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta).
D3. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta). Cel: Zbadanie przebiegu drgań dwóch wahadeł sprzężonych: zbadanie zależności częstości drgań wahadła prostego od jego momentu bezwładności, wyznaczenie
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Jacek Szczytko ćwiczenia: Aneta Drabińska, Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka, Michał Karpiński Wydział
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości
Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoWyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego
Ćwiczenie nr Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego. Wymagania do ćwiczenia 1. ynamika ruchu obrotowego.. rgania harmoniczne Literatura:. Halliday, R. Resnick,
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoZasada prac przygotowanych
1 Ćwiczenie 20 Zasada prac przygotowanych 20.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym zastosowaniem zasady prac przygotowanych przy rozpatrywaniu równowagi układu o dwóch stopniach
Bardziej szczegółowoCzłowiek najlepsza inwestycja FENIKS
Człowiek najlepsza inwestycja FENIKS - długofalowy program odbudowy, popularyzacji i wspomagania fizyki w szkołach w celu rozwijania podstawowych kompetencji naukowo-technicznych, matematycznych i informatycznych
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoRuch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku.
Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Definicje: promień fali kierunek rozchodzenia się fali powierzchnia falowa powierzchnia,
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.
Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................
Bardziej szczegółowoSymetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej
Bardziej szczegółowo