Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,

Transkrypt

1 Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz częstotliwość otrzymanych drgań i oblicz jak zmieni się owa częstotliwość gdy masę ciała zwiększymy 2 krotnie, (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, (c) oblicz położenie ciała dla którego energia potencjalna jest równa energii całkowitej i czas po którym osiągniemy to położenie. (d) czy w powyższej sytuacji prawdziwe jest przybliżenie małych drgań? odpwoiedź uzasadnij. 2. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na sprężynie o stałej sprężystości k = N m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi, (a) oblicz częstotliwość otrzymanych drgań i oblicz jak zmieni się owa częstotliwość gdy masę ciała zwiększymy 2 krotnie, (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, (c) oblicz położenie ciała dla którego energia potencjalna jest równa energii kinetycznej i czas po którym osiągniemy to położenie. 3. Jaką amplitudę, prędkość i przyspieszenie maksymalne ma drganie ciężarka na sprężynce o stałej sprężystości k = 10 N m, jeżeli jego energia wynosi E = 50J 4. Drganie harmoniczne masy m = 300g zawieszonej na sprężynie opisane jest równaniem: x(t) = 0.2 sin(8πt). wyznacz: amplitudę, okres i częstotliwość tych drgań oraz stałą sprężystości sprężyny, wyznacz czas po którym energia kinetyczna stanowi połowę energii potencjalnej i wychylenie dla którego ten stan następuje. 5. Wahadło matematyczne o długości 30cm odchylono o 15cm. Napisz równanie ruchu drgającego dla tego wahadła, oraz oblicz prędkość i przyspieszenie maksymalne. Wyznacz kąt o jaki wychyla się wahadło przy maksymalnym wychyleniu i na tej podstawie uzasadnij, czy wolno Ci korzystać ze wzoru na okres drgań? (g = 10m/s 2 ) 1

2 6. Jaką masę należy powiesić na stalowym pręcie o długości1m i polu przekroju poprzecznego 1cm 2 aby jego wydłużenie względne wyniosło 1%? (moduł Younga dla stali wynosi E = 200GP a). Zakładamy, że takie wydłużenie jest jeszcze w obszarze sprężystości. Zadania do zrobienia w domu na podstawie przerobionych 7. Rownanie ruchu drgającego w którym k = 1 N m ma postać: x(t) = 10 sin(10πt). Wyznacz: amplitudę, okres i częstotliwość drgań energię oraz prędkość i przyspieszenie maksymalne. (Odp:10m, 1 5 s,5hz,100πm s, 1000Π 2m s 2) 8. Ciało o masie 1kg zawieszono na sprężynie o stałej sprężystości 10 N m i wprawiono w drgania o energii 1J. Napisz równanie tego ruchu drgającego (Odp: x(t) = 5 5 sin( 10t)) 9. Na stalowym pręcie o długości 1m i polu przekroju poprzecznego 1cm 2 powieszono ciało o masie 100kg. Oblicz wydłużenie względne pręta, pomiń masę samego pręta (moduł Younga dla stali wynosi E = 200GPa). (Odp: 0.05mm) 10. Ciężarek zawieszony na sprężynie wykonuje drgania. Zmierzono że 20 okresów tych drgań zajmuje 30 sekund. Wiedząc że stała sprężystości rozważanej sprężyny wynosi k = 20 N m, oblicz masę ciężarka. Czy otrzymany wynik jest dokładny i dlaczego mierzono aż 20 okresów drgań? (Odp: 1.12kg) 11. Wahadło matematyczne odchylono o 45 stopni. Zmierzono że 20 okresów drgań zajmuje 30s. Wiedząc że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g = 10 m s2, oblicz długość wahadła. Czy otrzymany wynik jest dokładny i dlaczego mierzono aż 20 okresów drgań? (Odp: 0.55m) nie ma byka na Cedrika 12. Znaleźć okres drgań harmonicznych punktu materialnego jeżeli amplituda tych drgań wynosi 1cm a maksymalna szybkość, v max = 31,4 cm s (T = 2π A vmax = 0.2s) 13. Po jakim czasie od chwili początkowej punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne przesunie się na odległość równą połowie amplitudy jeżeli faza początkowa jest równa zeru a okres drgań wynosi T = 12s? (1s) 2

3 14. Napisać równanie ruchu drgającego punktu materialnego, który wykonuje drgania o amplitudzie 5cm, okresie 2s i fazie początkowej 45 o (x = 0.05sinπ(t )m) 15. Drgania punktu materialnego odbywają się zgodnie ze wzorem w układzie SI: x = 0.03sinπ(t 0.5) Znaleźć największe wartości szybkości i przyspieszenia. Jaka będzie faza drgań po 5s od chwili początkowej? (v max = 2π T A = 0.094m s, a max = 4π 2 A 2 T 2 = 0.29 m s 2, φ = 3π 2 ) 16. Znaleźć fazę początkową ciała, jeżeli po czasie t = 0.25s od chwili początkowej wychylenie było równe połowie amplitudy. Okres drgań wynosi T = 6s (φ 0 = 15 o ) 17. Zakładając, że ruch tłoka w cylindrze silnika spalinowego jest ruchem harmonicznym znaleźć maksymalne wartości szybkości i przyspieszenia tłoka, jeżeli samochód porusza się z szybkością 72 km h na biegu bezpośrednim, promień kół wynosi R = 344mm, a odległość między skrajnymi położeniami tłoka l = 100mm (v max = 1 2 v l R = 2.9m s, a max = 1 v 2 l 2R 2 = 167m s 2) 18. Ciało o masie 5g wykonuje drganie, które w układzie SI opisać można równaniem liczbowym: x = 0.1sin π ( t + 1 ) 2 3 Znaleźć liczbowe wartości energii kinetycznej i potencjalnej ciała po upływie 20s od chwili początkowej. Jaka jest całkowita energia ciała? (E p = J, E k = J, W = J) 19. Znaleźć masę ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie 0.1m, częstości 2s 1 i fazie początkowej 30 o, jeżeli energia całkowita ciała jest równa J. Po ilu sekundach od chwili początkowej energia kinetyczna będzie równa energii potencjalnej. ( kg, 0.02s) 20. Znaleźć amplitudę drgań harmonicznych punktu materialnego, jeżeli jego całkowita energia jest równa J, a działająca nań siła przy wychyleniu do połowy amplitudy wynosi 2N. (A = W F = 0.02m) 3

4 21. Jak zmieni się chód zegarów wahadłowych 20km nad Ziemią? (nastąpi opóźnienie w stosunku ) 22. Wahadło matematyczne zawieszono pod sufitem wagonu pociągu. Ile razy zmieni się okres drgań tego wahadła jeżeli wagon uzyska przyspieszenie a w kierunku poziomym. (n = T 1 T 2 = ( a g )2 ) 23. Kulka zawieszona na sprężynie wykonuje drgania z częstością 5Hz. Znaleźć współczynnik sprężystości sprężyny. (k = 4πmf 2 = 197 N m ) 24. Znaleźć okres wahań ciężarka na wadze sprężynowej jeżeli w stanie równowagi przesuwa on wskaźnik wagi o x = 2cm względem podziełki zerowej. x (T = 2π g = 0.28s) 25. Znaleźć minimalną częstotliwość drgań (w kierunku prostopadłym do powierzchni) przy której znajdujące się na niej ciało zacznie się ześlizgiwać. Kąt nachylenia równi wynosi α = 10 o, amplituda drgań A = 10cm, współczynnik tarcia statycznegok = 0.4 (f = 1 2π g(k cos(α) sin(α)) A = 1Hz) 26. Szklanka o masie m 1 = 20g i polu przekroju poprzecznego S = 5cm 2 zawiera m 2 = 80g rtęci i pływa po powierzchni wody. Pod działaniem siły pionowej szklanka została wychylona z położenia równowagi a następnie rozpoczęła swobodne już drgania. Wyznacz częstotliwość tych drgań. (f = 1 2π Sg m 1 +m 2 = 1.1Hz) 27. Pręt o długości 50cm wykonuje wahania wokół poziomej osi przechodzącej przez punkt odległy o d = 12.5cm od końca tego pręta. Znaleźć częstotliwość tych drgań. Moment bezwładności pręta o długości l względem osi przechodzącej przez jego środek wynosi: I = 1 (f = 1 2π 3g(l 2d) 2(l 2 3ld+3d 2 ) = 0.92Hz) 12 ml2 28. Do końców pręta o masie m = 60g i długości l = 49cm przymocowano dwie kulki o masachm 1 = 70g im 2 = 90g. Pręt zawieszono tak, że może on wykonywać wahania wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek. (m+3(m1 +m Znaleźć okres małych drgań tego pręta. (T = 2π 2 )l) 6g(m 1 m 2 ) = 1.7s) 29. Do sufitu windy przymocowano zawiasowo jeden koniec pręta o długości l = 50cm. Znaleźć okres wahań pręta, jeżeli winda porusza się z przyspieszeniem 4

5 1.2 m s 2 (T = 2π 2l 3(g+a) = 1.1s) 30. Jednorodna tarcza o promieniu R = 0.1m wykonuje wahania wokół poziomej osi przechodzącej przez punkt odległy o R 2 od środka tarczy. Oblicz częstotliwość wahań tarczy. (f = 1 2g 2π 3R = 1.3Hz) NAPRĘŻENIE I ODKSZTAŁCENIE 31. Jak długa musi być stalowa linka aby zawieszona pionowo urwała się pod własnym ciężarem. (l = p z g = 9km) 32. Ciężar zawieszony na gumce o długości 50cm wykonuje w płaszczyźnie poziomej ruch po okręgu ze stałą prędkością tak, że linka tworzy stożek o kącie rozwarcia 120 o. Znaleźć względne wydłużenie linki (odkształcenie) jeżeli ten sam ciężar zawieszony nieruchomo wydłuża gumkę o 1cm (4%) 33. Jaką siłą należy działać na koniec aluminiowego pręta w temperaturze 0 o C aby miał taką samą długość jak w temperaturze 10 o C? pole przekroju poprzecznego pręta wynosi 1.5cm 2, moduł Younga dla aluminium N m2 (F = SE(1 + λ t)) 34. Prosty stalowy drut o długości l wznosi się pionowo pod wpływem siły przyłożonej do jego końca. Znajdź przyspieszenie pręta przy kórym nastąpi jego zerwanie. (a = p z gl gl ) 35. Znaleźć względne wydłużenie stalowego drutu o danym module Younga E i długości l wznoszącego się pionowe pod wpływem siły przyłożonej do jego końca (σ = l(g+a) 2E ) 36. Znaleźć względne wydłużenie pręta miedzianego jeżeli przy jego rozciąganiu wykonano pracę 0.12J. Długość początkowa pręta wynosi 2m zaś pole przekroju poprzecznego 1mm 2 (σ = 2W SEl ) Znaleźć siłę z jaką gimnastyk działa na sprężystą siatkę po skoku z wysokości h = 8m jeżeli wiadomo, że pod ciężaremnieruchomego gimnastyka siatka ugina się o x 0 = 16cm (F = mg(1 + 2h x + 1)) Jaka siła potrzebna jest do naciągnięcia łuku o x = 0.2m jeżeli cała wykonana praca będzie równa energii kinetycznej strzały w momencie wystrzału a maksymalny zasięg wystrzału wynosi s = 36m. Masa strzały wynosi m = 50g i nie uwzględniamy oporu powietrza. (F mgs x 5 )

6 39. Na jaką wysokość wzniesie się kamień o masie m = 30g wystrzelony pionowo do góry z procy, któej gumową linkę o polu przekrojus = 0.2cm 2 i długości początkowej l = 30cm rozciągnięto o l = 20cm (h = ES l 2 2mgl 3 ) 6