EGZAMIN Z ANALIZY II R

Transkrypt

1 EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić numer zadania, imię i nazwisko oraz nazwisko prowadzącego ćwiczenia Zadanie Wyznacz jawny wzór na funkcję F a Zadanie 2 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania [ d dt cos a e d, a [, + [ 2 2 [ y Zadanie 3 Znaleźć wymiary stożka obrotowego o całkowitym polu powierzchni równym S, który ma największą objętość Zadanie 4 W przestrzeni X funkcji ciągłych na odcinku [, o wartościach rzeczywistych wprowadzamy normę wzorem f sup ft Znaleźć wzór na pochodna kierunkową h F f t [, odwzorowania F : X X F f t fs 2 ds, f X, t [, oraz zbadać różniczkowalność tego odwzorowania Zadanie 5 Obliczyć moment bezwładności względem osi OY płaskiej płytki o gęstości powierzchniowej ρ i kształcie A {, y R } 3 + y 3 R 3 dla pewnej stałej R > Wskazówka: wprowadzić na R 2 \ { t, t } współrzędne ρ, ψ, [, 2π[ takie, że + Rρ cos 3 ψ, y Rρ sin 3 ψ i zapisać odpowiednią całkę w tych współrzędnych [ e 2t Data: 2 czerwca 26 r

2 2 EGZAMIN Z ANALIZY II R Rozwiązania Zadanie Dla potrzeb zadania możemy zawęzić przedział zmienności a do [, A dla pewnego A > Funkcja F jest ciągła, gdyż funkcja podcałkowa f : [, A [, + [ R { cos a fa, e >, jest ciągła, całka fa fa, d jest zbieżna jednostajnie Aby to udowodnić rozważmy rozbicie przedziału całkowania: fa, d fa, d + fa, d Druga całka jest zbieżna jednostajnie na mocy kryterium Weierstrassa: dla mamy f, a 2e, a pierwsza także, bo fa, zależy w sposób ciągły od a: dla a, a, A cos a e cos a e e cosa cosa 2 e sin a+a 2 sin a a 2 2 e a + a a a Ae a a, bo sinb b sinb b b, czyli fa, fa, a a Podobnie lim fa, a jednostajnie względem [, Funkcja f jest różniczkowalna po a dla wszystkich i mamy Jest jasne, że całka a a, e sin a a a, d jest zbieżna jednostajnie ponownie kryterium Weierstrassa Oznacza to, że funkcja F jest różniczkowalna na, A[ i F a a a sina+a cosa, d e a a a 2+ F a Stałą C wyznaczamy zauważając, że lim a F a i co daje C Odpowiedź: F a log a 2 + a a 2 + da 2 loga2 + + C lim a 2 loga2 +,

3 Zadanie 2 Niech A EGZAMIN Z ANALIZY II R 3 [ 2 Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego 2 [ [ d dt A jest trajektoria [ [ t e ta yt y Diagonalizujemy A: mamy deta λ λ 2 4λ + 3 λ 3λ Dalej [ {[ kera 3 ker span } oraz kera ker {[ [ }, [ {[ span } jest bazą diagonalizującą Mamy [ 2 czyli e ta 2 Otrzymaliśmy RORJ: A 2 [ [ 3 [ [ [ e 3t e t [ t yt [ [ [ [ e 2t cosh t sinh t sinh t cosh t y Teraz stosujemy metodę uzmienniania stałych: przyjmujemy [ [ [ t cosh t sinh t t, yt sinh t cosh t y t co po wstawieniu do równania niejednorodnego daje [ [ẋ t e 2t cosh t sinh t ẏ t sinh t cosh t Rozwiązujemy równania i otrzymujemy ẋ t cosh t, ẏ t sinh t t sinh t + C, y t cosh t + C 2 [ e 2t cosh t sinh t sinh t cosh t [ e 2t Odpowiedź: rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest [ [ [ [ [ t e 2t cosh t sinh t sinh t + e 2t cosh t sinh t C yt sinh t cosh t cosh t sinh t cosh t C 2 [ [ [ e 2t + e 2t cosh t sinh t C sinh t cosh t C 2

4 4 EGZAMIN Z ANALIZY II R Zadanie 4 Dla ustalonych f, h X i ε R \ {} mamy ε F f + εh F f t ε ε ε t 2 fs + εhs ds fs 2 ds fs 2 + 2εfshs + ε 2 hs 2 ds 2ε t 2 t t fshs ds + ε 2 fshs ds + ε gdzie L f : X X jest odwzorowaniem liniowym które jest ewidentnie ciągłe: t L f ht 2 t fshs ds, hs 2 ds t fs 2 ds hs 2 ds L f ht + ε F h t, Lf ht 2 fs hs ds 2 fs hs ds 2 f h Tak więc ε F f + εh F f Lf h εf h Teraz dla każdego t [, F ht hs 2 ds hs 2 ds h 2, a stąd ε F f + εh F f Lf h ε h 2, ε czyli lim ε ε F f + εh F f Lf h w X Oznacza to, że h F f L f h Aby wykazać, że F jest różniczkowalne możemy albo łatwo sprawdzić, że F f + h F f L f h jest małą wyższego rzędu niż h lub skorzystać z twierdzenia, że jeśli słaba pochodna zależy w sposób ciągły od punktu, to odwzorowanie jest klasy C Wybierając drugi sposób sprawdzamy, że L f L f2 2 f f 2, jako że 2 t f shs 2 f 2 shs 2 f s f 2 s hs ds 2 f f 2 h

5 Zadanie 5 Niech Φ:, + [, 2π[ R 2 \ { t, t } EGZAMIN Z ANALIZY II R 5 Φρ, ψ Rρ cos 3 ψ, Rρ sin 3 ψ Wtedy Φ A { ρ, ψ ρ,, ψ, 2π[ } Dla dowolnej mierzalnej funkcji f na A mamy f Φρ, ψ det Φ ρ, ψ dρdψ Φ A A f, y ddy Szukany moment bezwładności wyraża się całką po prawej stronie dla f, y 2, natomiast [ Φ ρ, ψ 3 ψ 3Rρ sin ψ cos 2 ψ R sin 3 ψ 3Rρ cos ψ sin 2 ψ więc [ det Φ ρ, ψ det 3 ψ 3Rρ sin ψ cos 2 ψ R sin 3 ψ 3Rρ cos ψ sin 2 ψ [ 3Rρ det 3 ψ sin ψ cos 2 ψ R sin 3 ψ cos ψ sin 2 ψ [ cos 3R 2 ρ det 3 ψ sin ψ cos 2 ψ sin 3 ψ cos ψ sin 2 ψ [ cos ψ sin ψ 3R 2 ρ cos 2 ψ det sin 3 ψ cos ψ sin 2 ψ [ 3R 2 ρ cos 2 ψ sin 2 cos ψ sin ψ ψ det 3R 2 ρ cos 2 ψ sin 2 ψ sin ψ cos ψ 2π 2 ddy dψ A 2π 3R 4 dψ dρ R 2 ρ 2 cos 6 ψ 3R 2 ρ cos 2 ψ sin 2 ψ 3R 4 ρ 3 dρ dρ ρ 3 cos 8 ψ sin 2 ψ 2π cos 8 ψ cos 2 ψ dψ 2π 2π 3 4 R4 cos 8 ψ dψ cos ψ dψ 3R 4 π 2 cos 8 ψ dψ π 2 cos ψ dψ 3R 4 π 7!! 2 8!! 9!!!! 3R 4 π 7!! 9 2!! πr πr πr