Powtórzenie drgań harmonicznych, mechanicznych i w obwodach elektrycznych RLC, obwody prądu zmiennego, samoindukcja (ćw. 1, 7, 8)

Transkrypt

1 Powtórzenie drgań harmonicznych, mechanicznych i w obwodach elektrycznych RLC, obwody prądu zmiennego, samoindukcja (ćw., 7, 8) Podstawowa literatura: D. Halliday,R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 6 Drgania oscylator harmoniczny. Własności sprężyste ciał stałych Każde ciało poddane działaniu jakiejś siły zewnętrznej odkształca się w mniejszym lub większym stopniu, w zależności od tego jakie są właściwości sprężyste ciała i jaka jest wartość siły działającej na to ciało. Właściwości sprężyste ciał różnią się przy tym w zależności od tego, jaki jest ich stan skupienia. Gazy ściskane z zewnątrz zmniejszają przykładowo swoją objętość bardzo znacznie, natomiast ciecze i ciała stałe stosunkowo bardzo nieznacznie. Jeżeli po ustąpieniu siły ściskającej objętość ściskanego ciała wraca do początkowej wartości, to mówimy, że to ciało charakteryzuje się sprężystością objętości. Samo zjawisko powrotu objętości ciała do poprzedniej wartości po usunięciu sił ściskających nosi nazwę sprężystości objętościowej. Doświadczenie poucza nas, że gazy, ciecze oraz ciała stałe mają sprężystość objętości. nnym rodzajem sprężystości może być sprężystość kształtu, zwana też sprężystością postaciową. Gazy np. przyjmują zawsze kształt naczynia, wypełniając je całkowicie. Nie mają więc swego kształtu. a co za tym idzie, nie mają również sprężystości postaciowej. Ciecze również przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują, a więc i w tym przypadku nie można mówić o sprężystości postaciowej. Ciała stałe różnią się natomiast pod tym względem zasadniczo od gazów i cieczy, gdyż mają własne kształty. Odkształcenie postaci ciał stałych może więc być odkształceniem sprężystym, to znaczy takim, które znika po usunięciu sił odkształcających. Ciała stałe w odróżnieniu od cieczy i gazów mają sprężystość postaciową. Pod względem właściwości sprężystych dzielimy zwykle ciała stałe na sprężyste - jeśli nawet stosunkowo duże siły powodują jedynie odkształcenie sprężyste, plastyczne - jeśli pod wpływem stosunkowo niewielkich sił ciała ulegają

2 odkształceniom trwałym, ale nie ulegają zniszczeniu, oraz ciała kruche - jeśli nawet pod wpływem stosunkowo nie wielkich sił te ciała ulegają zniszczeniu (skruszeniu). Odkształcenia sprężyste ciał stałych. Prawo Hooke`a, Moduł Younga Odkształcenie ciała stałego pod wpływem sił zewnętrznych polega na przemieszczaniu się cząsteczek (atomów) tego ciała z pierwotnego położenia równowagi w inne. Przemieszczeniu temu przeciwdziałają siły wewnętrzne ciała pochodzące od wzajemnego oddziaływania między cząsteczkami (atomami). Jeżeli przemieszczenie cząsteczek było niewielkie, to po usunięciu sił zewnętrznych, siły wewnętrzne przywracają cząsteczkom pierwotne położenie. Odkształcenie odpowiadające takiemu odwracalnemu przemieszczeniu cząsteczek nazywamy odkształceniem sprężystym. Jeżeli natomiast siła zewnętrzna przemieszcza cząsteczki ciała stałego tak znacznie, że siły wewnętrzne działające między cząsteczkami nie są zdolne do przywrócenia im położenia pierwotnego po usunięciu siły zewnętrznej, to odkształcenie nazywamy plastycznym lub trwałym (odkształcenie sprężyste może się stać odkształceniem plastycznym). Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia. Naprężenie to siła odkształcająca odniesiona do jednostki pola powierzchni, na jaką działa: Naprężenie (moduł sprężystości) (odkształcenie) gdy próbka powraca do pierwotnych rozmiarów. Siły wewnętrzne działające między cząsteczkami odkształconego ciała stałego będziemy nazywali siłami sprężystości. Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało odkształcone jest równoważona właśnie przez siły sprężystości. Zdefiniujmy teraz naprężenie wewnętrzne, wielkość dynamiczną charakteryzującą siły sprężystości. Wielkość fizyczną liczbowo równą wartości siły sprężystości F s przypadającej na jednostkę powierzchni płaszczyzny przekroju poprzecznego S nazywamy naprężeniem wewnętrznym σ: F σ S S Badania doświadczalne przeprowadzone pod koniec XV wieku doprowadziły angielskiego fizyka Hooke`a, do sformułowania następującego prawa nazwanego później jego nazwiskiem: naprężenie wewnętrzne ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała. Współczynnikiem proporcjonalności jest przy tym moduł sprężystości K. Prawo Hooke`a można więc

3 wyrazić zależnością F L σ E (E moduł Younga [N/m ], L/L względna S L zmiana długości), jednakże prawo to jest słuszne tylko w przypadku stosunkowo niewielkich odkształceń względnych. Naprężenie σ gr, po którego przekroczeniu nie zachodzi już proporcjonalność naprężenia i odkształcenia, nazywamy granicą proporcjonalności. Jest ona różna dla różnych materiałów. Ponieważ siły sprężystości są siłami reakcji na siły zewnętrzne, w związku z czym wartość ich wypadkowej jest równa wartości wypadkowej sił zewnętrznych, więc prawo Hooke`a można też wyrazić w innej postaci. Skoro siły zewnętrzne są przyczyną odkształceń, to według prawa Hooke`a odkształcenie względne jest proporcjonalne do przyłożonej siły zewnętrznej i odwrotnie proporcjonalne do przekroju poprzecznego ciała. Współczynnikiem proporcjonalności w tej zależności będzie współczynnik sprężystości, równy odwrotności modułu sprężystości. Do najprostszych, a jednocześnie podstawowych odkształceń należą: rozciąganie, ściskanie, zginanie, skręcanie oraz ścinanie (zwane też przesunięciem prostym). Przez to ostatnie odkształcenie rozumiemy przesuwanie się ruchem płaskim sąsiadujących ze sobą warstw materiału względem siebie. Moduł Younga wyraża wartość naprężenia wewnętrznego, która wystąpiłaby przy podwojeniu długości ciała, gdyby ono wcześniej nie uległo zniszczeniu a jako współczynnik proporcjonalności między naprężeniem wewnętrznym i wydłużeniem względnym daje dobre pojęcie o właściwościach sprężystych ciał. Wartości modułu Younga są zwykle bardzo wielkie. Dla metali np. sięgają wartości rzędu lub nawet N/m. Dla stali twardej E,6 N/m, dla stali miękkiej E 9,8 N/m, natomiast dla ołowiu E,47 N/m. Wśród ciał sprężystych najmniejszy moduł Younga ma guma miękka, dla której E 9,8 7 N/m. Najważniejsze właściwości sprężyste materiałów to: gęstość [kg/cm 3 ], moduł Younga [N/m ], naprężenie niszczące [N/m ], granica sprężystości [N/m ] (nie każdy materiał posiada). Rozciąganie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki rozciągania osiowego: Rozciąganie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości σ o zwrocie zgodnym z wektorem normalnym powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym na zewnątrz).

4 Rozciąganie proste pręta, które różni się od rozciągania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego rozciągania przyjmując, że F S σ gdzie S oznacza pole przekroju S poprzecznego pręta. Analogicznie do rozciągania definiujemy dwa przypadki ściskania: ściskanie czyste oraz ściskanie proste pręta, które różni się od ściskania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Ścinanie - w wytrzymałości materiałów ogólny przypadek obciążenia, w którym układ sił wewnętrznych udaje się sprowadzić do jednej siły działającej w płaszczyźnie przekroju elementu. Przypadek czystego ścinania występuje w czasie rozciągania połączenia spawanego, gdy siły rozciągające przyłożone są do elementów spawanych. Naprężenia tnące występuje w spoinie na płaszczyznach łączących nią z elementami.

5 Zgodnie z definicją naprężenie tnące w przekroju wynosi τ - średnie naprężenie tnące F siła zewnętrzna tnąca S pole przekroju poprzecznego F τ gdzie: S Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek: τ < k t, gdzie: k t - wytrzymałość na ścinanie.. Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny w naukach ścisłych to model teoretyczny opisujący układ w parabolicznym potencjale potencjał oscylatora harmonicznego, bądź krócej potencjał harmoniczny, czyli kwadratowa zależność potencjału od odległości, gdzie r jest odległością w N-wymiarowej przestrzeni, N zależy od konkretnej realizacji modelu. Ze względu na skalę modelowanych zjawisk wyróżnia się klasyczny oscylator harmoniczny oraz kwantowy oscylator harmoniczny. Z matematycznego punktu widzenia potencjał paraboliczny jest najprostszym potencjałem lokalizującym, który warto rozważać teoretycznie. Prostsze potencjały nie są interesujące, gdyż: potencjał stały to cząstka swobodna liniowa zależność o w mechanice klasycznej oznacza stałą siłę o w mechanice kwantowej potencjał liniowy wymaga doprecyzowania, gdyż bez określenia warunków brzegowych problem jest źle postawiony (odpowiednie rozwiązanie równania Schrödingera bez warunków brzegowych ma nieograniczone z dołu widmo). nnym powodem, dla którego model oscylatora harmonicznego jest tak często eksploatowany w naukach ścisłych wynika z tego, że istnieje bardzo wiele funkcji potencjału, które można przybliżyć wokół minimum zależnością kwadratową. Matematycznym warunkiem byłaby istniejąca i nieznikająca druga pochodna funkcji potencjału w minimum. W praktyce oznacza to, że wiele zagadnień świata realnego daje się sprowadzić do zagadnienia oscylatora harmonicznego. Przykładami takich zagadnień są:

6 Mechanika klasyczna Wahadło matematyczne Wahadło fizyczne Masa na sprężynie Mechanika kwantowa Drgania sieci krystalicznej Potencjał jądrowy Kropka kwantowa Małe drgania harmoniczne Zagadnienie oscylatora harmonicznego jest ściśle rozwiązywalne zarówno w mechanice klasycznej (klasyczny oscylator harmoniczny) jak i mechanice kwantowej (kwantowy oscylator harmoniczny). Siła harmoniczna F kx. Siła F jest proporcjonalna do wychylenia x z położenia równowagi, a jej zwrot do położenia równowagi: (zachodzi tylko dla małych wychyleń x z położenia równowagi). F S L E k L ES L Równanie ruchu otrzymujemy z zasady dynamiki Newtona: d x F wyp m a m oraz F F kx wyp, po przekształceniu otrzymujemy równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego równanie drugiego rzędu o stałych d x współczynnikach: m + kx. k d x Po podzieleniu przez m i przyjęciu, że ω otrzymamy: + ω x. Jest to m równanie oscylatora prostego (bez tłumienia i bez wymuszenia). Częstość drgań własnych zależy wyłącznie od parametrów u kładu drgającego; dla układu masa m

7 sprężyna o stałej sprężystości k wynosi: ω k m. Na podstawie tej zależności można zawsze określić okres drgań T: T π m π. ω k Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego prostego: x( t) xm cos( ω t + ϕ), gdzie: x(t) wychylenie z położenia równowagi; x m amplituda; ω - częstość; ϕ - faza początkowa; (ω+ϕ) faza. Okres ruchu T jest to czas, w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie, natomiast amplituda to wartość bezwzględna maksymalnego wychylenia z położenia równowagi. Hz). T - gdzie ν - częstotliwość równa liczbie drgań (cykli) na sekundę ( ν Prędkość w ruchu harmonicznym: dx( t) d v( t) ( xm cos( ω t + ϕ)) ( t) x ω sin( ωt + ϕ) v m Przyspieszenie: dv( t) d a( t) ( xm ω sin( ωt + ϕ)) a( t) xm ω cos( ωt + ϕ), a ω x ω x + ω x czyli ω ω - częstość drgań ω oscylatora prostego jest równa częstości drgań własnych ω.

8 Drgania w obwodzie RLC. W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojemności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania elektryczne. Po zamknięciu wyłącznika, na skutek różnicy potencjałów okładek kondensatora, w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było solenoidu (cewki), natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ zmniejsza się różnica potencjałów okładek. ndukowana w solenoidzie siła elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do porzymania przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wyrównania się potencjałów okładek, a następnie zaczyna maleć. Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości początkowemu ładunkowi q, ale o przeciwnych znakach. Następnie opisany proces będzie się powtarzać. Każdy obwód posiada skończony opór elektryczny i zgromadzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać nazywamy je drganiami tłumionymi. nną przyczyną utraty energii w obwodzie drgającym jest emisja fal elektromagnetycznych. Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pominięcia. Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w obwodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromotoryczna E L, indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia U R na oporze i napięcia U C na kondensatorze. E L U R + U C Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami: d E L L J R R U C q C

9 d q Po zsumowaniu tych wyrażeń otrzymujemy równanie: L + R + C z którego po uwzględnieniu związku: dq d q dq q wynika równanie różniczkowe: L + R + C Wprowadzając oznaczenia: otrzymujemy: ω LC oraz R β L d q dq + β + ω q Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych: q q e cos( ωt + βt ϕ w którym częstotliwość kątowa tłumionych drgań ładunku jest dana wyrażeniem: ) ω ω β Ze względu na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e -βt, drgania elektryczne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im większa jest wartość współczynnika β, zwanego współczynnikiem tłumienia, tj. im większa jest wartość stosunku R/L. Pulsację elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako: ω R ( ) LC L Natomiast okres drgań tłumionych dany jest wyrażeniem: T π ω

10 czyli: T π R ( ) LC L Energia zgromadzona w obwodzie RLC zamienia się na ciepło, wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym obwodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z zewnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie w obwód źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej prądnicy (lub elektronicznego generatora) prądu zmiennego. Występujące wówczas w obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami wymuszonymi. Drgania wymuszone. Energia zgromadzone w obwodzie RLC zamienia się na ciepło wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym obwodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzić do niego z zewnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć poprzez włączenie do obwodu źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej.

11 Zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać ξ ξ sin( ω ) t gdzie ξ jest amplitudą, a ω częstotliwością kątową Suma siły elektromotorycznej ξ i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie ξ L jest równa sumie napięć U R na oporze i U C na kondensatorze,ξ + ξ L U R + U C. Ponieważ, powyższy wzór można zapisać: d ξ L L U R R d L + R + q C ξ sin( ω ) t U C Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu w obwodzie, dq dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu: d L + d R + C ξ ω sin( ωt) Rozwiązanie powyższego równania powinno być postaci: sin( ωt ϕ) Przyjmujemy wiec, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrznej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesunięcie fazowe ϕ miedzy prądem i siłą elektromotoryczną. q C

12 Przesuniecie fazowe i amplitudę natężenia prądu należy tak dobrać, aby funkcja była rozwiązaniem równania różniczkowego. W tym celu obliczymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu: d d ω cos( ωt ϕ) ω sin( ωt ϕ) Podstawiając natężenie prądu i jego pochodne do równania, otrzymujemy po prostych przekształceniach następujące równanie: ( ωl)sin( ωt ϕ) + R cos( ωt ϕ) ξ ( ωt) Wprowadzając oznaczenie α ωt ϕ i korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie można zapisać w postaci: ωl)sinα + R cosα ξ cosϕ cosα ( ξ sinϕ sinα Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, musza być sobie równe wyrazy po obu stronach równania. Otrzymujemy stad wzory: R ξ sinϕ ωl ) ω C ( ξ sinϕ Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań i dodając je do siebie otrzymujemy: [ ω ξ R + ( L ) ] Stąd wynika zależność, określająca amplitudę natężeń prądu R ξ + ( ωl Natomiast dzieląc stronami równania dostajemy wyrażenie, określające przesuniecie fazowe miedzy prądem i zewnętrzna siła elektromotoryczna:

13 Występująca wyżej wielkość: ωl tgϕ R Z R + ( ωl ) nazywa się impedancją obwodu prądu zmiennego. Można więc zapisać: ξ Z d q dq Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących: + β + ω q, gdzie R L R β β L Dekrement tłumienia (logarytmiczny) Wielkość charakteryzująca tłumienie drgań, zdefiniowana jako logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń w tę samą stronę drgającej cząsteczki. A e Α ln A βt β ( t T ) e Rozpatrując kąt przesunięcia fazowego mogą zajść następujące przypadki: ωl > obwód ma charakter indukcyjny, kąt przesunięcia fazowego jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła ωl < obwód ma charakter pojemnościowy, kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóźnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu ωl zachodzi rezonans napięć, kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla równoległego obwodu RLC wystąpić może rezonans prądów. Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W mieszanych układach występować może wielokrotny rezonans częściowy. Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:

14 f π LC W klasycznym, szeregowym obwodzie RLC, w dowolnej chwili t suma energii kondensatora, energii cewki oraz praca prądu w ciągu czasu t zamieniona na ciepło w oporze R (tzn. na ciepło Joule'a-Lenza) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała. t q L qm + + R C C const q m jest początkowym ładunkiem kondensatora. PODSUMOWANE Oscylator harmoniczny: małe drgania (mała amplituda drgań) oraz małe tłumienia Energia jest zachowana, jeśli nie ma tłumienia Tłumienie powoduje spadek amplitudy w funkcji czasu i straty energii Oscylator wymuszony charakteryzuje się amplitudą zależną od częstości wymuszenia i może wykazywać rezonansowy wzrost amplitudy