ĆWICZENIE 2. POMIAR NATĘŻENIA POLA GRAWITACYJNEGO W SIEDLCACH PRZY POMOCY MODELU WAHADŁA MATEMATYCZNEGO. Wprowadzenie

Transkrypt

1 ĆWICZENIE. POMIAR NATĘŻENIA POLA GRAWITACYJNEGO W SIEDLCACH PRZY POMOCY MODELU WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Wprowadzenie Punkt materiany zaczepiony na nierozciąiwej nici o dłuości tworzy układ zwany wahadłem matematycznym. W praktyce używamy modeu składająceo się z kuki o niewiekich rozmiarach w porównaniu z dłuością nici. Wówczas dłuością wahadła jest odełość środka masy kuki od punktu zaczepienia nitki. Punkt materiany wychyony z położenia równowai poruszał się będzie po łuku okręu ruchem niejednostajnie zmiennym. Niech punktem zawieszenia wahadła będzie punkt O, a wahadło wychyamy o kąt od położenia równowai. Rys. 1. Na punkt P działa siła ciężkości Q m, dzie: m - masa wahadła, - natężenie poa rawitacyjneo. Siła Q rozkłada się na dwie składowe Q 1 i Q. Q 1 napina nitkę i jest zrównoważona przez siłę sprężystości ze strony nitki. Ruch wahadła powoduje siła Q. Ruch wahadła opisujemy prościej traktując o jako ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez punkt O. Moment siły wzędem tej osi: M Q, Ćwiczenie 1

2 dzie: - ma kierunek wyznaczony przez napiętą nitkę, a zwrot od punktu zaczepienia w kierunku masy m. Równanie ruchu wahadła możemy zapisać następująco: M Q J d, /1/ dt dzie: J - oznacza moment bezwładności punktu P wzędem osi przechodzącej przez punkt O, a - kąt o jaki w danej chwii wahadło zostało wychyone. Łatwo zauważyć, że przyspieszenie styczne ma zawsze zwrot przeciwny do kierunku wychyenia. Ponieważ J m a M - m sin, to równanie /1/ możemy zapisać w postaci d m m sin, dt ub prościej d sin, dt ub d + sin. / / dt Wykorzystaiśmy tutaj fakt, że ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie i wystarczy rozważyć moment siły w funkcji kąta wychyenia. Różniczkowe równanie ruchu // w przypadku dowoneo wychyenia nie naeży do równań eementarnych. Pomnóżmy obie strony równania // przez d / dt, wówczas d d d sin. dt dt dt Scałkujmy je wzędem czasu, wówczas otrzymamy: 1 d C dt cos +. /3/ Załóżmy, że w chwii t, a d dt (da t ). Po podstawieniu do /3/ dostajemy cos + C, stąd C cos. Wracając do /3/ mamy: Ćwiczenie

3 1 d dt cos cos. Po przekształceniu: d ± cos cos. dt Znak minus bierzemy wtedy, dy kąt maeje od do, ponieważ pochodna d dt wtedy jest ujemna, a znak pus, dy kąt rośnie od wartości do ponieważ pochodna wtedy jest dodatnia. Zatem d cos cos, dt dy zmienia się od do, i d cos cos, dt dy zmienia się od do. Rozdzieamy zmienne d dt cos cos i Wykonujemy całkowania oraz d cos cos d cos cos dt. t, d t. cos cos Łatwo zauważyć, że t 1 t, a zatem okres wahań T t 1 + t t. Po podstawieniu T d. cos cos Z uwai na symetrię wychyeń T d cos cos. /4/ Wprowadźmy podstawienie 1 Ćwiczenie 3

4 sin sin sin u. /5/ Po zróżniczkowaniu /5/ mamy 1 cos d sin cosudu, stąd sin d cos udu, cos sin cosudu d. /6/ 1 sin sin u Wiemy, że cos cos sin sin. /7/ Uwzędniając /5/, wyrażenie /7/ możemy zapisać w postaci cos cos sin ( sin ) sin cos 1 u u. Wzór /4/ przybierze postać π T 4 du. /8/ 1 sin sin u Granice całkowania, jak łatwo zauważyć, otrzymaiśmy z zaeżności /5/: 1). dy, to u, a sin ). dy, to sin u 1, stąd u π. sin Całka występująca we wzorze /8/ jest całką eiptyczną pierwszeo rodzaju, przy czym współczynnik sin( ) nosi nazwę modułu całki eiptycznej. Rozwińmy w szere Newtona sin sin u 1 + sin sin u + sin sin u + sin sin u Szere ten jest zbieżny ponieważ drui wyraz dwumianu jest mniejszy od jedności. Zauważmy, że Ćwiczenie 4

5 π ( n )... sin n du π. /9/ n Korzystając z /9/ i całkując wyraz po wyrazie w ranicach od do π otrzymujemy T π 1 sin + sin + sin /1/ Z ostatniej zaeżności widać, że okres wahadła matematyczneo zaeży od wychyenia początkoweo, zatem wahadło matematyczne nie jest izochroniczne. W pierwszym przybiżeniu okres T π. /11/ W tym przybiżeniu wahadło matematyczne traktujemy jako izochroniczne. Jest to możiwe wtedy, jeżei kąt wychyenia jest bardzo mały, bowiem wyższe wyrazy we wzorze /1/ są małe w porównaniu z wyrazem pierwszym. Przy dokładniejszych pomiarach odstępstwo od izochroniczności naeży uwzędnić. Da małeo wychyenia sin, dzie - mierzymy w mierze łukowej. Wzór /1/ możemy przybiżyć uwzędniając dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia, ponieważ przy niewiekim pozostałe są dużo mniejsze od druieo. Zatem T + π 1. /1/ 16 Wahadło takie może być wykorzystane do precyzyjneo pomiaru natężenie poa rawitacyjneo, (pomiaru przyspieszenia ziemskieo).wystarczy zmierzyć dłuość wahadła, kąt wychyenia początkoweo, oraz okres T, a natężenie poa rawitacyjneo obiczyć ze wzoru: 4π T + 1. /13/ 16 Wahadło matematyczne, któreo okres T s nazywamy wahadłem sekundowym. Dłuość wahadła sekundoweo zaeży przede wszystkim od miejsca na Ziemi, w którym to wahadło się waha oraz od jeo dłuości przy założeniu izochroniczności wahań wahadła. Dłuość wahadła sekundoweo obiczamy ze wzoru: Ts. /14/ 4π Ćwiczenie 5

6 Opis urządzenia Mode wahadła matematyczneo składający się z ciężkiej kuki oraz słabo rozciąiwej nici zawieszamy na sztywnym wsporniku zaopatrzonym w kątomierz. Wspornik zawiera dwa haczyki na jednym zawieszamy wahadło sekundowe, a na druim wahadło badane. Pomiar dłuości wahadła wykonujemy przy pomocy katetometru z nicią pajęczą. Pomiar okresu metodą koincydencji. Na wsporniku zawieszamy dwa wahadła: sekundowe i badane, wychyamy je równocześnie o taki sam kąt i jednocześnie wprawiamy w ruch wahadłowy tak, aby fazy początkowe obu wahadeł były równe. Ponieważ dłuości obu wahadeł na oół nie są jednakowe, okresy wahań będą się różniły i drania nie będą zodne w fazie. Istnieją jednak momenty kiedy oba wahadła znajdują się w fazie zodnej (zachodzą wtedy koincydencje). Różnica iczby wahań między koejnymi koincydencjami jest równa. Przypuśćmy, że wahadło badane porusza się szybciej niż wahadło sekundowe wtedy na n drań wahadła sekundoweo przypada n + 1 (dy wahadło badane dra woniej wówczas n - 1) drań wahadła badaneo. Okres koincydencji t (czas między koejnymi koicydencjami)wyraża się następująco: t nts ( n ± 1) T dzie: T - jest okresem wahadła badaneo, a T s s. Okres drań wahadła badaneo n T T s. /15/ n ± 1 Natężenie poa rawitacyjneo (przyspieszenie ziemskie) obiczamy ze wzoru π ( n ± 1) 1 +. /16/ n T s 16 Ćwiczenie 6

7 Przebie pomiarów 1. Zmierzyć dłuość wahadła przy pomocy katetometru i suwmiarki ( + 1 D, dzie: - dłuość wahadła, '- dłuość nici, D - średnica kuki).. Wychyić wahadło o kąt, następnie zmierzyć stoperem czas 1 wahnień. 3. Odczytać kąt wychyenia wahadła po 1 ( 1 ) wahnięciach. 4. Obiczyć średni kąt wychyenia œr + 1. Przyjąć œr. 5. Obiczyć średni okres wahań wahadła. 6. Obiczyć natężenie poa rawitacyjneo korzystając ze wzoru /13/. 7. Powtórzyć czynności 1-6 da innych dłuości wahadła. Obiczyć średnie natężenie rawitacyjne. 8. Wyznaczyć średni okres wahań posłuując się wahałem sekundowym. Spełnić warunek n Powtórzyć pomiary z punktu 8 da innych dłuości wahadła (najepiej takich jakie były mierzone w pierwszej części ćwiczenia). 1.Obiczyć natężenie poa rawitacyjneo posłuując się zaeżnością /16/. 11.Porównać i ocenić obie metody pomiarów. 1.Przeprowadzić rachunek i dyskusję błędów. Maksymany błąd pomiaru natężenia rawitacyjneo obiczyć metodą różniczki zupełnej. 13.Przeprowadzić dyskusję wyników. Ćwiczenie 7