Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Transkrypt

1 Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

2 Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra

3 Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m dx dy dz operator energii kinetyczna energia kinetyczna elektronu Hˆ = Tˆ + Vˆ zasada zachowania energii operator energii potencjalnej Z e 4πε r przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron m masa cząstki Z ładunek jądra ε stała dielektryczna 3próż

4 4 Równanie Schrödingera postać h πm ψ ψ + + x y ψ z Ze r dla atomu wodoru Z= ( proton) ψ = Eψ energia kinetyczna elektronu przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron rozwiązania energia E funkcja falowa Ψ

5 r 5 Równanie Schrödingera rozwiązania energia E E = Z n π me h 4 n=3 n=4 n= n =,,3... główna liczba kwantowa n=

6 Równanie Schrödingera rozwiązania moment pędu M = l( l + ) h π energia nie jest jedyną kwantowaną wielkością fizyczną składowa momentu pędu wzdłuż kierunku z M z = m h π l =,,,3...n- poboczna/orbitalna liczba kwantowa m = -l,...,,, +l magnetyczna liczba kwantowa 6

7 Równanie Schrödingera rozwiązania składowa momentu pędu wzdłuż kierunku z przestrzenne kwantowanie momentu pędu elektronu M w atomie wodoru (l=) Obliczmy M dla l=: h h M = 3 = 6 π π Składowe M z wynoszą: h h h,,,, h π π π π 7

8 8 Równanie Schrödingera rozwiązania? spin Ruch obrotowy elektronu nosi nazwę spinu. Elektron ma dwa stany spinowe, oznaczane strzałkami i. Możemy sobie wyobrazić, że elektron obraca się z pewną prędkością w kierunku wskazówek zegara przeciwnym (stan, + / ) lub z identyczna prędkością w kierunku przeciwnym (stan, - /). Ponieważ wirujący ładunek elektryczny wytwarza pole magnetyczne, elektrony znajdujące się w tych dwóch stanach spinowych można rozróżnić na podstawie ich zachowania się w polu magnetycznym.

9 Liczby kwantowe kreśla ielkość izyczną nergię oment pędu kładową omentu pędu kładową spinu rozwiązania wzór E = n Z M = l( l + ) M z = m σ z = m s h π π me h h h π 4 przyjmuje wartości główna: n=,,3, poboczna: l=,,, n- magnetyczna: m=-l, (-l+), (l-), l magnetyczna spinowa: określa funkcje falowe Ψ rozmiar orbitalu kształt orbitalu kierunek orbitalu znak orbitalu 9

10 Liczby kwantowe rozwiązania Ψ,, s Ψ,, s Ψ,,- Ψ,, p Ψ,, l = 3 4 s p d f g Ψ 3,, 3s Ψ 3,,- Ψ 3,, 3p ψ 3,, Ψ 3,,- Ψ 3,,- Ψ 3,, 3d Ψ 3,,

11 Równanie Schrödingera funkcja falowa interpretacja Funkcja falowa w interpretacji Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ kwadratu funkcji falowej (Ψ ): ): prawdopodobieństwo to jest prawdopodobieństwo to jest wyrażone przez stopień wyrażone przez stopień zaczernienia paska u dołu. zaczernienia paska u dołu. Gęstość prawdopodobieństwa Gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi. Węzeł jest w węźle wynosi. Węzeł jest punktem, w którym funkcja punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez. falowa przechodzi przez.

12 Równanie Schrödingera funkcja falowa interpretacja Zgodnie z postulatem Bohrna, prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym punkcie przestrzeni jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej w tym punkcie. Tam gdzie funkcja falowa ma dużą ampitudę, istnieje duże prawdopodobieństwo znalezienia opisanego przez nią elektronu. Tam gdzie funkcja falowa jest mała, znalezienie elektronu jest mało prawdopodobne. Tam gdzie funkcja falowa jest równa, znalezienie elektronu jest niemożliwe. W mechanice kwantowej można przewidywać tylko prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki w danym miejscu.

13 3 Równanie Schrödingera funkcja falowa interpretacja Funkcja falowa elektronu w atomie ma tak istotne Funkcja falowa elektronu w atomie ma tak istotne znaczenie, iż nadano jej specjalną nazwę orbital znaczenie, iż nadano jej specjalną nazwę orbital atomowy. Orbital można poglądowo przedstawić atomowy. Orbital można poglądowo przedstawić jako chmurę otaczająca jądro atomu; gęstość jako chmurę otaczająca jądro atomu; gęstość chmury reprezentuje prawdopodobieństwo chmury reprezentuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w każdym punkcie. znalezienia elektronu w każdym punkcie.

14 4 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa y ψ n, l, m = R r ( ) φ( ϕ) θ ( γ ) γ ϕ r y x część radialna część kątowa

15 5 Równanie Schrödingera ( ) ( ) ( ) γ θ ϕ φ ψ = r R m l n,, rozwiązania funkcja falowa p x p y ± p z s s Ψ n,l,m symbol m l n 3 a r e a 3 3 a r e a r a ( ) cosγ a r e a r a ( ) sinγ sinϕ a r e a r a ( ) ϕ sinγ cos a r e a r a 4 e m h a e π =

16 6 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa ψ [ R( r) φ( ϕ) θ ( )] = γ n, l, m

17 7 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa ψ [ R( r) φ( ϕ) θ ( )] = γ n, l, m P=Ψ dv s odległość od jądra, r

18 8 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa

19 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa rozkład radialny ψ ( ) [ φ( ϕ) θ ( )] = R r γ n, l, m 4πr R(r) dr sumujemy/ całkujemy Ψ po γ i ϕ s rozkład radialny gęstości a odległość od jądra, r 9

20 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa rozkład radialny

21 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa składowa radialna orbitale r R(r) s -= 4πr R(r) 4s 4-=4 4p 4-=3 3d 3-=

22 Wizualizacja orbitali Ψ,, 7_5 Nodes Node,, s Ψ,, s Ψ 3,, 3s s s (a) 3s P=9% s s (b) 3s

23 3 Wizualizacja orbitali Ψ,, s Ψ,, s

24 4 _6B Wizualizacja orbitali Ψ,,- Ψ,, p Ψ,, z z z y y y x x p x p y p z

25 5 Wizualizacja orbitali Ψ,,- Ψ,, p Ψ,, p z

26 6 Wizualizacja orbitali 3p z

27 7 _8B Wizualizacja orbitali z z y y z y Ψ 3,,- Ψ 3,,- Ψ 3,, 3d Ψ 3,, Ψ 3,, x x x d xz d yz d xy z z y y x x

28 8 Wizualizacja orbitali Ψ 3,,- Ψ 3,,- Ψ 3,, 3d Ψ 3,, Ψ 3,, 3d yz 3d z

29 9 7_9 y Wizualizacja orbitali z z z x x y f z zr f x xr f y3-3 5 yr y x Ψ 4,3,-3 Ψ 4,3,- Ψ 4,3,- 4f Ψ 4,3, Ψ 4,3, Ψ 4,3, Ψ 4,3,3 z z z z x x x x y y y f xyz f y(x - z ) f x(z - y ) f z(x - y )

30 3 Widmo doświadczalne

31 3 = = = j i h me i h me j h me E E E i j π π π = R R = cm n n H H ν ν λ λ ν hc hc c h h E = = = = = 3 4 j i c h me π ν Interpretacja widma Wyprowadzenie wzoru Balmera Zmiana energii elektronu w czasie przejścia ze stanu j do stanu i (j>i)

32 Interpretacja widma Przykład Identyfikacja linii w widmie wodoru Oblicz długość fali fotonu emitowanego przez atom wodoru w wyniku przejścia elektronu z orbitalu o n = 3 do orbitalu o n =. Zidentyfikuj na rysunku (widmo wodoru) linię spektralną odpowiadającą temu przejściu. Oblicz różnicę między dwoma poziomami energetycznymi, korzystając z równania E = -(hr H )/n, a następnie oblicz długość fali odpowiadającą tej różnicy energii. Różnica energii między poziomem o liczbie kwantowej n i energii hr H /n i drugim poziomem o liczbie kwantowej n i energii hr H /n jest równa: E = (/n -/n )hr H n = 3 i n = ; R H stała Rydberga = Hz; przeliczyć częstość na długość fali 3

33 33 Przykład Identyfikacja linii w widmie wodoru różnica energii między dwoma stanami: E = (/ /3 ) h (3.9 5 Hz) częstość emitowanego światła wynosi: ν = E/h = (/ /3 ) (3.9 5 Hz) długość fali promieniowania jest równa: λ= c/ν = (3, 8 m/s)/(/ /3 ) (3.9 5 Hz) λ = m

34 34 Przykład Identyfikacja linii w widmie wodoru

35 35

36 36 Widmo doświadczalne Na H Ca Hg Ne