Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Transkrypt

1 . Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość powietrza, A efektywna powierzchnia pola przekroju pilota i fotela. Prędkość początkowa v(0) i kąt q(0) są równe: Można przyjąć: v a = 50 m/s 300 m/s; g = 9.8; ρ =.9; Cd = ; A = ; m = 5; ve = 4; y =.5; va = 300; θe = 5;

2 . Kołysanie wzdłużne samochodu Równania różniczkowe opisujące ruch kadłuba mają postać: && zo + ωz zo + kϕ = 0, && ϕ + ω ϕ + k z = 0 przy czym ϕ 0 ( c + c) ωz = częstość drgań cząstkowych stanowiących drgania swobodne kadłuba, m w przypadku gdyby mógł on wykonywać tylko liniowe drgania pionowe; ( c b + c ac ) = częstość drgań cząstkowych stanowiących drgania kadłuba, w c ω ϕ mς y przypadku gdyby mógł on wykonywać tylko drgania kątowe wokół nieruchomej osi y y; k k ( cbc ca c) = m ( c b c ac ) = c mς y współczynniki sprzęgnięcia drgań cząstkowych wyrażające wpływ sił bezwładności układu na wzajemne oddziaływanie przedniego i tylnego zawieszenia samochodu. Można przyjąć (dane techniczne Polski Fiat 5p): sztywność zawieszenia przedniego: *c = N/m sztywność zawieszenia tylnego: *c = 400 N/m odległość przedniej osi do środka ciężkości: a c =,36 m odległość tylnej osi od środka ciężkości: b c =,79 m masa samochodu z 4 osobami: m = 300 kg samochód porusza się z prędkością około 60 km/h

3 3. Mechanizm pantografu l k s m s, k s m s m p b P' aerodynamiczna P p b v Równania różniczkowe opisujące układ pantografu z linią trakcji: m s y + k s y = P k m p y + b y = P p P k skąd y = (P p b y + k s (t) y) m s + m0 gdzie P k siła styku, P p siła docisku pantografu Można przyjąć: m p = 3 kg - masa pantografu m s = 30 kg masa trakcji; P st = 80 N siła styku między m p i m s ; b = kg/s tłumienie pantografu; P p = P st + P aerodyn = 55,5 N - siła docisku pantografu; P aerodyn = c x v siła pochodząca od oporu aerodynamicznego pantografu c x = wsp. oporu aerodynamicznego v = 66, km/h = 46. m/s prędkość lokomotywy; k s (t) = k 0 k cos(ωt) zmienny wsp. sprężystości przewodów trakcji; k 0 = 370 N; k = 800 N; l = 70 m rozstawienie słupów trakcji ω = π v/l = 4,4 s - y 0 = P p / (k 0 k ) = 0,054 m położenie początkowe pantografu;

4 4. Układ korytka z kulką w środku x k R φ P m r Równania różniczkowe: (m + ) x + m φ (R - r) m φ (R r) φ + k x = P m x (R r) + m [(R r) r ] φ + m g (R r) φ = 0 po przekształceniu x = φ = m + m [P - m φ (R - r) + m φ (R r) φ - k x] [( R r) r ] m + [ -m x (R r) - m g (R r) φ] gdzie x położenie korytka; φ - wychylenie kulki w korytku Można przyjąć: m = 0,5 kg - masa kulki; = 5 kg masa korytka; R = 0, m promień korytka; r = 0,0 m promień kulki; k = 4000 N/m współczynnik sprężystości sprężyny.

5 5. Samolot lądujący na lotniskowcu x f 5 m V w x k 6 V f 4 V V 0 V k 6 f 5 m V f 4 V 0 x x Dobrać tak parametry i warunki początkowe równania ruchu danego układu, aby proces lądowania samolotu (gdy ciało o masie m ulega połączeniu z ciałem o masie za pomocą linki mającej pewną sprężystość k 6 ) przebiegło jak najłagodniej. Układ opisują równania ruchu: m x + b 5 (x + V 0 + V w ) + k 6 (x - x ) = 0 x < x x + f 4 sgnx - k 6 (x x ) = 0 x < x po przekształceniu x = [ - b 5 (x + V 0 + V w ) k 6 (x x )] /m x < x x = [ - f 40 sgnx + k 6 (x - x )] / x < x gdzie: f 40 sgnx = f 4, b 5 (x + V 0 + V w ) = f 5 Można przyjąć: m = 50 kg; = 300 kg; V 0 = 0 m/s prędkość statku; V = 30 m/s prędkość samolotu; V prędkość worków z obciążeniem; V w = 30 m/s prędkość wiatru; k 6 = 5 sztywność linki o którą zahacza lądujący samolot; f 4 = 8- tarcie suche; f 5 = tarcie mas powietrza o poszycie samolotu. x przemieszczenie worków z piaskiem; x - przemieszczenie samolotu po zahaczeniu o linkę;

6 6. Dynamika trzystoponiowej sprę ż arki silnika przepływowego odrzutowego Uproszczony model turbiny sprężającej może stanowić układ trzech tarcz kołowych o momentach bezwładności I, I i I 3 oraz współczynnikach tłumienia ruchu obrotowego b, b i b 3, osadzonych na wale o współczynnikach sprężystości kolejno równych k, k, k 3 i k 3. Dynamikę układu opisują następujące równania różniczkowe: I φ + b φ k (φ - φ ) = 0 k (φ - φ ) + I φ + b φ k 3 (φ 3 - φ ) = 0 k 3 (φ 3 - φ ) + I 3 φ 3 + b 3 φ 3 k 3 φ 3 = 0 gdzie I i, k i, b i sa nieujemne.

7 7. Nawijanie nici wahadła M m r φ A φ g Moment obrotowy M powoduje obrót koła o promieniu r o kąt φ. Ruch ten powoduje zmianę długości nici poprowadzonej przez biegun w punkcie A i połączonej z masą. Na masę działa siła grawitacji, porusza się ona ruchem wahadłowym względem bieguna A zmieniając o kąt φ położenie odcinka A względem osi pionowej. Wyprowadzenie równań różniczkowych: Długość nici A zmienia się: A = l 0 r φ Energia kinetyczna w układzie wynosi: E = ¼ m r + ½ [r φ + (l 0 + r φ ) φ ] Energia potencjalna wynosi: U = - g (l 0 r φ ) cosφ Następnie stosujemy równania Lagrange a w postaci: d δl δl dt δφ = M & δφ d δl δl dt δφ = 0 & δφ gdzie L = E - U Równania różniczkowe opisujące układ: (/ m + ) r φ + (l 0 rφ ) r φ + g r cosφ = M (l 0 rφ ) φ r φ φ + g sinφ = 0 Można podstawić: l 0 = m; r = 0.3 m; m = 0 kg; = kg; M = 6 Nm