Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Transkrypt

1 Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 / 0

2 Zderzenie elastyczne cząstek Rozpatrujemy zderzenie cząstki o masie i prędkości u ze spoczywającą cząstką o masie m 2, w układach laboratoryjnym (LAB) i środka masy (CM). Laboratory System Center-of-Mass System m 2 u u 2 = 0 u u 2 m 2 (a) Initial condition (b) Initial condition v 2 v ζ m 2 v φ = π v 2 φ = π (c) Final condition (d) Final condition r + m 2 r 2 = ( + m 2 ) R = u + m 2 oraz u 2 = M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 2 / 0

3 Zderzenie elastyczne cząstek Z zasad zachowania energii i pędu, wynika, że w CM zachodzi: v = u = u u 2 = m 2u + m 2 v 2 = u 2 = u + m 2 Ponieważ v sin = v sin ψ oraz v cos + = v cos ψ więc tg ψ = v sin v cos + = Wnioski: m 2 ψ v < (a) sin cos + (/v ) = v v v,b sin cos + ( /m 2 ) v,f b v v > (b) f v = m 2 ψ = 2 π 2 Dla cząstki m 2 mamy: v 2 sin ζ = v 2 sin oraz v 2 cos ζ = v 2 cos tg ζ = v 2 sin v 2 cos = sin (/v 2 ) cos = sin cos = tg ( π 2 ) 2 ζ v 2 v 2 φ = π M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 3 / 0

4 Zderzenie elastyczne cząstek A więc 2ζ = π = φ W przypadku cząstek o równych masach mamy = 2ψ czyli ζ + ψ = π 2. Wniosek: W przypadku zderzenia elastycznego cząstek o równych masach, z których jedna początkowo spoczywa, cząstki rozpraszają się tworząc kąt prosty. Przykład: Jaki jest maksymalny kąt ψ w przypadku gdy > v? Dla maksymalnego ψ wektory v i v są prostopadłe, czyli sin ψ max = v = m 2 Wnioski: m 2 ψ max = 0 v v max = m 2 ψ max = π 2 v = u /( + m 2 ) m 2 u /( + m 2 ) = m 2 > M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 4 / 0

5 Znak + występuje dla < m 2 - w przeciwnym razie mamy dwa rozwiązania. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 5 / 0 Kinematyka zderzenia elastycznego Początkowe energie kinetyczne układu w LAB i CM: = 2 u 2 = 2 (u 2 + m 2 u 2 2) = m 2 u 2 m 2 = 2 + m 2 + m 2 Po rozproszeniu, w układzie CM, odpowiednio dla cząstek i m 2, mamy: T = 2 v 2 = ( ) 2 ( ) 2 2 m m2 u 2 m2 = + m 2 + m 2 T 2 = 2 m 2v 2 2 = ( ) 2 2 m m 2 u 2 m 2 = + m 2 ( + m 2 ) 2 Korzystając z wcześniej otrzymanych związków pomiędzy prędkościami i kątami w układach LAB i CM, można pokazać, że stosunek energii kinetycznych cząstki po i przed rozproszeniem jest równy: lub T = T = 2 v 2 2 u 2 = v2 u 2 m 2 ( + m 2 ) 2 = 2m 2 ( cos) ( + m 2 ) 2 2 (m2 ) 2 cos ψ ± sin 2 ψ

6 Kinematyka zderzenia elastycznego Przykład: Możliwy jest pomiar składu tarczy na podstawie rozkładu energii cząstek rozproszonych pod danym kątem. Dla ψ = π/2 mamy: α T = m2 2 m 2 ( + m 2 ) 2 ( ) 2 m2 ( α) 2α m 2 α = 0 A stąd m 2 = + α α Z wyników pokazanych na rysunku, wnioskujemy, że w skład tarczy wchodzą cząstki o masach: m 2 = 0, m 2 = 5 oraz m 2 = 2. Dla cząstki m 2 w LAB mamy: 0 m 2 / Intensity = T / Energy T 2 = T = 4m 2 ( + m 2 ) 2 cos2 ζ, ζ < π 2 W przypadku gdy = m 2 otrzymujemy: T = cos 2 ψ oraz T 2 = sin 2 ψ. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 6 / 0

7 Przekrój czynny na rozpraszanie Rozważamy rozpraszanie cząstki na cząstce m 2 zakładając istnienie siły odpychającej pomiędzy nimi. Dla ustalonej energii, moment pędu l = u b = b 2 b zależy jedynie od parametru zderzenia b. m 2 W oddziaływaniach cząstek elementarnych parametr zderzenia nie jest dokładnie znany. Dlatego możemy mówić jedynie o prawdopodobieństwie rozproszenia pod danym kątem (ψ). W układzie CM definiujemy różniczkowy przekrój czynny σ(): ( ) liczba oddziaływań na cząstkę tarczy w wyniku których rejestrujemy cząstkę rozproszoną w kącie bryłowym dω wokół kąta σ() = liczba cząstek padających na jednostkę powierzchni lub σ() = dσ dω = dn I dω M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 7 / 0

8 Przekrój czynny na rozpraszanie Rozważmy problem jednociałowy (masa zredukowana, rozpraszanie na centrum siły w układzie CM) przy założeniu symetrii aksjalnej. Ponieważ I 2πb db = I σ() dω = I σ() 2π sin d więc dostajemy: σ() = b db sin d db Ponieważ Θ = oraz = π 2Θ Θ(b) = r min rmax r min (l/r 2 )dr 2µ(E ) i l = b 2µT 0, więc: (b/r 2 )dr (b2 /r 2 ) (/T 0 ) b b da = 2π b db Transformacja do układu laboratoryjnego: σ()dω = σ(ψ)dω σ(ψ) = σ() sin sin ψ [ x cos ψ + ] 2 x 2 sin 2 ψ σ(ψ) = σ() x2 sin 2 ψ A α Θ d dψ Scattering center β Scattering center, gdzie x m 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 8 / 0 d

9 Rozpraszanie Rutherforda Rozpraszanie naładowanych cząstek w polu elektrostatycznym Równanie Θ = cos Θ = r min (κ/b) + (κ/b) 2 (b/r)dr można r2 (k/ )r b2 gdzie κ = k 2 Przekrój czynny w układzie CM: σ() = b db sin d = κ2 2 (r) = k r scałkować otrzymując b = κ tg = Θ = π 2 ( ) 2 = κ ctg 2 ctg(/2) sin sin 2 (/2) = κ2 4 W przypadku gdy = m 2 mamy T 0 = 2 oraz: σ() = k2 4T 2 0 sin 4 (/2) sin 4 (/2) = σ(ψ) = k2 T 2 0 cos ψ sin 2 ψ k2 (4T 0 )2 Uwaga: Wynik klasyczny identyczny z kwantowo-mechanicznym! sin 4 (/2) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 9 / 0

10 Rozpraszanie na twardej sferze Jednorodny strumień cząstek pada na sferę o promieniu a. Cząstki, które trafiają w sferę są rozpraszane elastycznie. Cząstka pada pod kątem ψ i jest rozpraszana pod tym samym kątem: p = a sin ψ p a = π 2ψ p = a cos 2 Różniczkowy przekrój czynny: σ() = p sin dp d = a cos 2 sin Oznacza to, że cząstki są rozpraszane izotropowo. Całkowity przekrój czyny: σ tot = π 0 d 2π 0 ( 2 a sin ) = 2 4 a2 ( ) π dφ σ() sin = 2π 4 a2 sin d = πa 2 0 Całkowity przekrój czynny ma charakter czysto geometryczny - jest równy polu powierzchni koła wielkiego kuli na której następuje rozpraszanie. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 6 0 / 0