Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Transkrypt

1 Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

2 Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz operator energii kinetczna energia kinetczna elektronu Hˆ = Tˆ + Vˆ zasada zachowania energii operator energii potencjalnej Z e 4πε r przciąganie Coulombowskie jądro-elektron m masa cząstki h stała Plancka Z ładunek jądra E ładunek elektronu ε stała dielektrczna próżni r promień

3 Atom wodoru Równanie Schrödingera postać h πm ψ ψ + + ψ z Ze r dla atomu wodoru Z= ( proton) ψ = Eψ energia kinetczna elektronu przciąganie Coulombowskie jądro-elektron rozwiązania energia E funkcja falowa Ψ 3

4 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania energia E E = Z n π me h 4 n=3 n=4 n= n =,,3... główna liczba kwantowa n= r 4

5 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania moment pędu M = l( l + ) h π l =,,,3...n- poboczna/orbitalna liczba kwantowa składowa momentu pędu wzdłuż kierunku z energia nie jest jedną kwantowaną wielkością fizczną M z = m h π m = -l,...,,, +l magnetczna liczba kwantowa 5

6 Równanie Schrödingera Atom wodoru rozwiązania przestrzenne kwantowanie momentu pędu elektronu M w atomie wodoru (l=) Obliczm M dla l=: h h M = 3 = 6 π π Składowe M z wnoszą: h h h,,,, h π π π π 6

7 Atom wodoru Ostatnia liczba kwantowa spin nie wnika z r. Schroedingera Ruch obrotow elektronu nosi nazwę spinu. Elektron ma dwa stan spinowe, oznaczane strzałkami i. Możem sobie wobrazić, że elektron obraca się z pewną prędkością w kierunku wskazówek zegara przeciwnm (stan, +/) lub z identczna prędkością w kierunku przeciwnm (stan, -/). Ponieważ wirując ładunek elektrczn wtwarza pole magnetczne, elektron znajdujące się w tch dwóch stanach spinowch można rozróżnić na podstawie ich zachowania się w polu magnetcznm. 7

8 Liczb kwantowe Atom wodoru określa wielkość fizczną energię wzór E = n Z π me h 4 przjmuje wartości główna: n=,,3, określa funkcje falowe Ψ rozmiar orbitalu moment pędu M = l( l + ) h π poboczna: l=,,, n- kształt orbitalu składową momentu pędu składową spinu M z = m σ z = m s h π h π magnetczna: m=-l, (-l+), (l-), l magnetczna spinowa: m s =-½ lub ½ kierunek orbitalu znak orbitalu 8

9 Atom wodoru Liczb kwantowe rozwiązania Ψ,, s Ψ,, s Ψ,,- Ψ,, p Ψ,, Ψ 3,, 3s Ψ 3,,- Ψ 3,, 3p ψ 3,, Ψ 3,,- Ψ 3,,- Ψ 3,, 3d Ψ 3,, Ψ 3,, l n gęstość prawdopodobieństwa l = 3 4 s p d f g 9

10 Atom wodoru Równanie Schrödingera funkcja falowa interpretacja Funkcja falowa w interpretacji Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danm znalezienia elektronu w danm punkcie jest proporcjonalne do punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ): kwadratu funkcji falowej (Ψ): prawdopodobieństwo to jest prawdopodobieństwo to jest wrażone przez stopień wrażone przez stopień zaczernienia paska u dołu. zaczernienia paska u dołu. Gęstość prawdopodobieństwa Gęstość prawdopodobieństwa w węźle wnosi. Węzeł jest w węźle wnosi. Węzeł jest punktem, w którm funkcja punktem, w którm funkcja falowa przechodzi przez. falowa przechodzi przez.

11 Atom wodoru Równanie Schrödingera funkcja falowa interpretacja Zgodnie z postulatem Bohrna, prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danm punkcie przestrzeni jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej w tm punkcie. Tam gdzie funkcja falowa ma dużą ampitudę, istnieje duże prawdopodobieństwo znalezienia opisanego przez nią elektronu. Tam gdzie funkcja falowa jest mała, znalezienie elektronu jest mało prawdopodobne. Tam gdzie funkcja falowa jest równa, znalezienie elektronu jest niemożliwe. W mechanice kwantowej można przewidwać tlko prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki w danm miejscu.

12 Atom wodoru Równanie Schrödingera funkcja falowa interpretacja Funkcja falowa elektronu w atomie ma tak istotne znaczenie, iż nadano jej specjalną nazwę orbital atomow. Orbital można poglądowo przedstawić jako chmurę otaczająca jądro atomu; gęstość chmur reprezentuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w każdm punkcie.

13 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa ψ n, l, m = R r ( ) φ( ϕ) θ ( γ ) γ ϕ r część radialna część kątowa 3

14 4 Atom wodoru Równanie Schrödingera ( ) ( ) ( ) γ θ ϕ φ ψ = r R m l n,, rozwiązania funkcja falowa p p ± p z s s Ψ n,l,m smbol m l n 3 a r e a 3 3 a r e a r a ( ) cosγ a r e a r a ( ) sinγ sinϕ a r e a r a ( ) ϕ sinγ cos a r e a r a 4 e m h a e π =

15 Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa ψ Atom wodoru gęstość prawdopodobieństwa [ R( r) φ( ϕ) θ ( )] = γ n, l, m P=Ψ dv s odległość od jądra, r 5

16 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa 6

17 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa rozkład radialn ψ ( ) [ φ( ϕ) θ ( )] = R r γ n, l, m 4πr R(r) dr sumujem/ całkujem Ψ po γ i ϕ s rozkład radialn gęstości a odległość od jądra, r 7

18 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa gęstość prawdopodobieństwa rozkład radialn 8

19 Atom wodoru Równanie Schrödingera rozwiązania funkcja falowa składowa radialna orbitale 4πr R(r) s -= 4πr R(r) 4s 4-=4 4p 4-=3 3d 3-= 9

20 Atom wodoru Wizualizacja orbitali Ψ,, 7_5 Nodes Node,, s Ψ,, s Ψ 3,, 3s s s (a) 3s P=9% s s (b) 3s

21 Wizualizacja orbitali Atom wodoru z z Ψ,,- Ψ,, p Ψ,, z p p p z

22 Atom wodoru Wizualizacja orbitali 3p z

23 Atom wodoru Wizualizacja orbitali 7_8B z z Ψ 3,,- zψ 3,,- Ψ 3,, 3d Ψ 3,, Ψ 3,, d z d z d z z (b) d - d z 3

24 Atom wodoru 7_9 Wizualizacja orbitali z z z f z zr f r f r Ψ 4,3,-3 Ψ 4,3,- Ψ 4,3,- 4f Ψ 4,3, Ψ 4,3, Ψ 4,3, Ψ 4,3,3 z z z z f z f ( - z ) f (z - ) f z( - ) 4

25 Atom wodoru Widmo doświadczalne 5

26 Interpretacja widma Atom wodoru Oblicz długość fali fotonu emitowanego przez atom wodoru w wniku przejścia elektronu z poziomu n = 3 na poziom n =. Zidentfikuj na rsunku (widmo wodoru) linię spektralną odpowiadającą temu przejściu. Zmiana energii elektronu w czasie przejścia ze stanu n j do stanu n i (j>i) π me π me π me = = = E En E j ni h n j h ni h ni n j E = E 3 E h = 6.66 m = 9.9 e =.6 = π me h =.79 J s C kg = 3.6 J 6

27 7 Atom wodoru Interpretacja widma nm m J s m s J E hc hc c h h E / = = = = = = = λ λ λ ν s m c s J h / = =

28 Atom wieloelektronowe przewidwania teorii kwantów 8

29 Atom wodoru Przkład Identfikacja linii w widmie wodoru różnica energii międz dwoma stanami: E = (/ /3 ) h (3.9 5 Hz) częstość emitowanego światła wnosi: ν = E/h = (/ /3 ) (3.9 5 Hz) długość fali promieniowania jest równa: λ= c/ν = (3, 8 m/s)/(/ /3 ) (3.9 5 Hz) λ = m 9

30 3