Modelowanie układów dynamicznych

Transkrypt

1 Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11

2 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian gdzie: L = K U K energia kinetyczna całego układu U energia potencjalna całego układu Ruch punktów opisuja równania Eulera Lagrange a d dt ( L q i ) L q i = F qi gdzie: F qi zewnętrzna siła uogólniona działajaca na i-ty punkt.

3 Przykład 1: wahadło Energia kinetyczna: K = 1 2 Ml2 θ 2 Energia potencjalna U = Mgl ( 1 cos(θ) ) gdzie: g = 10 m/s 2.

4 Stad L = K U = 1 2 Ml2 θ 2 Mgl ( 1 cos(θ) ) = 6 θ 2 60 ( 1 cos(θ) ) Równanie Eulera-Lagrange a przybiera postać d dt ( L θ ) L θ = 0 skad czyli 12 θ + 60 sin(θ) = 0 θ = 5 sin(θ)

5 Stad L = K U = 1 2 Ml2 θ 2 Mgl ( 1 cos(θ) ) = 6 θ 2 60 ( 1 cos(θ) ) Równanie Eulera-Lagrange a przybiera postać d dt ( L θ ) L θ = 0 skad czyli 12 θ + 60 sin(θ) = 0 θ = 5 sin(θ)

6 Przykład 2: suwnica dźwigowa Współrzędne środka ciężkości obciażenia: x m = x + l sin(θ), y m = l cos(θ) gdzie: x odcięta środka ciężkości wózka.

7 Suwnica dźwigowa Różniczkujac otrzymujemy ẋ m = ẋ + l θ cos(θ), ẏ m = l θ sin(θ) skad i w konsekwencji vm 2 = ( ) 2 ) 2 ẋ m + (ẏm 2 [ = [ẋ + l θ cos(θ)] + l θ sin(θ) = ẋ 2 + l 2 θ 2 + 2ẋl θ cos(θ) K = 1 2 mv 2 m Mẋ 2 ] 2 = M + m ẋ ml2 θ 2 + mlẋ θ cos(θ)

8 Suwnica dźwigowa Energia potencjalna wynika z siły przyciagania: Lagranżian: U = mgl cos(θ) L = 1 2 (M + m)ẋ ml2 θ2 + mlẋ θ cos(θ) + mgl cos(θ) Współprzędne uogólnione to θ(t) i x(t). Równania Eulera-Lagrange a przybieraja postać ( d L dt θ ( d L dt ẋ ) L θ = 0 ) L x = u

9 Suwnica dźwigowa Energia potencjalna wynika z siły przyciagania: Lagranżian: U = mgl cos(θ) L = 1 2 (M + m)ẋ ml2 θ2 + mlẋ θ cos(θ) + mgl cos(θ) Współprzędne uogólnione to θ(t) i x(t). Równania Eulera-Lagrange a przybieraja postać ( d L dt θ ( d L dt ẋ ) L θ = 0 ) L x = u

10 Suwnica dźwigowa Po obliczeniach otrzymujemy l θ + ẍ cos(θ) = g sin(θ) (M + m)ẍ + ml θ cos(θ) ml θ 2 sin(θ) = u(t) Pytanie: Jak zapisać warunki poczatkowe?

11 Przykład 3: Manipulator θ r

12 Manipulator θ r

13 Manipulator θ r Oznaczenia modelu punktowego: m 1 = 10 kg masa zewnętrznego walca umiejscowiona w jego środku masy, r 1 = 1 m odległość między środkiem masy zewnętrznego walca i osia obrotu (jest stała) m 2 = 3 kg masa obciażenia umejscowiona na końcu ramienia teleskopowego r odległość od punktowego obciażenia do osi obrotu (zmienna w czasie) T θ moment obrotowy przyłożony w przegubie obrotowym F r siła translacyjna w kierunku r

14 Manipulator θ r Różniczkujac zależności otrzymujemy x 1 = r 1 cos(θ) y 1 = r 1 sin(θ) ẋ 1 = r 1 θ sin(θ) ẏ 1 = r 1 θ cos(θ) Stad energia kinetyczna masy m 1 wynosi K 1 = 1 2 m 1v 2 1 = 1 2 m 1(ẋ ẏ 2 1 ) = 1 [ 2 m 1 r1 2 θ 2 sin 2 (θ) + r1 2 θ ] 2 cos 2 (θ) = 1 2 m 1r 2 1 θ 2

15 Manipulator θ r Podobnie, dla masy m 2 mamy i, po zróżniczkowaniu, x 2 = r cos(θ) y 2 = r sin(θ) ẋ 2 = ṙ cos(θ) r θ sin(θ) ẏ 2 = ṙ sin(θ) + r θ cos(θ) Stad energia kinetyczna masy m 2 wynosi K 2 = 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 2(ẋ ẏ 2 2 ) = 1 2 m 2 { [ṙ cos(θ) r θ sin(θ) ] 2 + [ṙ sin(θ) + r θ cos(θ) ] 2 } = 1 2 m [ṙ r 2 θ 2]

16 Manipulator θ r Całkowita energia kinetyczna: K = K 1 + K 2 = 1 2 m 1r1 2 θ m [ṙ r 2 θ2 ] Energie potencjalne: U 1 = m 1 gr 1 sin(θ), U 2 = m 2 gr sin(θ) skad całkowita energia potencjalna to Lagranżian: L = K U U = U 1 + U 2 = m 1 gr 1 sin(θ) + m 2 gr sin(θ) = 1 2 m 1r 2 1 θ m 2ṙ m 2r 2 θ 2 m 1 gr 1 sin(θ) m 2 gr sin(θ)

17 Manipulator θ r Równania Eulera-Lagrange a dla współrzędnych θ i r: ( d L dt θ ( d L dt ṙ ) L θ = T θ ) L r = F r Zapisane w postaci jawnej maja postać m 1 r 2 1 θ + m 2 r 2 θ + 2m2 rṙ θ + g cos(θ) [ m 1 r 1 + m 2 r ] = T θ m 2 r m 2 r θ 2 + m 2 g sin(θ) = F r

18 Linearyzacja równań różniczkowych Rozważmy wahadło Siła styczna działaj aca w kierunku położenia równowagi ma postać F = mg sin(θ).

19 Linearyzacja równań różniczkowych Z II zasady dynamiki Newtona F = ml θ wynika więc równanie θ = g l sin(θ) Ponieważ dla małych wychyleń sin(θ) θ, więc F = mg sin(θ) mgθ Stad wynika prostsze równanie liniowe θ = g l θ

20 Linearyzacja równań różniczkowych Z II zasady dynamiki Newtona F = ml θ wynika więc równanie θ = g l sin(θ) Ponieważ dla małych wychyleń sin(θ) θ, więc F = mg sin(θ) mgθ Stad wynika prostsze równanie liniowe θ = g l θ

21 Linearyzacja równań różniczkowych

22 Linearyzacja równań różniczkowych Z kolei, rozważmy równania ruchu suwnicy dźwigowej: l θ + ẍ cos(θ) = g sin(θ) ] (M + m)ẍ + ml[ θ cos(θ) θ 2 sin(θ) = u(t) Dla małych wychyleń zachodzi jednak sin(θ) θ cos(θ) 1 θ cos(θ) θ 2 sin(θ) = d [ ] θ cos(θ) θ dt Pozwala to je istotnie uprościć: l θ + ẍ = gθ (M + m)ẍ + ml θ = u(t)

23 Linearyzacja równań różniczkowych Z kolei, rozważmy równania ruchu suwnicy dźwigowej: l θ + ẍ cos(θ) = g sin(θ) ] (M + m)ẍ + ml[ θ cos(θ) θ 2 sin(θ) = u(t) Dla małych wychyleń zachodzi jednak sin(θ) θ cos(θ) 1 θ cos(θ) θ 2 sin(θ) = d [ ] θ cos(θ) θ dt Pozwala to je istotnie uprościć: l θ + ẍ = gθ (M + m)ẍ + ml θ = u(t)

24 Linearyzacja równań różniczkowych Z kolei, rozważmy równania ruchu suwnicy dźwigowej: l θ + ẍ cos(θ) = g sin(θ) ] (M + m)ẍ + ml[ θ cos(θ) θ 2 sin(θ) = u(t) Dla małych wychyleń zachodzi jednak sin(θ) θ cos(θ) 1 θ cos(θ) θ 2 sin(θ) = d [ ] θ cos(θ) θ dt Pozwala to je istotnie uprościć: l θ + ẍ = gθ (M + m)ẍ + ml θ = u(t)