PODATNOŚĆ DYNAMICZNA PRĘTA SWOBODNEGO DRGAJĄCEGO WZDŁUŻNIE W RUCHU UNOSZENIA

Transkrypt

1 MODELONIE INŻNIERSKIE ISNN s Giwice 6 PODTNOŚĆ DNMICZN PRĘT SOBODNEGO DRGJĄCEGO ZDŁUŻNIE RUCHU UNOSZENI NDRZEJ BUCHCZ SŁOMIR ŻÓŁKIESKI Istytut utomatyzacji Procesów Techoogiczych I Zitegrowaych Systemów ytwarzaia Zakład Mechatroiki i Projektowaia Układów Techiczych Poitechika Śąska Giwice Streszczeie. Praca dotyczy podatości układów prętowych swobodych przy uwzgędieiu w rozpatrywaym aparacie matematyczym wpływu ruchu uoszeia a ruch okay aaizowaego ośrodka. Założoo że aaizoway układ jest jedorodym prętem sprężystym o przekroju symetryczym. Ceem pracy jest wyprowadzeie podatości dyamiczej pręta swobodego drgającego wzdłużie z uwzgędieiem ruchu uoszeia. Podatość dyamiczą wyzaczoo za pomocą przybiżoej metody Gaerkia wcześiej rzutując rówaia ruchu a osie gobaego układu współrzędych. 1. STĘP pracy rozważa się probem drgań wzdłużych rotującego pręta uwzgędiając przy tym wzajemy wpływ ruchu uoszeia i ruchu wzgędego. Dyamikę układów techiczych moża opisać biorąc pod uwagę podatość dyamiczą. iiejszym opracowaiu podatość dyamiczą wyzaczoo za pomocą metody Gaerkia. dotychczasowych pracach rozważa się zarówo kokrete szczegółowe przypadki kofiguracji układu mechaiczego [1-6] jak też podejmuje się próby uogóieia ruchu [56]. Rozważay układ porusza się ruchem obrotowym który opisao za pomocą układu okaego i układu gobaego. Rówaia ruchu wyprowadzoo za pomocą rówań Lagrage a II rodzaju przyjmując współrzęde i prędkości uogóioe jako rzuty a osie gobaego układu współrzędych. Ruch pręta ograiczoo do ruchu w jedej wybraej płaszczyźie układu współrzędych.. MODEL PRĘT SOBODNEGO DRGJĄCEGO ZDŁUŻNIE RUCHU UNOSZENI Rozważa się mode pręta swobodego będącego w ruchu uoszeia. Pręt jest jedorody sprężysty o pełym przekroju. Założoo iezmieość przekroju a całej długości pręta. Pręt wykoao z tworzywa o modue sprężystości podłużej ouga E oraz gęstości. Koiec pręta obciążoo siłą harmoiczą o jedostkowej ampitudzie działającą w kieruku zgodym z osią pręta. Zae są waruki początkowe pręta. Mode opisao w układzie gobaym iezaeżym od pręta który jest płaskim układem dwuwymiarowym () oraz w układzie okaym (xy).

2 66. BUCHCZ S. ŻÓŁKIESKI yzaczoo rówaia ruchu pręta w astępującej postaci [1]: Rzut a oś : u E u cos u ω ( s ϕ+ u ) + ω (1) Rzut a oś : u E u si u ω ( s ϕ + u ) ω () 3. PODTNOŚĆ DNMICZN PRĘT SOBODNEGO DRGJĄCEGO ZDŁUŻNIE RUCHU UNOSZENI Przyjęto opis fukcji przemieszczeia uwzgędiając już a samym początku obiczeń to że wymuszeie ma charakter harmoiczy a co za tym idzie fukcja własa zmieej czasu jest rówież fukcją harmoiczą. Poszukuje się zatem rozwiązaia jako: cos( ) si ( ) (3) u kx Ωt cos( ) cos ( ) (4) u kx Ωt gdzie zgodie z warukami brzegowymi oraz przy uwzgędieiu zerowej częstości drgań własych: π k 13 K. (5) Ortogoaizując rówaia ruchu czyi możąc obustroie przez fukcję własą zmieej przemieszczeia oraz całkując obustroie w graicach od zera do otrzymao rówaia odośie do dwóch rzutów a osie gobaego układu współrzędych: Rzut a oś : Rzut a oś : u E u cos ( kx) dx cos( ) kx dx ω ϕ ω u ( s cos + u ) cos( kx) dx+ cos ( kx) dx. u E u cos ( kx) dx cos( ) kx dx ω ϕ ω u ( s si + u ) cos( kx) dx cos ( kx) dx. (6) (7)

3 PODTNOŚĆ DNMICZN PRĘT SOBODNEGO DRGJĄCEGO ZDŁUŻNIE RUCHU Całkując przez części eemety rówań (6 i 7) wyiczoo: E u E u ( ) ( ) cos( ) cos( ) x x u + k u kx dx+ kx dx u + + ω ( s cosϕ u ) cos( kx) dx ω cos ( kx) dx E u E u cos ( ) ( ) ( ) cos( ) x x u + k u kx dx+ kx dx u ( s si + u ) cos( kx) dx cos ( kx) dx. ω ϕ ω (8) (9) wyiku zrzutowaia waruków brzegowych oraz w związku z tym że zaa jest fukcja własa przemieszczeia moża zapisać koeje zaeżości: ( ) 1 ( ) cos( ) 1 ( ) () si( ) u ( t) u ( t) k k k E E u ( t ) u ( t ) E F δ( x ) si ( Ωtdx ) E. (1) Uwzgędiając w rówaiach (8 i 9) zaeżości (1) uzyskao: ( k ) E cos Ω si( Ω t) + k si( Ωt) F si ( Ωt) δ ( x dx ) γ ω ϕ ω ω 1 s cos( ) cos( kx) dx+ si( Ω t) + Ω si ( Ωt). γ E Ω cos( Ω t) + k cos( Ω t) 1 s si( ) cos( kx) dx+ cos( Ω t) + Ω cos ( Ωt). γ ω ϕ ω ω (11) (1) gdzie orma rówaia jest astępująca: γ ( ) k + si k cos ( kx) dx. (13) 4 k

4 68. BUCHCZ S. ŻÓŁKIESKI Daej w ceu uproszczeia obiczeń przyjęto s czyi rówaia (11 i 1) zapisao jako: ( k ) cos Ω + + Ω. (14) E k F δ ( x dx ) ω ω γ E Ω + k ω + ω Ω. (15) Obiczając odpowiedie całki i po przedstawieiu układu w zapisie macierzowym oraz po przekształceiach matematyczych otrzymao: ( ω ) ( k) c k Ω ω Ω cos F ω ( c k ω ) Ω Ω (16) gdzie przez c ozaczoo prędkość rozchodzeia się fai podłużej w pręcie swobodym: E c. (17) związku z wydzieeiem przez masę beki oraz rozwiięciem wyzaczików Cramera otrzymao wyzaczik główy układu w postaci: ( c k ω ) Ω ω Ω ( c k ω ) ω Ω Ω (18) oraz wyzacziki odośie do zmieych i : cos ( k) F ω Ω ( c k Ω ω ) cos( k) F ( c k Ω ω) ω Ω (19) () gdzie: (1)

5 PODTNOŚĆ DNMICZN PRĘT SOBODNEGO DRGJĄCEGO ZDŁUŻNIE RUCHU daej po obiczeiach wyzaczoo ampitudy: ( k) F ( c k ω ) ( ) 4 cos Ω c k Ω ω ω Ω 4cos ( k) F ω Ω ( c k Ω ω ) 4 ω Ω czyi poszczegóe przemieszczeia są rówe: () (3) u π x cos ( π) F c ω cos π si ( t) Ω Ω (4) π c Ω ω 4 ω Ω u x 4cos Ω cos cos Ω ( π) F ω π ( t). (5) π c Ω ω 4 ω Ω Podatość dyamicza pręta swobodego drgającego wzdłużie z uwzgędieiem ruchu uoszeia jest okreśoa formułą: π x cos ( π) c ω cos π Ω. (6) π c Ω ω 4 ω Ω ČČm NE Rys. 5. Podatość dyamicza (6) drgającego wzdłużie pręta przy prędkości uoszeia ω1 rad/s rad s E Rys. 6. Moduł podatości dyamiczej (6) drgającego wzdłużie pręta przy prędkości uoszeia ω1 rad/s 4. PODSUMONIE Podatość dyamiczą wyzaczoo za pomocą przybiżoej metody Gaerkia wcześiej rzutując rówaia ruchu a osie gobaego układu współrzędych. Praca jest wyprowadzeiem rówań ruchu i podatości dyamiczej pręta drgającego wzdłużie

6 7. BUCHCZ S. ŻÓŁKIESKI z uwzgędieiem ruchu uoszeia. Otrzymae podatości dyamicze mogą być wykorzystae w aaizie układów złożoych. Różice w charakterystykach wyzaczoych za pomocą metody ścisłej i metody przybiżoej są miimae. Gdy układ porusza się ruchem uoszeia wpływa to a jego charakterystyki dyamicze. Sformułoway w pracy mode matematyczy obejmuje związki pomiędzy występującymi okaie przemieszczeiami a skutek uwzgędieia odkształcaości ogiw oraz pomiędzy zadaym wstępie ruchem roboczym. LITERTUR 1 Buchacz. Sformułowaie probemu drgań wzdłużych układów prętowych. LII Sympozjo PTMTS Modeowaie w Mechaice isła: 3 ZN KMS s Buchacz. Żółkiewski S.: Dyamic aaysis of the maipuator s mechaism with ogitudia vibratios of fexibe iks i trasportatio. LIII Sympozjo PTMTS Modeowaie w Mechaice ydawictwo Katedry Mechaiki Stosowaej z.34/4 isła 4 s Buchacz. Żółkiewski S.: Logitudia three-dimesioa vibratios of the roud rod with takig ito cosideratio the trasportatio effect. ХII международную научно - техническую конференцию Машиностроение и техносфера I века. Iteratioa Coferece of Machie-Buidig ad Techosphere of the I Cetury. Sevastopo 5 vo. 5 p Buchacz. Żółkiewski S.: Logitudia vibratios of the fexibe -bar maipuator i terms of pae motio ad takig ito cosideratio the trasportatio effect. ordwide Cogress o Materias ad Maufacturig Egieerig ad Techoogy. 7 th Iteratioa Coferece o Computer Itegrated Maufacturig Iteiget Maufacturig Systems Giwice isła 5 Issue 6 p Szefer G.: Dyamics of eastic bodies udergoig arge motios ad uiatera cotact. Joura of Techica Physics. Quartery Vo. LI No. 4 arszawa. 6 Szefer G.: Dyamics of eastic bodies i terms of pae frictioa motio. Joura of Theoretica ad ppied Mechaics Praca wykoaa w ramach gratu 4 T7 9 8 fiasowaego przez Miisterstwo Nauki i Iformatyzacji This work was supported by Poish Miistry of Scietific Research ad Iformatio Techoogy (Poish State Committee for Scietific Research) Grat No. 4 T7 9 8 DNMICL FLEIBILIT OF THE FREE ROD ITH LONGITUDINL VIBRTIONS IN TRNSPORTTION Summary. The thesis cosiders the dyamica fexibiity of free rod s systems with takig ito cosideratio the trasportatio i the mathematica mode ad the goba movemet effect to oca vibratios of the aayzig cetre. The cosidered arragemet is the homogeeous fexibe free rod with a symmetrica sectio. This paper s objective is derivig of the dyamica fexibiity of the free rod vibratig with ogitudia vibratios ad takig ito cosideratio the trasportatio. First the equatios of motio projected ito coordiate axes of the goba referece system were derived ad after that evauated the dyamica fexibiity usig the Gaerki s method.