Definicja interpolacji

Transkrypt

1 INTERPOLACJA

2 Defiicja iterpolacji

3 Defiicja iterpolacji 3

4 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję W(x) spełiającą waruki: W ( x ) 0 0 W ( x ) y y 1 1 f ( x ) i y i W ( x ) i y i f ( x ) y W ( x ) y 4

5 Wyzaczeie fukcji W(x) Defiicja iterpolacji Dobór w postaci kombiacji liiowej + 1 fukcji bazowych Fukcje bazowe: 0 (x), 1 (x), 2 (x),..., i (x),..., (x) Wielomia uogólioy: W ( x) a ( x) i0 i i a i - współczyiki 5

6 Defiicja iterpolacji Wprowadzając: Macierz bazową: Macierz współczyików: Φ ( x), ( x), ( x),..., ( x) A T a0, a1, a2,..., a Wielomia uogólioy moża zapisać w postaci: W( x) Φ( x) A 6

7 Defiicja iterpolacji Waruek, który musi spełić wielomia iterpolacyjy, czyli: W ( x ) y i 0,1,2,..., i i Moża zapisać w postaci macierzowej: XA Y gdzie: A macierz kolumowa współczyików o ( + 1) wierszach Y macierz kolumowa wartości fukcji o ( + 1) wierszach X macierz o wymiarach ( + 1) ( + 1) 7

8 Defiicja iterpolacji Postać macierzy X i Y: X 0( x0) 1( x0)... ( x0) 0( x1 ) 1( x1 )... ( x1 ) ( x) 1( x)... ( x) y y Y y 0 1 8

9 Defiicja iterpolacji 1 Jeżeli det X 0 to: A X Y Podstawiając powyższy wzór do W( x) Φ( x) Wielomia iterpolacyjy: A otrzymuje się: 1 W ( x) Φ( x) X Y gdzie: (x) macierz bazowa X 1 macierz iterpolacyja wektor wartości fukcji w węzłach Y 9

10 Iterpolacja wielomiaowa (wielomiay w postaci aturalej)

11 Iterpolacja wielomiaowa Baza: x x x x x x x 2 0( ) 1, 1( ), 2( ),..., ( ) Postać wielomiau iterpolacyjego: W x a a x a x a x 2 ( )

12 Przy spełioym waruku: a a x a x... a x y a a x a x a x y Iterpolacja wielomiaowa a a x a x... a x y Te układ rówań, jeżeli wartości x 0, x 1,..., x są miedzy sobą róże posiada jedo rozwiązaie względem a i. Wyika to stąd, że wyzaczik macierzy X: 1 x x1 1 x... det X ( xi xj) x... x x i j 12

13 Iterpolacja wielomiaowa Wady: Iterpolacja wielomiaowa ie jest zbyt efektywa, poieważ macierz X jest macierzą pełą błędy przy odwracaiu (oraz czas odwracaia) Macierz X ie zawsze jest dobrze uwarukowaa może być osobliwa 13

14 Iterpolacja wielomiaowa Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (1,3) ( 2,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )

15 0 1 2 x0 x0 x 0 a0 y x1 x1 x 1 a 1 y x2 x2 x 2 a2 y a ( 2) ( 2) ( 2) a a a a a2 7 X A Y Iterpolacja wielomiaowa 15

16 Iterpolacja wielomiaowa det X 54 0 jest jedo rozwiązaie Korzystając z: 1 A X Y otrzymujemy: 1 1 a0 3, a1, a2 3 3 Wielomia iterpolacyjy: W ( x) a a x a x W ( x) 3 x x

17 Iterpolacja Lagrage a

18 Iterpolacja Lagrage a Baza: ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) i ( x) ( x x0 ) x x1 x xi 1 x xi 1 x x ( )...( )( )...( )... ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) dla każdej i (x), i = 0, 1,..., brakuje składika (xx i ) 18

19 Iterpolacja Lagrage a Postać wielomiau iterpolacyjego: W ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) a ( x x )( x x )...( x x ) a ( x x )( x x )...( x x ) a( x x0 )( x x1 )...( x x 1) 19

20 Iterpolacja Lagrage a Macierz X: X 0( x0) ( x1) ( x2) ( x) w pukcie x = x i wszystkie fukcje oprócz i (x) zerują się, bo występuje w ich składik (x x i ) 20

21 Iterpolacja Lagrage a Współczyiki wielomiau Lagrage a wyzacza się ze wzoru: XA Y Poieważ macierz X ma tylko główą przekątą iezerową to: a a 0 1 y0 y0 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) y1 y1 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) a y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x )

22 Czyli wielomia iterpolacyjy możemy zapisać jako: Iterpolacja Lagrage a W ( x) ( x) i yi i0 i xi ( ) lub: ( x x ) j ji i i0 xi xj ji W ( x) y, j 0,1,..., ( ) 22

23 Iterpolacja Lagrage a Przykład Dla podaych węzłów zapisać wielomia iterpolacyjy Lagrage a. Węzły: (1,3) ( 2,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )

24 Iterpolacja Lagrage a ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) W ( x) y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) W( x) (1 2)(1 4) ( 2 1)( 2 4) (4 1)(4 2) Licziki ułamków to fukcje bazowe, reszta to współczyiki wielomiau iterpolacyjego 24

25 Różice skończoe

26 Różice skończoe Dla fukcji stabelaryzowaej przy stałym kroku h = x i+1 x i wprowadza się pojęcie różicy skończoej rzędu k y y y i i1 i 2 yi yi yi 1 yi yi2 2yi 1 yi k k k 1 k 1 k 1 j k y i y i yi 1 y i ( 1) j yik 1 j0 26

27 Różice skończoe Na podstawie zbioru wartości fukcji y i = f(x i ), x i+1 x i = h = cost buduje się tablicę różic skończoych r x y y 2 y 3 y 0 x 0 y 0 y 0 2 y 0 3 y x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 1 2 y 1 2 y 2 3 y 3 x y 27

28 Różice skończoe Przykład Dla podaych węzłów zbudować tablicę różic skończoych Węzły: (0.2, 0.259) (0.4, 0.364) (0.6, 0.448) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) (0.8, 0.517) (1, 0.577) (1.2, 0.631) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )

29 Różice skończoe r x y y 2 y 3 y 4 y 5 y

30 Różice skończoe Własości różic skończoych (wyikające z defiicji): y C y 0 y Cf ( x) y Cf ( x) y f ( x) y Cf ( x) k k k ( ) 1... y x y x h x hx h y a a x... a x y b b x... b x

31 Różice skończoe Twierdzeie (wyikające z ostatiej własości): Jeżeli f(x) jest wielomiaem stopia, to różica skończoa rzędu tej fukcji jest stała, a koleje zerami. Prawdziwe jest rówież twierdzeie odwrote. 31

32 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych

33 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Dla zbioru węzłów: x0, x1 x0 h, x2 x0 2 h,..., x x0 h dae są wartości fukcji: f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2),..., f ( x ) 33

34 Wielomia iterpolacyjy: Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych W ( x) a a q a q( q 1) a q( q 1)( q 2) a q( q 1)( q 2)...( q 1) q x x 0 h Dla: 0 x x : q 0 x x : q 1 1 x x : q 2 2 x x : q 34

35 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Fukcje bazowe: ( x) 1 ( x) q ( x) q( q 1) ( x) q( q 1)( q 2) ( x) q( q 1)( q 2)( q 3) ( q 1) 35

36 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Postać układu rówań, z którego wyzacza się współczyiki: a0 y a 1 y a y a3 y3 1 ( 1) ( 1)( 2)! a y 36

37 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych a y 0 0 a a y a y a 2a 2a y a a 3a 6a 6a y a y 2! 3 y 3! 0 0 a a ( 1) a! a y a y! 0 37

38 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych I. Wzór iterpolacyjy Newtoa q( q 1) q( q 1)...( q 1) W ( x) y qy y... y 2!!

39 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Zaleźć wielomia iterpolacyjy stopia 3. dla daych z poprzediego przykładu (różice skończoe). Wykorzystujemy tablicę różic skończoych zbudowaą w poprzedim przykładzie x0 0.2 x x0 x 0.2 q 5x1 h

40 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych q( q 1) q( q 1)( q 2) W ( x) y qy y y 2! 3! (5x1)(5 x2) W ( x) (5x 1) ( 0.021) 2 (5x 1)(5 x 2)(5x 3) W x x x x 3 2 ( )

41 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Oblicz wartość fukcji w pukcie pośredim tabeli (tablicy różic skończoych z poprzedich przykładów) dla x = 0.7 z dokładością do 2 Przyjmujemy: x0 0.6 q x x h

42 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych qq ( 1) W ( x) y qy y 2! ( 0.5) W( x) ( 0.009) Zadaie ie jest wykoywale p. dla x = 1.1 brakuje różic skończoych 42

43 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych I. wzór iterpolacyjy Newtoa iterpolacja w przód II. wzór iterpolacyjy Newtoa iterpolacji wstecz 43

44 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Wielomia iterpolacyjy: W ( x) a a q a q( q 1) a q( q 1)( q 2) a q( q 1)( q 2)...( q 1) q x x h Współczyiki wielomiau a 0,..., a wyzaczae są idetyczie 44

45 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych II. Wzór iterpolacyjy Newtoa q( q 1) q( q 1)...( q 1) W ( x) y qy y... y 2!!

46 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Oblicz wartość fukcji w pukcie pośredim tabeli (tablicy różic skończoych z poprzedich przykładów) dla x = 1.1 z dokładością do 2 Przyjmujemy: x 1.2 q x x h

47 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych qq ( 1) W ( x) y qy y 2! ( 0.5) 0.5 W( x) ( 0.5) ( 0.006)