DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM VIBRATION OF BEAM WITH TWO-PARAMETER ELASTIC FOUNDATION

Transkrypt

1 JEMIELITA Grzegorz 1 KOZYRA Zofia drgaia, belka, odłoŝe sręŝyste DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM Praca dotyczy wyzaczaia drgań belki a dwuarametrowym odłoŝu sręŝystym obciąŝoej symetryczie dwiema siłami rzyłoŝoymi w sosób agły oraz dwoma imulsami. VIBRATION OF BEAM WITH TWO-PARAMETER ELASTIC FOUNDATION This aer resets method to obtai vibratios of beam with two-arameter elastic foudatio uder symmetric dyamic loadig. 1. WSTĘP Rozatrzmy belkę soczywającą a dwuarametrowym odłoŝu sręŝystym o więzach dwustroych. Zakładamy, Ŝe zaa jest masa belki, sztywości odłoŝa oraz rzyjmujemy, Ŝe działające siły są bezmasowe a odłoŝe jest ieiercyje. Na Rys. 1. okazao rozatrywaą belkę, którą z ewym rzybliŝeiem moŝa traktować, jako uroszczoy model odkładu kolejowego, a który ośredio działają gwałtowie rzyłoŝoe siły skuioe. Przyjęty model odłoŝa jest oisay rówaiem (or. [1]): w = k1w k, (1) x gdzie w jest rzemieszczeiem, a k 1, k ozaczają sztywości odowiedich warstw i wyraŝoe są w jedostkach odowiedio m N, [ ] N. 1 Politechika Warszawska Wydział IŜyierii Lądowej, Katedra Mechaiki Budowli i Zastosowań Iformatyki, Al. Armii Ludowej 16, -67 Warszawa, Tel. () -65-, Fax. () ; SGGW, Wydział Budowictwa i IŜyierii Środowiska, Katedra IŜyierii Budowlaej, ul. Nowoursyowska 159, -776 Warszawa,Tel./Fax: (+8) , g.jemielita@il.w.edu.l Politechika Warszawska Wydział IŜyierii Lądowej, Katedra Mechaiki Budowli i Zastosowań Iformatyki, Al. Armii Ludowej 16, -67 Warszawa, Tel. () -6-1, Fax. () , z.kozyra@il.w.edu.l

2 16 Grzegorz JEMIELITA, Zofia KOZYRA x PH(t-to) PH(t-to) x k1 k k 1 5 l=5 mm Rys.1. Schemat aalizowaej kostrukcji. RÓWNANIE RÓśNICZKOWE Rówaie róŝiczkowe drgań belki o stałej sztywości soczywającej a odłoŝu sręŝystym jest ostaci: w w w + k1w k + µ = q( x, t), () x x w której µ jest gęstością masy belki a jedostkę długości. Niech w chwili t w uktach o wsółrzędych ( x ) i ( l x ) zostaą agle rzyłoŝoe do belki siły bezmasowe P. ObciąŜeie to moŝa zaisać astęująco: gdzie: H - fukcja Heaviside a, δ - dystrybucja Diraca. ( x, t) = P H ( t t )[ ( x x ) + δ ( x l x )] q δ +, () x Wrowadzając wsółrzędą bezwymiarową ξ = rówaie () zaisujemy w ostaci: l w w ˆ w Pl γ + w + λ = t w której wrowadzoo astęujące, bezwymiarowe wsółczyiki: [ δ ( ξ ξ ) + δ ( ξ ( 1 ξ ))] H ( t ), ()

3 DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM 16 l γ =, k 1l = oraz k l λ = [ ] ˆ µ s. (5) Szukamy ugięcia rzy t zaisujemy astęująco: t >, tj. wtedy, gdy ( t t ) = 1 H. W tym rzyadku rówaie () w w ˆ w Pl γ + w + λ = ξ [ δ ( ξ ξ ) + δ ( ξ ( 1 ))] (6) Rozwiązaie tego rówaia rzy jedorodych warukach oczątkowych rzewidujemy w ostaci w której w w( ξ, t ) =, ( ξ, t ) = (7) w ( ξ, t) w ( ξ ) + w ( ξ t) =, (8) s d, w s jest całką szczególą będącą rozwiązaiem rówaia (or. [,]): ws d ws d Pl γ + w = [ δ ( ξ ξ ) + δ ( ξ ( 1 ξ ))] s. (9) dξ dξ Postać rozwiązaia owyŝszego rówaia zaleŝy od wartości wsółczyików γ i. Pierwiastki rówaia charakterystyczego rówaia (9) są rówe: 1,,, = ± γ ± γ r. (1) PoiewaŜ wsółczyiki γ,, to mamy ięć rzyadków i ięć ostaci rozwiązaia jedorodego rówaia (9), a miaowicie: 1. rzy γ > > otrzymujemy rówaie ugięcia w ostaci: w której ( αξ ) + C sh( αξ ) + C ch( βξ ) C sh( βξ ) w s = C 1 ch +, (11) α = γ + γ, β = γ γ. (1). rzy γ <, otrzymujemy

4 16 Grzegorz JEMIELITA, Zofia KOZYRA ( εξ ) ( ηξ ) + C ch( εξ ) si( ηξ ) + C sh( εξ ) cos( ηξ ) C ( εξ ) si( ηξ ) w s = C1ch cos + sh, (1) gdzie ε = + γ, η = γ, (1). rzy =, α = γ, β = fukcja. rzy γ =, otrzymujemy, a rozwiązaiem rówaia róŝiczkowego jest ( ) + C sh( αξ ) + C αξ w s = C1ch αξ + C. (15) α = β = γ (16) oraz ( γ ξ ) + C sh( γ ξ ) + ξ γ [ C ch( γ ξ ) C sh( γ ξ )] w s = C 1 ch + (17) 5. dla γ = mamy astęującą fukcję w s w s = C1ch ξ cos ξ + C + sh ξ si ξ. (18) + + C ξ ξ ξ cos ξ ch si C sh Całka w d ( ξ,t) jest rozwiązaiem rówaia: wd w γ d + w d ˆ w + λ d =. (19) Przedstawiając rozwiązaie rówaia (19) w ostaci iloczyu fukcji zmieej ξ F t rzestrzeej w ( ) i fukcji zmieej czasu ( ) w d ( t) = w ( ξ ) F( t) ξ, ()

5 DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM 165 otrzymujemy astęujące dwa rówaia: oraz w IV ( ξ ) γ w + ( λ ) w rzy czym bezwymiarowy wsółczyik λ wyraŝamy wzorem = (1) d F + F = ω, () dt µ l ˆ λ = ω = λ ω >. () Częstości drgań własych ω i zajdziemy z rozwiązaia rówaia (1). Pierwiastki rówaia charakterystyczego tego rówaia są rówe Rozatrzmy astęujące rzyadki: 1,,, = ± γ ± γ + λ r () a) γ > > λ Rozwiązaie rówaia (1) zaisujemy astęująco: w którym teraz ozaczoo ( αξ ) + C sh( ˆ αξ ) + C ch( ˆ βξ ) C ( ˆ βξ ) ˆ w = C1ch + sh, (5) ˆ α = γ + γ + λ, ˆ β = γ γ + λ, (6) b) < λ ~ ~ ( αξ ) + C sh( ˆ αξ ) + C cos( βξ ) si( βξ ) 1 ˆ C w = C ch +, (7) gdzie ~ β = γ + γ + λ (8)

6 166 Grzegorz JEMIELITA, Zofia KOZYRA c) > γ + λ gdzie ( εξ ) cos( ˆ ηξ ) + C ch( ˆ εξ ) si( ˆ ηξ ) + C sh( ˆ εξ ) cos( ˆ ηξ ) C ( ˆ εξ ) si( ˆ ηξ ) C1ch ˆ sh w s = +, (9) ˆ = ( λ ) γ, η = ( λ ) γ ε + Wykorzystując astęujące waruki brzegowe: ( ) = M ( 1) = czyli w ( ) = w ( 1) = ˆ, () M, (1) ( ) = T ( 1) = czyli w ( ) = w ( 1) = T. () otrzymamy jedorody algebraiczy układ rówań do wyzaczeia stałych C 1, C, C, C. Z rzyrówaia do zera wyzaczika główego tego układu otrzymujemy częstości drgań własych i ω oraz fukcje włase ( ξ ) i w. Rozwiązaiem rówaia () są fukcje: F ( t) = A cos[ ( t t )] + B [ ω ( t t )] ω si () Po wykorzystaiu waruków oczątkowych (7), rozwiązaie zagadieia rzedstawiamy w ostaci. WYZNACZENIE FUNKCJI w ( ξ ) i (, t) = w ( ξ ) + w ( ξ ) F ( t) s i= 1 w ξ rzy t t. () s Przyjmując, Ŝe sełioa jest ierówość γ > oraz wykorzystując symetrię zagadieia fukcję ugięcia zaisujemy astęująco: i w s w1 = C1ch = w = C5ch ( αξ ) + C sh( αξ ) + C ch( βξ ) + C sh( βξ ) ( αξ ) + C sh( αξ ) + C ch( βξ ) + C sh( βξ ) dla dla x ξ ξ = l. (5) 1 ξ ξ

7 DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM 167 Stałe wyzaczamy z waruków brzegowych i waruków ciągłości w ostaci: M 1 ( ) = w1 ( ) =, (6) l T 1 ( ) = w1 ( ) =, (7) l ( ξ ) w ( ) w =, (8) 1 ξ ( ξ ) = w ( ) w, (9) 1 ξ M ( ξ ) = M ( ) czyli w ( ξ ) = w ( ) 1 ξ, () 1 ξ ( ξ ) T ( ) P czyli w ( ) w ( ξ ) T = 1 ξ Pl ξ 1, (1) = 1 w =, () 1 1 T = w = () l PoiewaŜ wzory a te stałe są bardzo rozbudowae, wyzaczaie drgań układu aleŝy rzerowadzać a rzykładach liczbowych.. DZIAŁANIE IMPULSU Rozatrzmy działaie imulsów rzyłoŝoych w chwili t a belkę w sosób symetryczy (or. Rys..). Drgaia wywołae dwoma imulsami moŝa otrzymać korzystając z astęującego wzoru: w K K w =, () P t w którym imuls K = lim P t = cost. t

8 168 Grzegorz JEMIELITA, Zofia KOZYRA x Kd(t-to) Kd(t-to) x k1 k k l=5 mm Rys..Schemat belki obciąŝoej imulsami 5. BIBLIOGRAFIA [1] Jemielita G.: Goverig equatios ad boudary coditios of geeralized model of elastic foudatio. J. Theor. Al. Mech.,,(199), [] Kączkowski Z.: Płyty. Obliczeia statycze, Arkady. [] Jemielita G., Kozyra Z., Statics of beam with arbitrary stiffess restig o a variable, uidirectioal, two-arameter foudatio; Theoretical Foudatios of Civil Egieerig. Polish-Ukraiia-Lithuaia Trasactios, Warsaw, 1,. 1-15, Ed. by W. Szcześiak, OWPW, ISBN