Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego

Transkrypt

1 Ćwiczenie nr Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego. Wymagania do ćwiczenia 1. ynamika ruchu obrotowego.. rgania harmoniczne Literatura:. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki, t.1, PWN, Warszawa 3 Rozdz i Obroty; str. 6 8 Rozdz Moment pędu; str Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki, t., PWN, Warszawa 3 Rozdz. 16.1, 16., 16.3 rgania; str Wprowadzenie do tematyki ćwiczenia Wahadło balistyczne jest urządzeniem służącym do wyznaczania prędkości lotu pocisku. Znane jest ono w wielu odmianach. Jedno z takich wahadeł, którego schemat przedstawiony jest na (rys. 1), użyto w tym ćwiczeniu. Zasadniczym jego elementem jest poziomy pręt metalowy, obracający się wokół pionowej osi, z dwiema przesuwnymi masami M, położonymi w odległości R od osi. Na obu końcach pręta, w odległości r od osi, zamocowane są dwie tarcze. W jedną z nich, w kierunku prostopadłym do pręta, uderza pocisk wprawiony w ruch przez wyrzutnię (nie pokazaną na rysunku), na skutek czego wahadło zostaje wprawione w ruch obrotowy. Oś wahadła jest wykonana z drutu połączonego na stałe z prętem i z podstawą. rut ten pełni rolę sprężyny skrętnej i zapewnia działanie momentu sprężystości podczas wychylenia pręta z położenia równowagi. Rys. 1. Wahadło balistyczne Moment sprężystości jest wprost proporcjonalny do kąta wychylenia α z położenia równowagi, co opisuje równanie: M s = α, (1) gdzie współczynnik proporcjonalności zwany jest momentem kierującym i ilościowo opisuje sprężystość skrętną. Powyższa równość stanowi jednocześnie definicję momentu 1

2 kierującego, a to między innymi znaczy, że możemy wyznaczyć z niego jednostkę jest ona równa Nm. Minus w tym równaniu jest odbiciem faktu, że moment sprężystości M s jest przeciwnie skierowany do kąta wychylenia α. Równanie (1) jest analogiczne do równania opisującego zależność siły sprężystości F s od wychylenia x dla zwykłej sprężyny: F s = -kx, () gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Porównanie obu równań pozwala dojść do wniosku, znanego wcześniej w mechanice, że następujące pary wielkości są do siebie analogiczne: M s i F s, i k, α i x. Po uderzeniu pocisku w tarczę, jeżeli zaniedbać znikomą przy tych prędkościach siłę oporu powietrza, na wahadło działa jedynie moment sprężystości M s i jest on powodem przyśpieszenia kątowego ε wahadła, zgodnie z zasadą dynamiki: M s α d α ε = =, gdzie ε =, (3) dt a jest momentem bezwładności wahadła, względem osi pokrywającej się z osią sprężyny skrętnej. Z obu powyższych zależności otrzymujemy równanie różniczkowe drgań harmonicznych skrętnych: α + α =, (4) gdzie kropka oznacza pochodną po czasie. Równanie to jest analogiczne do znanego równania drgań harmonicznych: k x + x =, (5) m gdzie k jest współczynnikiem sprężystości zdefiniowanym przez równanie (), a m jest masą ciała drgającego. Rozwiązanie tego typu równania różniczkowego pokazuje, że stojąca w nim wielkość mk, oznaczona jako ω, jest kwadratem częstości drgań oscylatora harmonicznego, z czego można otrzymać okres drgań: π m T = = π. (6) ω k Ponieważ równanie (4) jest identyczne z równaniem (5) pod względem matematycznym, to = ω, z czego wynika, że okres drgań skrętnych jest równy: T = π. (7) Jeżeli wahadło balistyczne wprawimy w ruch z masami M umieszczonymi w odległości R=R 1 od osi, a potem z masami umieszczonymi w odległości R=R od osi, to jego momenty bezwładności 1 i w obu tych przypadkach można rozłożyć na moment części stałych wahadła oraz moment przesuwnych mas M: = +, 1 MR1 = +. (8) MR Wynikają stąd wzory na okres drgań wahadła balistycznego w obu tych przypadkach: + MR1 = π, + MR T = π. (9)

3 Ze wzorów (9) można wyliczyć, potrzebny w dalszej części, moment kierujący sprężyny wahadła oraz stałą część momentu bezwładności wahadła : 8π M ( R R ) 1 =, T M ( R T R T ) 1 1 =. (1) T Nieruchome początkowo wahadło, znajdujące się w położeniu równowagi, zostaje pobudzone do drgań przez uderzający pocisk. latego, zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, moment pędu pocisku przed uderzeniem jest równy momentowi pędu wahadła razem z pociskiem tuż po uderzeniu: m ν r = ω, (11) gdzie: m - masa pocisku, przy czym m<<m, ν - prędkość pocisku tuż przed uderzeniem w wahadło, r - odległość od osi wahadła do punktu, w którym pocisk wbije się w tarczę, - moment bezwładności wahadła (wraz z pociskiem), ω - maksymalna wartość prędkości kątowej wahadła balistycznego, tuż po uderzeniu. W celu obliczenia ω, posłużmy się kinematycznym równaniem drgań skrętnych: ( Ω ϕ) α ( t) = α sin t +, (1) gdzie α jest kątową amplitudą drgań skrętnych, a Ω jest częstością drgań (oznaczoną od tego miejsca wielką literą, żeby nie myliła się z prędkością kątową ω): π Ω =. (13) T Równanie to jest rozwiązaniem różniczkowego równania drgań (4), podobnie jak kinematyczne równanie x(t)=asin(ωt+ϕ) zwykłych drgań jest rozwiązaniem różniczkowego równania drgań (5). Ponieważ prędkość kątowa ω(t) wahadła jest pochodną kąta α(t), to jej wyznaczenie z równania (1) daje wynik: ( Ω ϕ) ω t) = α( t) = α Ω cos t +, (14) ( z którego wyznaczamy maksymalną prędkość kątową wahadła: ω =α Ω, czyli πα ω =. (15) T Wstawiając do równania (11) prędkość kątową ω obliczoną w równaniu (15) oraz całkowity moment bezwładności wahadła obliczony z równania (7), otrzymujemy równanie: z którego można obliczyć prędkość uderzającego pocisku: α mν r = T, (16) π α T ν =. (17) πmr 3

4 . Metodologia wykonania pomiarów Układ pomiarowy przedstawiony jest na rys.. Poziomy pręt metalowy 5, z dwiema przesuwnymi masami 4 oraz z tarczą 6, jest zamocowany na osi wykonanej z napiętego drutu. Wyrzutnia 8 służy do wprawiania w ruch pocisku, który uderzy w tarczę 6. Regulator 1 umożliwia ustawienie położenia równowagi wahadła dla kąta α= odczytywanego na podziałce umieszczonej na obudowie 7. Za pomocą cyfrowego miernika 9 jest wykonywany pomiar czasu i liczby wahań. Wyniki tych pomiarów są wyświetlane na wskaźnikach 1 i 11. Pomiar trwa od momentu przejścia wahadła przez położenie równowagi, następujące po uprzednim przyciśnięciu przełącznika W. Mierzenie czasu trwa do momentu przejścia wahadła przez położenie równowagi, następujące po uprzednim przyciśnięciu przełącznika W3. 1. Regulator położenia równowagi. Oś wahadła 3. Statyw 4. Masa M 5. Poziomy pręt 6. Tarcza 7. Przezroczysta obudowa 8. Wyrzutnia 9. Cyfrowy miernik 1. Wskaźnik liczby wahnięć 11. Wskaźnik czasu a. b. Rys.. Wygląd ogólny urządzenia pomiarowego (a.) oraz jego schemat (b.) Kolejność wykonywania czynności: 1. Przyciski W1, W i W3 1. Maksymalnie zsunąć ciężarki o masie M i zmierzyć odległość R 1 (rys. 1). Przy ustalaniu położenia R 1 należy kierować się znakami naciętymi na pręcie w odstępach co 1 cm.. Wyzerować położenie wahadła ( α = ). 3. Wystrzelić pocisk z urządzenia strzelającego i zmierzyć na skali kątowej maksymalny kąt wychylenia α. Zmierzyć także odległość r od osi punktu, w który trafił pocisk. Zanotować niepewności maksymalne α i r dla obu pomiarów. 4

5 4. Włączyć i wyzerować miernik czasu (przycisk W 1 ). 5. Zmierzyć czas t 1 n=1 wahnięć. W tym celu odchylić wahadło o dowolny kąt, zwolnić miernik czasu (przycisk W ) i puścić wahadło. Gdy miernik pokaże liczbę 9 wahnięć, nacisnąć wyłącznik W Pomiar czasu t 1 powtórzyć N=1 razy. 7. Rozsunąć ciężarki na maksymalną odległość R, zmierzyć ją i powtórzyć czynności z punktów 4 6, mierząc czas t n wahnięć. 8. Zważyć pocisk m na wadze analitycznej. Zanotować wielkość działki elementarnej m. Tabela pomiarowa Lp. R 1 t 1 R t α r m M ν U(ν) - [ ] [ ] [ ] [ ] [rad] [ ] [ ] [kg] [ ] [ ] [ ] [ ].194 V. Obliczenia 1. Obliczyć wartości średnie t 1śr i t śr oraz okresy drgań T 1śr = t 1śr/n i T śr = t śr/n.. Ze wzorów (1) obliczyć moment kierujący sprężyny oraz stałą część momentu bezwładności wahadła. We wzorach użyć średnich wartości okresów. 3. Ze wzoru (17) obliczyć prędkość ν pocisku. W obliczeniach należy użyć okresu drgań właściwego dla takiego rozsunięcia ciężarków, jak podczas wystrzelenia pocisku. 4. Obliczyć niepewności standardowe u(t 1śr ) i u(t śr ) metodą typu A. Należy zwrócić uwagę na to, aby nie pomylić liczby N powtórzeń pomiarów czasów t 1 i t z liczbą n okresów składających się na jeden czas t 1 lub t. 5. Obliczyć niepewności standardowe u(t 1śr ) i u(t śr ) z prawa przenoszenia niepewności. 6. Obliczyć niepewności standardowe u(r 1 ) i u(r ) metodą typu B, przyjmując niepewność maksymalną R 1 = R = 1 mm. 7. Obliczyć niepewności standardowe u() i u( ) z prawa przenoszenia niepewności. Masę M przyjąć jako znaną z pomijalnie małą niepewnością. 8. Obliczyć niepewności standardowe u(α ), u(r) i u(m) metodą typu B na podstawie działki elementarnej. Zadbać o to, żeby działka elementarna dla pomiaru kąta była wyrażona w radianach. 9. Obliczyć niepewność standardową prędkości pocisku u(ν) z prawa przenoszenia niepewności. Obliczyć niepewność rozszerzoną U(ν), przyjmując współczynnik rozszerzenia równy 3. Poprawnie zapisać końcowy wynik wraz z niepewnością. 5