LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5

Transkrypt

1 Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 5 ANALIZA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH WYBRANEGO OBIEKTU FIZYCZNEGO 1. Opis właściwości dyamiczych obiektu Typowym obiektem dyamiczym, którego opis moŝa przedstawić za pomocą liiowego rówaia róŝiczkowego jest układ zawieszeia pojazdu. Model blokowy tego układu przedstawia rysuek 1. Pojazd o masie m jest zawieszoy ad profilem drogi za pośredictwem dwóch elemetów posiadających właściwości dyamicze. Pierwszym z ich jest spręŝya, dla której zaleŝość między siłą do iej przyłoŝoą, a jej odkształceiem wyraŝa się stałym współczyikiem k. Drugim elemetem jest tłumik olejowy, dla którego siła oporu przemieszczeia tłoka i prędkość jego przemieszczaia powiązae są stałym współczyikiem B. pojazd m Y=Y 0 +y(t) k B poziom odiesieia profil drogi a U=U 0 +u(t) Rys.1. Model blokowy mechaiczego układu zawieszeia samochodu m - masa pojazdu, k współczyik spręŝystości zawieszeia, B prędkościowy współczyik tłumieia. Po zsumowaiu wszystkich sił działających w układzie i przyjęciu poziomu odiesieia model układu z rys.1 moŝa opisać rówaiem: m d 2 Y t 2 B dy t du t k Y t U t mg, (1) W staie spoczyku połoŝeie drogi ie zmieia się (przyjmijmy je a poziomie U 0 ). Nie zmieia się rówieŝ połoŝeie adwozia (przyjmijmy je a poziomie Y 0 ). W staie spoczyku takŝe pochode są rówe zero, dlatego moŝa zapisać: k Y 0 U 0 mg, (2) Podstawiając Y=Y 0 +y(t), U=U 0 +u(t) oraz wzór (2) do rówaia (1) otrzymamy zaleŝość zmia połoŝeia adwozia od zmia profilu drogi: Ćwiczeie 5 Aaliza własości dyamiczych wybraego obiektu fizyczego -1-

2 m d 2 y t 2 B dy t k y t B du t k u t, (3) Rówie (3) opisuje dyamikę zawieszeia pojazdu. 2. Cel aalizy modelu Zadaiem zawieszeia jest kompesacja zmia profilu drogi u(t) tak, aby odczuwale przemieszczeie adwozia pojazdu y(t) dla pasaŝerów było moŝliwie jak ajmiejsze. W celu uproszeia aalizy matematyczej przyjmiemy jede z gorszych przypadków, kiedy droga zmieia profil skokowo o wartość a (Rys. 1). Wówczas zadaiem projektowym jest taki dobór współczyików k oraz B aby przebiegi czasowe odpowiedzi zawieszeia a wymuszeie skokowe o wysokości a były w pewie sposób optymale. W tym przypadku jako kryterium optymale przyjmiemy brak oscylacji adwozia. 3. Program ćwiczeia 3.1. Opis układu w postaci trasmitacji operatorowej 1. Na podstawie rówaia (3) wyzaczyć trasmitację operatorową układu G(s)=Y(s)/X(s). 2. Zasymulować działaie układu zawieszeia wprowadzając skrypt zawieszeie1.m: m=1000 % mas pojazdu[kg] B=200 % współczyik tłumieia [Ns/m] k=20000 % współczyik spręŝystości[n/m] a=0.05 % skokowa zmiaa profilu drogi o 5 cm liczik=[b/k,1]; miaowik=[m/k, B/k, 1] sys=tf(liczik,miaowik) % defiicja systemu figure(10) pzmap(sys) % rozlokowaie zer i bieguów hold o figure(11) step(a*sys) % odpowiedz skokowa 3. Czy odpowiedź układu ma charakter oscylacyjy? 4. Jaki wcześiej pozay system dyamiczy ma podobą odpowiedź skokową? 3.2. Waruki oscylacji Charakter odpowiedzi skokowej systemu zaleŝy od pierwiastków rówaia charakterystyczego, czyli w aszym przypadku od bieguów trasmitacji układu. 1. Przyjmując m=1000 kg i k=20000 N/m wyzaczyć dla jakiej wartości B bieguy trasmitacji badaego układu przyjmą wartości rzeczywiste. 2. Zasymulować działaie układu zawieszeia wprowadzając skrypt zawieszeie2.m: Ćwiczeie 5 Aaliza własości dyamiczych wybraego obiektu fizyczego -2-

3 m=1000 %masa pojazdu[kg] k=20000 %współczyik spręŝystości[n/m] a=0.05 % skokowa zmiaa profilu drogi o 5 cm B=sqrt(4*k*m) %wartość graicza B dla waruku oscylacji liczik=[b/k,1]; miaowik=[m/k, B/k, 1] sys=tf(liczik,miaowik) %defiicja systemu figure(10) pzmap(sys) % rozlokowaie zer i bieguów hold o figure(11) step(a*sys) % odpowiedz skokowa 3. Przyjmując B <3000;10000> wyzaczyć bieguy odpowiedzi skokowej układu. Zasymulować działaie układu zawieszeia wprowadzając skrypt zawieszeie3.m: set(0,'defaultaxesfotsize',12) clf m=1000 %masa pojazdu[kg] k=20000 %współczyik spręŝystości[n/m] a=0.05 % skokowa zmiaa profilu drogi o 5 cm B=3000:3000:10000; for i=1:max(size(b)) disp(['b= ',um2str(b(i))]) sys=tf([b(i)/k,1],[m/k, B(i)/k, 1]) sys_zpk=zpk(sys) [zera,bieguy,wzmocieie]=zpkdata(sys_zpk,'v') xlabel(['współczyik tłumieia B= ']); gtext(['b=',um2str(b(i))]); step(sys) title(['współczyik tłumieia B= ',um2str(b(i))]); Na mapie zer i bieguów aleŝy klikąć obok pojawiających się owych zer (o). Na charakterystykach skokowych zazaczyć czas regulacji, przeregulowaie, czas arastaia Aproksymacja układem oscylacyjym Z uwagi a podobieństwo postaci miaowika trasmitacji rozpatrywaego układu z układem oscylacyjym o trasmitacji: G osc s 2 s 2 2 (4) 2 s Ćwiczeie 5 Aaliza własości dyamiczych wybraego obiektu fizyczego -3-

4 gdzie ζ - względy współczyik tłumieia, ω pulsacja drgań iegasących [rad/s] (ω =2πf), moŝa porówać parametry obydwu układów, a astępie wyzaczyć B oraz k a podstawie zadaej wartości ζ i ω. Po przekształceiu trasmitacji badaego systemu, tak aby wyraz woly przy ajwyŝszej potędze miaowika był rówy 1 otrzymamy zaleŝości: B k 2 ϖ ξ =, ϖ = (5) m m Podejście takie, mimo Ŝe ie jest precyzyje pozwala a oszacowaie parametrów B, k układu zawieszeia w sposób przybliŝoy a podstawie łatwo iterpretowalych parametrów ζ i ω. 1. Porówać odpowiedzi skokowe, rozkład zer i bieguów układu zawieszeia i układu oscylacyjego wprowadzając skrypt zawieszeie4.m: m=1000 k=20000 zeta=.2:.6:2; omega=sqrt(k/m) for i=1:max(size(zeta)) B=2*m*zeta(i)*omega; disp(['zeta= ',um2str(zeta(i))]) disp(['b= ',um2str(b)]) % aproksymacja parametrów układu zawieszeia układem oscylacyjym disp('układ zawieszeia ') sys=tf([b/k,1],[m/k, B/k, 1]) sys_zpk=zpk(sys) [zera,bieguy,wzmocieie]=zpkdata(sys_zpk,'v') xlabel(['współczyik tłumieia (zawieszeie) \zeta= ',um2str(zeta(i))]); step(sys) title(['współczyik tłumieia (zawieszeie) \zeta= ',um2str(zeta(i))]); %układ oscylacyjy disp('układ oscylacyjy') sys2=tf([omega],[1, 2*zeta(i)*omega, omega*omega]) sys2_zpk=zpk(sys2) [zera2,bieguy2,wzmocieie2]=zpkdata(sys2_zpk,'v') pzmap(sys2); xlabel(['współczyik tłumieia (układ oscylacyjy)\zeta= ',um2str(zeta(i))]); figure(40+i) step(sys2) title(['współczyik tłumieia (układ oscylacyjy) \zeta= ',um2str(zeta(i))]); Na mapie zer i bieguów aleŝy klikąć obok pojawiających się owych zer (o) lub bieguów(x). Ćwiczeie 5 Aaliza własości dyamiczych wybraego obiektu fizyczego -4-

5 2. Dla jakich wartości ζ róŝice w odpowiedziach czasowych są zaczące? (a wykresach zazaczyć czas regulacji, przeregulowaie, czas arastaia) 3. Oceić połoŝeie zer i bieguów dla trasmitacji układu zawieszeia w fukcji ζ. 4. Jaki efekt wywołuje zbliŝeie zera z bieguem? 3.4. Charakterystyki częstotliwościowe układu 1. Porówać charakterystyki częstotliwościowe układu zawieszeia i układu oscylacyjego wprowadzając skrypt zawieszeie5.m: m=1000; k=20000; zeta=.2:0.6:2; czas=0:.1:2; for i=1:max(size(zeta)) omega=sqrt(k/m); B=2*m*zeta(i)*omega; % aproksymacja parametrów układu zawieszeia układem oscylacyjym sys=tf([b/k,1],[m/k, B/k, 1]); xlabel(['współczyik tłumieia (zawieszeie) \zeta= ',um2str(zeta(i))]); bode(sys) title(['współczyik tłumieia (zawieszeie) \zeta= ',um2str(zeta(i))]); %układ oscylacyjy sys2=tf([omega],[1, 2*zeta(i)*omega, omega*omega]); pzmap(sys2); xlabel(['współczyik tłumieia (układ oscylacyjy)\zeta= ',um2str(zeta(i))]); figure(40+i) bode(sys2) title(['współczyik tłumieia (układ oscylacyjy) \zeta= ',um2str(zeta(i))]); Na mapie zer i bieguów aleŝy klikąć obok pojawiających się owych zer (o) lub bieguów(x). Ćwiczeie 5 Aaliza własości dyamiczych wybraego obiektu fizyczego -5-