Schrödingera. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok

Transkrypt

1 Wykład 0: Rówaie Schrödigera Dr iż. Zbigiew Szklarski Kaedra Elekroiki paw. C- pok.3 hp://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/

2 Rówaie Schrödigera jedo z podsawowych rówań ierelaywisyczej mechaiki kwaowej obok rówaia Heiseberga sformułowae przez ausriackiego fizyka Erwia Schrödigera w 96 roku. W ierelaywisyczej mechaice kwaowej odgrywa rolę aalogiczą do drugiej zasady dyamiki Newoa w mechaice klasyczej. Wikipedia 03 Uogólieie przez Schrödigera hipoezy de Broglie a o falowej aurze maerii dało począek mechaice kwaowej. Hipoeza de Broglie a przypisuje poruszającej się swobodie cząsce falę o określoej częsoliwości i długości. Louis de Broglie Dyfrakcja elekroów 000 el/s a dwóch szczeliach.

3 pojedycza ekspozycja s fooy/s; ałożoe 000 zdjęć W klasyczym opisie fala elekromageycza zgodie z rówaiem Mawella: E μ 0 ε 0 E Naężeie prążków ierferecyjych: I ~ E Ԧr E Ԧr E Ԧr I N liczby fooów w czasie kóre doarły do puku Ԧr 3

4 Ierferecja pojedyczych fooów? Z pojedyczym fooem związae jes pole zasadzie superpozycji. Ԧe Ԧr kóre podlega Obserwowae pole elekrycze po przejściu pojedyczego foou przez dwie szczeliy: Ԧe Ԧr Ԧe Ԧr Ԧe Ԧr Zaem dla iepodzielych fooów rówaie I ~ Ԧe Ԧr Ԧe Ԧr Ԧe Ԧr przedsawia fukcję rozkładu prawdopodobieńswa gdzie Ԧe Ԧr d 3 Ԧr pierwsza szczelia druga szczelia jes proporcjoale do prawdopodobieńswa że foo zajduje się w obszarze o rozmiarze d 3 Ԧr wokół puku Ԧr. 4

5 Fukcja falowa fal maerii Z elekroami i iymi maerialymi cząseczkami związaa jes opisaa przez de Broglie a fala maerii. Fukcja opisująca przemieszczaie się ej fali azywa się fukcją falową. Fukcja a jes częso fukcją zespoloą i dopiero jej kwadra ma ses fizyczy. Zarówo fukcje falowe pochode po położeiu muszą być: r lub jak i ich - ciągłe - jedozacze oraz - Ψ Ψ Ψ jes prawdopodobieńswem przypadającym a jedoskę długości osi zalezieia cząski w chwili w pukcie. Ta zw. fukcja falowa spełia pewe liiowe rówaie rówaie Schrödigera. 5

6 Fala de Broglie a jes reprezeowaa przez fukcję falową kóra dla przypadku jedowymiarowego dla cząski swobodej ma posać rówaia fali bieżącej. W oacji zespoloej jaką zwyczajowo sosuje się w mechaice kwaowej falę ę moża zapisać jako: Ae i k A cos kisi gdzie dla małych prędkości gdy eergia całkowia E E k E E h h k i zgodie z posulaami Eiseia i de Broglie a są rówe: h p oraz k p Eergia cząski swobodej E h m m h k 4π m ħ k m 6

7 Skoro E ħ k m oraz E więc orzymujemy zw. związek dyspersyjy i k: ω ħk m Związek fukcji falowej z zachowaiem cząski wyraża się za pośredicwem gęsości prawdopodobieńswa prawdopodobieńswa a jedoskę długości osi X zalezieia cząski w pobliżu puku o współrzędej w czasie. * * Ae Ae i k i k A A coskisi cosk isi gdzie

8 Dla przypadku rójwymiarowego: r d 3 r Wg ierpreacji Maa Bora 96r jes o prawdopodobieńswo zalezieia elekrou w chwili w sześcieym pudełku o objęości d 3 r wokół położeia wyzaczoego przez wekor r Wyika sąd że prawdopodobieńswo zalezieia elekrou gdziekolwiek w przesrzei: 3 Jes o zw. waruek r d r ormalizacyjy ormalizacja ampliudy A. Fukcje falowe sosowae do opisu cząsek akich jak elekroy o fale prawdopodobieńswa. Tam gdzie ampliuda fukcji falowej jes mała prawdopodobieńswo zalezieia cząski jes małe. Fukcje falowe mają fazy co pozwala im ierferować jak wszyskim iym falom. 8

9 PRZYKŁAD Fukcja falowa Asi jes zdefiiowaa jedyie w L obszarze 0 L. Obliczyć sałą A korzysając z waruku ormalizacji Rozwiązaie L 0 r A si d A si d L L L 0 podsawiamy u L orzymując: A L u si du 0 si u cos u skoro cos cos si si więc si u cos u 9

10 0 u u 0 si 4 L A L A? si 0 du u L A si 0 L A L A u du L A du u 0 cos u u cos si

11 Poszukiwaia odpowiediego rówaia falowego. Rówaie falowe dla sruy moża wyprowadzić z rówaia Newoa aomias rówaie falowe dla fal elekromageyczych moża wyprowadzić z rówań Mawella. Kwaowego rówaia falowego dla cząski swobodej ie da się orzymać z rówań mechaiki klasyczej. Poszukiwae rówaie falowe zosało sformułowae a podsawie asępujących posulaów: spełioa jes relacja de Broglie a: h Ԧp przyjęa zosała klasycza defiicja ie relaywisycza eergii całkowiej: E p m rówaie musi być liiowe kombiacja liiowa fukcji falowych spełia o rówaie.

12 Rozparzmy cząseczkę swobodą z. aką kórej eergia poecjala Obliczając pochode po i wyjściowego rówaia zespoloego fali: i k i Ae i k ikae Druga pochoda po : i Ae i k i k k Ae k orzymujemy: 0 Ze związku dyspersyjego k i podsawiamy do orzymując: k m wyliczamy k m m 3

13 Z pierwszej pochodej po czasie wyika że: i i i 4 Podsawiając 4 do 3 m 3 m i sąd m i Jes o ogóle rówaie Schrödigera dla cząseczki swobodej o sałej eergii kieyczej ie uwzględiamy eergii spoczykowej z. E E k. 3-D: ħ Ψ Ԧr m r iħ Ψ Ԧr lub ħ Ψ Ԧr m Ψ Ԧr iħ 3

14 4 Gdy a cząskę działa siła: Jeżeli a cząskę działa siła określoa przez eergię poecjalą zależą od położeia cząseczki o wówczas zachowaa jes eergia całkowia cząski m p E E k sąd jej eergia kieycza: E m p E k uwzględiając o w obliczeiach orzymujemy rówaie E m F

15 5 E m Zgodie z posulaem Eiseia oraz E więc osaeczie orzymujemy: 5 a i m Jes o ogóle rówaie Schrödigera dla cząseczki poruszającej się w poecjale. Lub iaczej: i m H hamiloia ˆ i

16 Hˆ i 5b Hamiloia jes operaorem działającym a fukcję falową. Warości włase ego operaora reprezeują eergię zgodie z klasyczą formułą: p E m Problem rozwiązaia rówaia Schrödigera sprowadza się do zalezieia warości własych hamiloiau i fukcji własych będących rozwiązaiem zw. iezależego od czasu rówaia Schrödigera. 6

17 Rozwiązaie rówaia Schrödigera m i Aby rozwiązać o cząskowe rówaie różiczkowe szukamy rozwiązaia w posaci iloczyu fukcji z kórych każda zależy ylko od jedej zmieej wysępującej w rówaiu. Jes o zw. meoda separacji zmieych. 5a Rozwiązaie akie isieje o ile eergia poecjala ie zależy w sposób jawy od czasu z. moża ją zapisać ylko jako. 7

18 8 podsawiając o rozwiązaie do 5a: ogólego rówaia Schrödigera d d i d d m dzieląc obusroie przez orzymujemy: 6 d d i d d m Lewa sroa rówaia 6 ie zależy od a prawa ie zależy od. Wyika sąd że wspóla dla obu sro rówaia warość musi być sała. A sała jes dla cząski 5 a i m jej eergia całkowia.

19 Prawa sroa rówaia: i d E d d d E i m i d d E i 7 d d Rozwiązaiem rówaia 7 jes fukcja e d Aby obliczyć : d e e i ie Ee zaem Osaeczie poszukiwaa fukcja zależa od czasu daa jes wzorem ie E E e cos isi 8 9

20 0 Lewa sroa rówaia 6 6 d d i d d m E d d m 9 E d d m Jes o rówaie Schrödigera iezależe od czasu eergia poecjala jes sała w czasie.

21 Poprawe fizycze rozwiązaia rówaia Schrödigera isieją ylko dla iekórych warości eergii E są o zw. warości włase. Każdej warości własej odpowiada fukcja własa. Fukcje włase i ich pochode muszą mieć asępujące właściwości: muszą być skończoe jedozacze i ciągłe. Rozwiązaiem ogólego rówaia Schrödigera 5a jes zaem fukcja falowa: e i E m i 5a Każdej fukcji własej odpowiada fukcja falowa : e.. E i

22 E i e gdzie o liczba kwaowa. Skoro każda fukcja falowa jes rozwiązaiem rówaia Schrödigera więc kombiacja liiowa ych rozwiązań eż jes rozwiązaiem ego rówaia. E i e C C C.. gdzie C C o sałe. Żądaie liiowości zapewia że będziemy mogli dodawać do siebie fukcje falowe worząc charakerysyczą dla fal ierferecję kosrukywą i desrukywą.

23 Rozwiązaie rówaia dla cząseczki swobodej Dla cząseczki swobodej moża założyć że 0 zaem rówaie Schrödigera iezależe od czasu 9 przybierze posać: m d d E Szukamy rozwiązaia w posaci 0 Ae Po podsawieiu do rówaia 0 orzymujemy: me E i m d d A e 3

24 Zaem szukae rozwiązaie ma posać: me me i i Ae Be Np. dla rozwiązaia mamy: skoro me i me me Ae A cos isi me p k więc osaeczie cosk isi ik Ae A k 4

25 Rozwiązaie dla rówaia Schrödigera zależego od czasu ma posać e lecz zgodie z posulaem Eiseia a zaem rozwiązaie o moża zapisać: i i E E e co po uwzględieiu daje: Ae i k Acos k iasi k lub Ae i pe Jes o rówaie fali bieżącej. 5