c 2 + d2 c 2 + d i, 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "c 2 + d2 c 2 + d i, 2"

Laura Małecka
4 lat temu
Przeglądów:

1 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym dodawaia jest 0, 0), a elemetem eutralym możeia jest 1, 0). Dowód. Pokażemy dla przykładu, że każdy 0, 0) elemet ma elemet odwroty względem możeia. Niech 0, 0) a, b) C. Rozważmy elemet: a a + b, b ) C. a + b Wówczas a a, b) a + b, b ) ) a + b ab ab, 1, 0). a + b a + b a + b Defiicja 3.. Ciało C, +, ) azywamy ciałem liczb zespoloych. Zwyczajowo piszemy a+ib zamiast a, b) oraz a zamiast a, 0). Liczbę a azywamy częścią rzeczywistą liczby a+bi i ozaczamy Ra+bi). Liczbę b azywamy częścią urojoą liczby a + bi i ozaczamy Ia + bi). Przykłady: 1) Sprawdzamy, że 1 i) + + 7i) 5 + i, 1 + 3i) 5i) 1) 3 5)) + 1) 5) + 3 )i i oraz 1+3i 1 + 3i) + 5i) i) i). +5i ) Podobie sprawdzamy, że i i 1. Uwaga 3.3. Poieważ, jak zauważyliśmy, i i 1, ituicyjie przyjmujemy 1i. Defiicja 3.. Niech z a + bi C. Liczbą sprzężoą z liczbą z azywamy liczbę z a bi. 3) Wprost z defiicji widzimy, że 1 + i 1 i. Twierdzeie 3.5. Niech z, w C. Wówczas: 1) z + w z + w, ) z w z w, 3) z w z w, ) z z, o ile w 0. w w Dowód. Pokażemy dla przykładu własość ). Niech z a + bi, w c + di. Wówczas skąd z w a + bi a + bi)c di) c + di c + d z w ca + bd cb ad c + d c + d i. ca + bd cb ad + c + d c + d i, 11

2 1 Z drugiej stroy z w a bi a bi)c + di) c di c + d ca + bd cb ad c + d c + d i. Defiicja 3.. Niech z a + bi C. Wartością bezwzględą albo modułem) liczby z azywamy liczbę rzeczywistą z a + b. ) Wprost z defiicji widzimy, że 3 + i Twierdzeie 3.7. Niech z, w C. Wówczas: 1) z w odległość między puktami z i w, ) z w z w, 3) z z z. Dowód. Niech z a + bi, w c + di. 1) Wprost z defiicji modułu: z w a c) + b d)i a c) +b d), co, z kolei, jest dokładie rówe odległości między puktami o współrzędych a, b) i c, d). ) Podobie jak w pukcie 1) otrzymujemy: z w ac bd) + ad + bc)i a c abcd + b d + a d +abcd + b c a c + d )+b c + d ) a + b c + d z w. 3) Podobie jak w poprzedich puktach: z a + b a + bi) a bi) z z. Defiicja 3.8. Niech z a + bi C. Niech r, φ) będą takimi liczbami, że a r cos φ, b r si φ: tj. iech r, φ)) będą współrzędymi bieguowymi puktu a, b)), a więc iech z r cos φ + ir si φ rcos φ + i si φ). Przedstawieie to azywamy postacią trygoometryczą liczby z. Kąt skieroway φ azywamy argumetem liczby z i ozaczamy argz). Kąt skieroway θ [0, π) taki, że cos θ cos argz) i si θ si argz) azywamy argumetem główym liczby z i ozaczamy Argz).

3 13 Przykłady: 5) Rozważmy liczbę z 1 + i, czyli pukt o współrzędych 1, 1) a płaszczyźie zespoloej: Z rysuku łatwo odczytujemy, że r, zaś przykładowa wartość kąta φ to π. W szczególości argumet główy liczby z 1 + i to Argz) π. Argumetami argz) tej liczby mogą też być, a przykład, liczby 9π, 17π, 5π itd. jako że si π si 9π 17π si si 5π i rówocześie cos π cos 9π 17π cos cos 5π. Tym samym przykładowe postaci trygoometrycze liczby z 1 + i to z cos π + i si π ) cos 9π + i si 9π )... ) Rozważmy liczbę z 3 i, czyli pukt o współrzędych 3, 1) a płaszczyźie zespoloej: Z rysuku łatwo odczytujemy, że r, zaś przykładowa wartość kąta φ to 11π. W szczególości argumet główy liczby z 3 i to Argz) 11π. Argumetami argz) tej liczby mogą też być, a przykład, liczby 3π, 35π, 7π itd. jako że si 11π si 3π si 35π si 7π i rówocześie cos 11π cos 3π cos 35π cos 7π.

4 1 Tym samym przykładowe postaci trygoometrycze liczby z 3 i to z cos 11π ) 11π + i si cos 3π ) 3π + i si... Twierdzeie 3.9. Niech z 1 r 1 cos φ 1 + i si φ 1 ), z r cos φ + i si φ ) C. Wówczas: 1) z 1 z r 1 r [cosφ 1 + φ )+isiφ 1 + φ ), ) z 1 z r 1 r [cosφ 1 φ )+isiφ 1 φ )], o ile z 0, 3) 1 z 1 1 r 1 cos φ 1 i si φ 1 ), o ile z 0. Dowód. Wzory te wyikają wprost ze wzorów a sumy i różice fukcji trygoometryczych zae ze szkoły średiej. Udowodimy dla przykładu własość 1): z 1 z r 1 r [cos φ 1 + i si φ 1 )cos φ + i si φ )] r 1 r [cos φ 1 cos φ si φ 1 si φ )] + icos φ 1 si φ + si φ 1 cos φ )] r 1 r [cosφ 1 + φ )+i siφ 1 + φ )]. 7) Rozważmy postać trygoometryczą liczby 1 + i) 3 i). W poprzedich przykładach sprawdziliśmy, że oraz 1+i cos π + i si π ) 3 i cos 11π ) 11π + i si. Wobec tego postać trygoometrzycza liczby 1 + i) 3 i) to: cos 5π 5π + i si 1 1 ). Zauważmy przy tym, że wobec czego 5π 1 π 1 + π 1 π + π 1 cos π 1 cos π π oraz si 1 1 si π 1 i liczbę 1 + i) 3 i) możemy też zapisać jako 1 + i) 3 i) cos π 1 + i si π 1 ). Tym samym posługując się postacią trygoometryczą liczb zespoloych możemy wyzaczyć dokłade wartości fukcji trygoometryczych kąta π 1. Istotie: 1 + i) 3 i) 3 + 1) + 3 1)i ) i ) + + i,

5 co po porówaiu z postacią trygoometryczą liczby 1 + i) 3 i) daje cos π 1 + oraz si π 1. Wiosek 3.10 de Moivre). Niech z rcos φ + i si φ) C, iech N. Wówczas z r cos φ + i si φ). 8) Przy pomocy wzorów de Moivre a potęgowaie potrafi być aprawdę szybkie. Obliczmy dla przykładu 1 + i) 10. Sprawdziliśmy już, że 1+i cos π + i si π ). Wobec tego Ale z drugiej stroy i wobec tego cos 10π cos π i liczbę 1 + i) 10 możemy zapisać jako 1 + i) 10 3 cos 10π ) 10π + i si. 1 + i) π 8π + π π + π cos π + i si π oraz si 10π si π ) i) 3i. Twierdzeie Niech z rcos φ+i si φ) C, iech N. Wówczas z ma różych pierwiastków stopia daych wzorem w k r cos φ +kπ + i si φ +kπ ), gdzie k {0, 1,..., 1}. Dowód. Niech w C będzie taką liczbą, że w z i iech w scos θ + i si θ). Wówczas s cos θ + i si θ) rcos φ + i si φ), skąd s r oraz Tym samym, wobec okresowości fukcji cos i si cos θ cos φ i si θ si φ. θ φ +kπ, dla k N, a więc θ φ+kπ, dla k N. Zauważmy jedak, że dla k : φ +kπ cos φ+lπ φ + + l)π φ +π +lπ π + φ +lπ, skąd cos φ+kπ i si φ+kπ si φ+lπ. Wobec tego otrzymujemy tylko różych liczb i wystarczy rozpatrywać k {0,..., 1}. 15

6 1 9) Wyzaczymy wszystkie pierwiastki stopia z liczby. Sprawdzamy, że 1 + 0i) cos π + i si π). Wobec tego pierwiastki stopia z wyrażą się astępującymi wzorami: w 0 cos π + i si π ) ) 3 + i1 w 1 cos 3π + i si 3π ) cos π + i si π ) 0 + i1) i w cos 5π + i si 5π ) [ cos π π ) + i si π π )] cos π + i si π ) ) 3 + i1 w 3 cos 7π + i si 7π ) [ cos π + π ) + i si π + π )] cos π i si π ) ) 3 i1 w cos 9π + i si 9π ) [cos π + π)+isi π + π)] cos π + i si π) 1+i0) w 5 cos 11π ) 11π + i si [ cos π π ) cos π i si π ) ) 3 i1. + i si π π )]

Podobne dokumenty

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3