CZASOPISMO T MIESIĘCZNIK POŚWIĘCONY ZAGADNIENIOM TECHNIKI I ARCHITEKTURY MIEJSKA KOLEJ ELEKTRYCZ W KRAKOWIE
|
|
- Jarosław Borkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CZASOPISMO T MIESIĘCZNIK POŚWIĘCONY ZAGADNIENIOM TECHNIKI I ARCHITEKTURY Kraków Wrzesień Paździerik 1947 Nr LECIE KRAKOWSKIEGO TOW. TECHNICZNEGO 60-LECIE CZASOPISMA TECHNICZNEGO" MIEJSKA KOLEJ ELEKTRYCZ W KRAKOWIE UL. ŚW. WAWRZYŃCA 13/15 NR TELEFONU /76 SKRYTKA POCZTOWA NR 751 RACHUNKI BIEŻĄCE: BANK HANDLOWY ODDZIAŁ KRAKÓW K. K. O. MIASTA KRAKOWA NR I N S P E K C J A (OBOK POCZTY GL) NR TELEFONU R E M I Z A N A R Y D L Ó W C E NR TELEFONU M-19778
2 Nr 9 10 CZASOPISMO TECHNICZNE 159 Iż. Dr. WITOLD NOWACKI DRGANIA POPRZECZNE I WYBOCZENIE UKŁADU RAMOWEGO JAKO PROBLEM ŁĄCZNY A) W mechaice ciał doskoale sztywych stosuje się zazwyczaj miarą dyamiczą do określeia stopia stateczości układu. Wychylając ciało z położeia rówowagi badamy czy układ wraca do położeia rówowagi w sposób powoly czy szybki. Przy zaczym stopiu stateczości układu otrzymamy zaczą częstotliwość drgań; dla zmiejszającego się stopia stateczości częstość drgań maleje dążąc ze zbliżeiem się do graicy stateczości do zera. Okres drgań własych względie częstotliwość drgań staowi tu dyamiczą miarę iestateczości. Dyamiczą miarę iestateczości rozszerzoo 1 a ciała sprężyste. Proste doświadczeie wykoae przez A. Sommerfelda*) i poparte rozważaiem teoretyczym stwierdza że smukły pręt pioowy wprowadzoy w drgaia poprzecze drga 2 większą częstotliwością w położeiu (rys. la) iż w położeiu jak a rys. lb. W pierwszym położeiu ciężar własy pręta wywołuje w pręcie aprężeia ściskające a przy wy- <*) chyleiu pręta z położeia rówowagi momet sił ciężkości II przeciwstawia się mometowi sprowadzającemu pręt do położeia rówowagi. W drugim położeiu ciężar własy wywołuje rozciągaie a momety I i II działają w tym samym kieruku. Jeżeli w położeiu pierwszym pręta a szalce S położymy ciężarki to ze wzrostem obciążeia częstotliwość drgań własych stopiowo zmiejszy się. Dla częstotliwości co > 0 obciążeie i ciężar własy pręta zdążają do obciążeia krytyczego pręta a wyboczeie. Belka w dwóch puktach podparta swobodie ściskaa siłą podłużą i wprowadzoa w drgaia poprzecze zmieia częstotliwość drgań własych w zależości od wielkości siły podłużej według wzoru : to. *) A. Sommerfelcl: Eie eiufache Vorrichtus; zur Veraschaulichug des Kickyorgag-es". Z. V. D. J Str I. gdzie co Q jest częstotliwością drgań własych przy braku siły podłużej (S = 0) 2 jr "k = -ffr- jest częstotliwością drgań własych O k przy S I 0 " \1 jest siłą krytyczą wyboczeia. Z rówaia (a) wysuć moża astępujące wioski: a) Częstotliwość drgań własych OJ^ zmiejsza się ze wzrastającą siłą podłużą i dla S» Sk dąży do zera. b) Częstotliwość drgań własych wzrasta ze wzrostem siły rozciągającej S. c) W wypadku drgań wymuszoych astępuje ze wzrostem tu zmiejszeie siły krytyczej pręta. Powyższe twierdzeie zawdzięczamy L. Eulerowi. Związek (a) staowi dyamiczą miarę wyboczeia. Z pewym przybliżeiem związek te będzie słuszy dla prętów o zmieym przekroju i odmieych rodzajach utwierdzeia końców pręta. Z miary dyamiczej wyboczeia korzysta się praktyczie przy określaiu sił krytyczych dla wież masztów gdzie a modelu lub w aturze określeie okresu drgań własych ie astręcza większych trudości; trudość staowi określeie sztywości a zgiaie układu (odpowiedik EJ dla pręta). Poiżej zajmiemy się układami ramowymi ieprzesuwymi o prętach drgających poprzeczie i jedocześie ściskaych lub rozciągaych. B) Rozważmy dowoly płaski ieprzesuwy układ ramowy składający się z prętów prostych. Niech siły działają jedyie w węzłach wywołując w prętach w staie statyczym wyłączie siły podłuże. Przekroje prętów iech będą tak dobrae że wyboczeie astąpić może jedyie w płaszczyźie układu ramowego. Zakładamy ieściśliwość prętów pomijając wpływ sił podłużych a odkształceie układu i pomijając wpływ drgań podłużych prętów. Zakładamy dalej że wszelkie założeia teorii wyboczeia jak i drgań własych są spełioe a problem zacieśioy do obszaru odkształceń sprężystych. Ze względu a ieraz bardzo wysoką statyczą iewyzaczalość układu ramowego stosujemy metodę odkształceń przyjmując kąty obrotu węzłów jako wielkości adliczbowe geometrycze. Jeżeli układ ramowy wychylimy z położeia rówowagi i w sposób agły usuiemy przyczyę wychyleia układ wykoywać zaczie poprzecze drgaia swobode. Jeśli pomiąć wpływ tłumieia
3 160 CZASOPISMO TECHNICZNE Nr 9 10 zewętrzego i wewętrzego to drgaia te ie Mj = zaikają ai ie zmiejszają swych aplitud.. r / o\ " J_ / o\ Z układu ramowego wyodrębijmy pręt J-K. M K = m [s (a p) c Pj + c (a p) cp K ] Na końcach pręta wykoujących drgaia włase gdzie : (3) powstają momety o amplitudach Mj MK oraz 2 2 kąty obrotu o amplitudach cpj cpu. fet j3) = c Rówaie różiczkowe problemu brzmi: EJ ṯfiy (i) Cos 8 si e e cos e Si 8 Si8sis(S 2 -s 2 )-28e(CosScosE 1) rys. 2. u. = masa pręta a jedostkę długości. Zakładając: y (x t) = y (x) si co t przy arazie iezaej postaci drgań y (x) i częstotliwości drgań '.o = -=- przekształcamy cząstkowe rówaie różiczkowe (1) a zwyczaje rówaie różiczkowe Ozaczając dla skróceia: EJ' EJ 2 " 4 i r ' 2 (1') otrzymamy całkę ogólą rówaia (1') w postaci: y(s) = Cj Cos 85 + C 2 Si S + C 3 si ss + +- u 4 cos 85 Z waruków brzegowych: Mj 5 = 0: y(0) = 0 y"(0) = EJ I 2 ' J x T EJ I 2 (Z) wyzaczymy stałe C 4 jako fukcje mometów przy węzłowych Mj MK. Jeżeli tak określoe stałe C y C 4 wstawimy do zależości y'(0) = /l; 9j y'(l) = 9 /l K i POwyższe rówaia rozwiążemy względem M i M K dojdziemy do astępujących rówań: e Si 5 8 si Si 8 si e (5 2 - e 2 ) e (Cos 8 cos e 2 EJ m = 1 S = 0 otrzy- W wypadku szczególym a = 0 mamy: gdzie: Ł 2 Si j3 si p 1 Cos p cos p ' Cos si /? Si js cos (9 1 -C os; cos/? 1) (3a) W wypadku a =/ 0 /? = 0 rówaie (3) przechodzi a: gdzie: M. =! m [c (a) <pj 4- s(a)cp K ] M K = m[s(a)cpj H- c (a) cp K ]. a ' 2 sia a cos oc 2 (1 cos a) a si cc a cc sia 2 2 (1 cos a) a si a " <3b) Wreszcie dla a * 0 /3 > 0 przechodzimy z problemu dyamiczego a problem statyczy: c (a $-> 2 s(a//)->l. Mj = m (2 rpj + cp K ); M K = m (<Pj + 2 cp K ) (3c) Jeżeli p. w węźle J istieje przegub to Mj = 0. Elimiując z pierwszego i drugiego rówaia (3) wielkość f p uzyskamy: gdzie: M = 0; M K = m^(cc /5) cp K (4) ć (a /]) = ii^-. 5 C t g 8i e c t g W wypadku siły rozciągającej ależy w rówaiu (4) w miejsce cc wstawić a y 1 co w kosekwecji prowadzi do zamiay S a e w tych rówaiach. C) Rama ieprzesuwa o r węzłach wolych jest układem r-krotie geometryczie iewyzaczalym. Odpowiedią ilość rówań warukowych
4 Nr 9 10 CZASOPISMO TECHNICZNE 161 otrzymamy ze zrówoważeia węzłów (sprowadzając w myśl zasady d'alemberta zag-adieie dyamicze do statyczego). Suma amplitud mometów przywęzłowych dowolego węzła a ramy wia być dla każdej chwili t ~ t 0 rówą zeru. Przy r węzłach układu ramowego otrzymamy r rówań typu Z Mai «= Mab + Mac - Mad + Mae =- 0 (5) Po wprowadzeiu do wielkości Mai związków (3 4) uzyskamy układ r rówań liiowych wzglę- Jeżeli w węźle a działa momet Msi«'t wywołujący drgaia wymuszoe układu przy stałej częstotliwości w to zrówoważeie węzła a daje: (Mab + Mac + Mad) si c t = M si a' t Przy stałym co a tym samym przy stałym (i moża wyzaczyć siłę krytyczą S wywołującą ziszczeie układu. W tym wypadku przy cp a > co otrzymamy jako waruek wyboczeia D tt - 2 c (/?) + c (a /J) = 0 /} - cost. (II) Rówaie (II) określi zmiaę siły krytyczej SK w zależości od zmieiającej się częstotliwości drgań własych. Dla a = 0 Dg = 3 c (/?) = 0 rówaie warukowe drgań własyi h bez udziału siły podłużej. Dla /? = 0 D a --= 4 + c(cc) = 0 otrzymujemy rówaie warukowe wyboczeia układu. Zrówoważeie węzłów 1 i 2 układu ramowego rys. 5 daje układ dwóch rówań: +c(a/?)]<p 2 = 0. dem <p i jedorodych. Układ jedorodych rówań warukowych będzie tylko wtedy iesprzeczym (pomiąwszy rozwiązaie trywiale cp 0) gdy wyzaczik układu rówań D (a /?) będzie rówy zeru. Waruek D (a fj) daje rówaie przestępe o oo ilości pierwiastków /5. Najmiejszy z ich określi podstawową częstotliwość drgań własych. I tak dla układu ramowego (rys. 4) zrówoważeie węzła daje łl Mab + Mac + Mad - 0 Mab = mc(/3) cp a ; J.l. Mad = mc(a Wyzaczik układu przy postać: CL 0Lu d Mac - mc(/?)(p m a Ilu. rys cost. przyjmie 0 - o (i) Rówaie (1) określi zmiaę częstotliwości drgań własych wywołaą siłą S. rys. 5. Rozwiązaie wyzaczika układu rówań prowadzi do dwóch rówań warukowych: s(/3) + c(cc 9) = 0 itf) + c(o/!) = 0 (III) Pierwsze rówaie przedstawia arytmetyczą (tp i =*(p 2 ) drugie symetryczą postać wygięcia układu ramowego. Wypadek ji = 0 daje c (a) + 3 = 0 W wypadku a = 0 otrzymamy c (a) + 1 = 0. 3 c OS) + s (/3) = 0 Dla większej ilości węzłów układu ramowego wyzaczeie pierwiastków D («fj) = 0 astręcza zacze trudości rachukowe. W tym wypadku duże usługi może oddać algorytm Gauss'a.
5 162 CZASOPISMO TECHNICZNE Nr 9 10 Wyzaczik układu rówań liiowych jedorodych : "-I a k! cp. = 0 (k = 12 ) (IV) /i = 1 moża przedstawić w postaci: \ ' r / ^ * a * ' k gdzie a k k~ 1} (a ft) jest współczyikiem przy 'p K w pierwszym rówaiu (k ~ l)-szej elimiacji. Przy zadaym p. a cost. przyjmujemy za /? koleje wartości otrzymując coraz to ie układy rówań (IV) a po wykoaiu elimiacji coraz to owe wartości D (a /3) ze wzoru (V). Rówaie (V) przedstawia krzywą której pierwiastki dają koleje wartości P x /J 2... W wypadku regularych układów ramowych zacze uproszczeie otrzymamy stosując rówaia różicowe. I tak dla ramy ciągłej rys. 6. zrówoważeie węzła x daje : ivl x x - 1 ^ lvl x x + 1 -r J I X( x U albo: cp x _x s (/3) +?K[2 c (/O + c (a p) k] + gdzie k = m 0 m 7AY/////. 4 i 4- m - ~ fhi\ A ' * V s rys.6. Ł-H 1 f gięcia dającą ajmiejsze pierwiastki rówaia (VIII) uzyskamy jedyie dla j = 1. W tym wypadku: 2 s (/?) cos = kc (a /3) + 2 c (j8). Rówaie to przy fi cost. daje ieskończoą ilość pierwiastków ci przy a cost. ieskończoą ilość pierwiastków /?. Najmiejszy z pierwiastków cc określi ajmiejsza wartość siły krytyczej przy drgaiach wymuszoych częstotliwością tu ajmiejszy z pierwiastków /S częstotliwość drgań podstawowych przy działaiu siły podłużej. Dla - dla cc. 0 s (/?) = -is- + i = --o p =0 kc(a) + 2 =0. o00 Rozważmy jeszcze regularą ramę piętrową (rys. 7) o jedakowych geometryczych i sprężystych właściwościach słupów i rygli. Niech układ ramowy podlega drgaiom wymuszoym spowodowaym mometem M si co działającym w węźle x y. Zrówoważeie węzła x y daje rówaie warukowe: (M x Mx X - \ + My y - r I + My y _ 1 ) SmCD = -Msiu> ( 6 ) Rygle ramy dozają drgań poprzeczych bez udziału sił podłużych. Wstawiając do rówaia (6) wielkości mometów przywęzłowych według wzorów (3) i (3a) otrzymamy rówaie: k(s?x y + 1 S 0? x -i y + s? M.i)= < 6a > m 0 Rozwiązaiem tego rówaia różicowego będzie: <p x = A cos ax + B si ax (VII) Wstawiając <p do waruków brzegowych zadaia : x = 0 cp Q = 0 x = 9 = 0 uzyskamy : A = 0 si a -= 0? x = B si j i- i-012. Wstawiając 'f x z rówaia (VII) do rówaia (VI) otrzymamy astępujące rówaie warukowe problemu: 2 [ s 0?) cos j + c OS)] - - kc (a 3) (VIII) Z wartości j = wstawiamy do rówaia (VIII) wielkość j = 1 gdyż j =0 j = przeczy założeiom a możliwą postać wym r rys.7. m sia)
6 Nr 9-10 CZASOPISMO TECHNICZNE 163 m m 0 s o s o (A>) i c = c(a /?) 1/ my = EJ 0 ' ^" _S_ EJ c o *" Co (A>)' s = s(ct/s) Dla pozostałych węzłów otrzymamy jedorode rówaia typu (6a). Jeżeli przy drgaiach wymuszoych okres drgań wymuszoych pokrywa się z okresem drgań. własych lub też przy braku mometu wymuszającego drgaia wymuszoe zależy am a określeiu okresu drgań własych wyzaczik układu rówań gatukowych wypisaych dla wszystkich węzłów wolych wiie być rówy zeru. Wyliczeie wyzaczika układu rówań jedorodych omiiemy traktując układ rówań: Ej s<>?* +1. y + 2 c 0 'f y + s 0?x -1 y + + k (?y + i.x s + 2 c <p xy + s <p _i) = 0 y x =012 y = 012' p. (7) jako cząstkowe rówaie różicowe drugiego rzędu. Przedstawiając 'f xy jako iloczy dwóch fukcji X i Y y z których pierwsza zależa jest od x druga od y ( f f xy = X x Y y ) sprowadzamy rówaie różicowe cząstkowe do układu dwóch rówań różicowych zwyczajych: gdzie (2 -SŁ - _i =0; X jest wielkością stałą. Rozwiązaiem rówań (8) będzie: rówaia (9) do rówań (8) otrzy- Wstawiając mamy : Xx = A cos ax + B si ax; Y y = C cos bx + B si bx X do- 2cosa + (2-^-- )=0; V s 0 s 0 / i * W 2cosb + (2 H =-1 == 0. V s sk/ Elimiując z ostatich rówań wielkość chodzimy do astępującej zależości: s 0 cos a + ks cos b = (c 0 + kc) (11) Ograiczymy się do ramy utwierdzoej całkowicie wzdłuż koturów. Otrzymamy w tym wypadku proste waruki brzegowe: x =0 X o = 0; y= 0 i= X = 0; y=p Y o = 0 Y p =0. Wprowadzeie tych jedorodych waruków brzegowych do rówaia (9) daje: A - O j C = O j B si a = O ; D si bp = O albo a= (i = ) p). Przy tak określoych wartościach a i b rówaie (11) brzmi: s 0 cos "- + k scos = (C o - kc) (12) p Rówaie (12) jest rówaiem warukowym problemu. Rozważmy jeszcze które?. wielkości i j wchodzą w rachubę. Kąt obrotu 'fy jest iloczyem fukcji X x i Y y. 9i y = Xi Y y = B D si x si - v. p - Wielkości i=0 i= j=0 j=p odpadają gdyż sprowadzają f^y do zera dla każdego x i y co przeczy założeiom. Z pozostałych wartości i j w rachubę wchodzą jedyie wartości i = 1 oraz j = p 1 gdyż jedyie dla tych wartości węzły fali pokrywają się z węzłami układu ramowego. Otrzymujemy zatem przy i = 1; j p 1 astępujące rówaie warukowe: S cos + ks cos = c 0 T kc (13) p Rozważmy wypadki szczególe a) /? = 0. Problem wyboczeia ramy s 0 = 1 c 0-2 cos 1- ks (a) cos = 2 + kc (a) (a) p Rówaie (a) daje <x> ilość pierwiastków ci;. Najmiejszy z ich określi Ok mi ^i i 2 Dla = p oraz k = 1 wyliczoo << dla wzrastającej ilości przęseł (rys. 8) -cos [l + i(«)l-2 + c («)...»- J o- r O i rys.3. (b)
7 164 CZASOPISMO TECHNICZNE Nr 9-10 b) W wypadku a ~ O w wypadku drgań własych bez udziału siły osiowej przy k =* 1 = P " Po i P > otrzymamy z rówaia (13): cos = s(0) Si/3 Cos /3 si /J Si/3 cos/3 si/3 Z rówaia (c) wyliczoe ajmiejsze pierwiastki j3\ przy wzrastającej liczbie przęseł aiesioo a rys. 9. Wartości p'i maleją asymptotyczie do wartości tt. Dla»> oo u) t "W"!/ otrzy- (c) mujemy częstotliwość drgań własych taką jak dla belki w dwóch puktach swobodie podpartej. Wpływ utwierdzeia bardzo silie maleje ze wzrostem ilości przęseł. Rozważmy jeszcze wypadek sił rozciągających S. Dla k = oo i J o 0 otrzymamy belkę ciągłą 01 p. Rówaie (13) uprości się w tym wypadku do prostej postaci: cos P c (a /?) EJ u. = s a 3.14 Dla ieskończoej ilości przęseł p mamy: c (a /)') = s (cc ji) albo : otrzy- rys.9. e si \t Cos s cos 8 Si 6 (d) Z przeliczeń wyika że ze wzrostem S wzrasta częstotliwość cu.
u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY
Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe
Bardziej szczegółowoUkłady liniowosprężyste Clapeyrona
Układy liiowosprężyste Clapeyroa Liiowosprężysty układ Clapeyroa zbiór połączoych ze sobą ciał odkształcalych, w których przemieszczeia są liiowymi fukcjami sił Układ rzeczywisty może być traktoway jako
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)
MATRIAŁY POMOCNICZ DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MDYCYNI (wyłączie do celów dydaktyczych zakaz rozpowszechiaia) 4. Drgaia brył prętów, membra i płyt. ****************************************************************
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoW wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch
Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi
Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
Ć w i c z e i e 6 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ 6.1 Opis teoretyczy W ośrodkach sprężystych wytrąceie pewego obszaru z położeia rówowagi powoduje drgaia wokół tego położeia.
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoRozdział 5: Drgania liniowych układów ciągłych
WYKŁAD 9 Rozdział 5: Drgaia iiowych układów ciągłych zęść 1: Drgaia swobode stru, prętów i wałów 5.1. Wiadomości wstępe o ciągłych układach drgających W dotychczasowych rozważaiach rozpatrywaiśmy układy
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoMec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoNAUKOWE OSIĄGNIĘCIA MECHANIKI W WALCE 0 POSTĘP W BUDOWNICTWIE
WYDAWNICTWO MINISTERSTWA BUDOWNICTWA Nr 37 NAUKOWE OSIĄGNIĘCIA MECHANIKI W WALCE 0 POSTĘP W BUDOWNICTWIE CZĘŚĆ III, ZESZYT I z materiałów adesłaych a Zjazd Naukowy PZITB w Gdańsku 1 4 grudia 1949 r. WYDANO
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r 3 BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie szeregu zjawisk związaych z drgaiami
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoPomiary drgań rezonansowych wywołanych niewyważeniem wirnika
Pomiary drgań rezoasowych wywołaych iewyważeiem wirika Zakres ćwiczeia 1) Idetyfikacja drgań wywołaych: a iewyważeiem statyczym wirika maszyy elektryczej, b - iewyważeiem dyamiczym wirika maszyy elektryczej,
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoStyk montażowy. Rozwiązania konstrukcyjnego połączenia
Styk motażowy Rozwiązaia kostrukcyjego połączeia Z uwagi a przyjęcie schematu statyczego połączeie ależy tak kształtować, aby te połączeie przeosiło momet zgiający oraz siłę poprzeczą. Jako styk motażowy,
Bardziej szczegółowoPłaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2
Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowo( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoRównania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoRozdział 5: Drgania liniowych układów ciągłych. , częstości własnych
WYKŁAD Rozdział 5: Drgaia iiowych układów ciągłych Część : Drgaia wymuszoe eek 5.8. Drgaia eki wymuszoe rozłożoą siłą harmoiczą Rozatrzmy teraz ekę dowoie odartą a ou swych końcach, ez dołączoych uktów
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoTermodynamika defektów sieci krystalicznej
Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Rówaia różiczkowe Niech F: +, y: Def. Rówaiem różiczkowym zwyczajym rzędu azywamy rówaie postaci F(,y,y,y,, y () ) = (*) Rozwiązaiem rówaia (*) azywamy każdą fukcję y=y() taką, że po wstawieiu do rówaia
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 1 Pla wykładu Co to są szeregi Fouriera? Sposoby budowaia rozwiązań mającyc postać szeregów Rówaiepłyty Ilustracja metody szeregów Fouriera a przykładzie zgiaej płyty. 1
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoDRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM VIBRATION OF BEAM WITH TWO-PARAMETER ELASTIC FOUNDATION
JEMIELITA Grzegorz 1 KOZYRA Zofia drgaia, belka, odłoŝe sręŝyste DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM Praca dotyczy wyzaczaia drgań belki a dwuarametrowym odłoŝu sręŝystym obciąŝoej symetryczie
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowo