Rozdział 5: Drgania liniowych układów ciągłych
|
|
- Nadzieja Walczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD 9 Rozdział 5: Drgaia iiowych układów ciągłych zęść 1: Drgaia swobode stru, prętów i wałów 5.1. Wiadomości wstępe o ciągłych układach drgających W dotychczasowych rozważaiach rozpatrywaiśmy układy drgające o skończoej iczbie stopi swobody. Pamiętamy, że układy takie (zwae też układami o masach skupioych ub układami dyskretymi) składają się z puktów materiaych ub brył sztywych połączoych ze sobą za pomocą różego rodzaju łączików, w tym eemetów sprężystych i tłumiących. Rówaia drgań tych układów są rówaiami różiczkowymi zwyczajymi. W przyrodzie i w urządzeiach techiczych występują i podegają drgaiom ciała odkształcae, których ie moża zamodeować za pomocą puktów materiaych ub brył [1]. Masa tych eemetów, a także ich parametry sprężyste i tłumiące są rozłożoe w sposób ciągły w ich objętości, datego układy takie azywamy układami ciągłymi. Przekoamy się, że ich rówaia drgań są rówaiami różiczkowymi cząstkowymi [3]. Do układów ciągłych aeżą p. beki, membray, płyty i powłoki. W daszym ciągu zajmiemy się drgaiami szczegóej kasy układów ciągłych, zwaych układami jedowymiarowymi. Masa jest w ich rozłożoa wzdłuż iii prostej, co ozacza, że ich długość zacze przewyższa wymiary przekroju. Rozważae będą cztery astępujące układy ciągłe: strua drgająca poprzeczie, pręt drgający podłużie, pręt drgający skrętie, czyi wał oraz pręt drgający giętie, czyi beka. Wyprowadzimy rówaia ruchu drgającego tych układów oraz poddamy je aaizie pod kątem drgań swobodych i wymuszoych, zwracając uwagę a te właściwości, które odróżiają układy ciągłe od układów dyskretych, badaych w poprzedich rozdziałach. Będziemy zakładać, że wszystkie te układy mają przekrój stały co do kształtu i poa powierzchi. Uwagi 1. Strua, w odróżieiu od beki, ie ma sztywości giętej, datego wprawieie jej w drgaia poprzecze (p. struy gitary) wymaga jej aciągu wstępego, który staje się podstawowym parametrem struy. 11
2 . Wał jako eemet apędowy, ma a ogół przekrój kołowy ub pierścieiowy. Moża sobie wyobrazić wał o przekroju dowoym, p. kwadratowym ub trójkątym, jedak tymi przypadkami ie będziemy się daej zajmować. 3. Pręt i wał mogą stać się bekami, jeśi zostaą odpowiedio podparte i obciążoe siłami zgiającymi ub zostaą im adae waruki początkowe typowe da beek. 4. W praktyce często występują drgaia sprzężoe, p. drgaia gięto-skręte wałów apędowych. W tym wykładzie jedak, poszczegóe układy drgające i typy drgań będą aaizowae oddzieie. 5. Układaie rówań ruchu układów ciągłych ie było rozważae w kursie Mechaiki ogóej, przedmiotem której były układy ciał sztywych, a rówaia ruchu wyikające bezpośredio z prawa Newtoa ub z rówań Lagrage a, były rówaiami różiczkowymi zwyczajymi. Rówaia układów ciągłych są rówaiami cząstkowymi. W rozpatrywaych daej układach jedowymiarowych występują dwie zmiee iezaeże. Jedą z ich jest czas, a drugą współrzęda przestrzea okreśająca położeie przekroju układu (struy, pręta, wału ub beki) w przyjętym układzie współrzędych. 6. Układy ciągłe mogą być poddae obciążeiom rozłożoym w sposób ciągły wzdłuż układu i zaeżymi od czasu. Obciążeń takich ie zastępujemy siłami skupioymi, poieważ zasady redukcji sił pozae w mechaice ogóej obowiązują tyko w przypadku sił działających a ciała sztywe. 5.. Drgaia swobode struy Rówaie drgań poprzeczych struy Rozpatrzmy drgaia poprzecze ciekiej struy o przekroju poprzeczym A, wykoaej z materiału o gęstości i modue Youga E, apiętej wstępie siłą S między ieprzesuwymi podporami (Rys. 5.1a). Założymy, że przemieszczeia poprzecze struy opisae fukcją y ( x, są małe w porówaiu z długością struy, co będzie uprawiać do pewych przybiżeń, które doprowadzą do iiowego rówaia struy. Rys ieka strua jako układ ciągły: a) zamocowaie i przemieszczeie, b) eemet struy do budowy rówaia ruchu 1
3 Nieskończeie krótki eemet struy wycięty przekrojami poprzeczymi o współrzędych x oraz x dx pokazao a Rys. 5.1b. Eemet te jest podday sie wewętrzej ormaej do przekroju struy, a więc styczej do iii struy y( x, że siła ta ie zmieia się wzdłuż struy i rówa się jej wstępemu aciągowi. Założymy, S. Eemet struy jest zakrzywioy, zatem kąt achyeia styczej do iii struy a końcach eemetu różi się o eemetarą wiekość d i wyosi odpowiedio oraz d. Ruch eemetu struy w kieruku osi y opisuje astępujące rówaie wyikające wprost z prawa Newtoa: y dm S si( d) S si, (5.1) t gdzie dm Adx oraz d dx. Przy założeiu małych przemieszczeń ( x są rówież małe i moża przyjąć astępujące uproszczeia: y ), kąty y si( d) d, tg. (5.) x Poieważ y y dx dx, więc rówaie drgań struy przyjmuje postać: x x x d s y a t y S, gdzie as. (5.3) x A Rówaie (5.3) jest jedorodym rówaiem różiczkowym cząstkowym, zaym w matematyce jako rówaie faowe typu hiperboiczego. Do rówaia tego aeży dołączyć waruki początkowe w iczbie, które mają postać fukcji zmieej x: y WP1: y( x,) y(, WP : ( x,) ( (5.4) t oraz waruki brzegowe, okreśające waruki podparcia a obu końcach struy: WB 1: y(,, WB : y(,). (5.5) Uwagi 1. Fukcje opisujące waruki początkowe (5.4), jako fukcje zmieej x muszą spełiać waruki brzegowe (5.4).. W tej części wykładu ograiczymy się do zerowych waruków brzegowych (5.5). aeży jedak zazaczyć, że podpory struy mogą wykoywać zaday ruch drgający. Mówimy wtedy o iejedorodych warukach brzegowych, które są źródłem wymuszeia kiematyczego struy. Zagadieie to rozważymy badając drgaia wymuszoe. 13
4 Rozwiązaia rówaia (5.3) będziemy poszukiwać w postaci ioczyu fukcji o rozdzieoych zmieych: y( x, X ( T(. (5.6) Przyjęta postać rozwiązaia pozwoi zdekompoować rozpatryway probem drgań a dwa zagadieia i odpowiadające im rówaia zagadieie brzegowe dotyczące fukcji X ( czyi kształtu struy w każdej chwii oraz zagadieie początkowe dotyczące fukcji T ( opisującej przebieg czasowy drgań każdego puktu struy. Podstawiając rozwiązaie (5.6) do rówaia ruchu (5.3), otrzymujemy: X X ( 1 T ( T ( as X ( T(. (5.7) X ( a T( ( s Lewa i prawa stroa drugiego rówaia (5.7) są fukcjami argumetów obie stroy były sobie rówe da wszystkich x,t x oraz t, zatem aby, powiy być rówe pewej stałej ujemej (w ruchu harmoiczym przyspieszeie i przemieszczeie są przeciwych zaków). Ozaczmy tę stałą przez k zwae rówaiem zagadieia brzegowego oraz. Drugie rówaie (5.7) geeruje dwa astępujące rówaia: X ( k X (, (5.8) T ( k a T(, (5.9) które opisuje zagadieie początkowe. Waruki brzegowe rówaia (5.8) wyikają bezpośredio z waruków brzegowych rówaia struy i mają postać: s X ( ), X ( ). (5.1) Waruki początkowe rówaia (.95) wyikają oczywiście z waruków początkowych (5.4), ae ich sformułowaie wymaga ajpierw rozwiązaia zagadieia brzegowego. Typ rówaia różiczkowego (5.8) jest am dobrze zay. W dziedziie czasu było to rówaie oscyatora harmoiczego. Jego rozwiązaie ogóe w dziedziie zmieej x jest astępujące: X ( Acoskx Bsi kx, (5.11) gdzie A, B są stałymi całkowaia, a k jest iezaym a razie parametrem. Waruki brzegowe (5.1) prowadzą do układu rówań a stałe X () X ( ) z których wyika, że przy B, musi być: A, B : A, Bsi k, (5.1) si k. (5.13) 14
5 Rówaie (5.13) jest spełioe da ieskończoego ciągu iczb dodatich: k, ( N ). (5.14) Liczby te azywamy wartościami własymi zagadieia brzegowego struy. Każdej wartości własej k odpowiada fukcja własa: X ( B si k x, (5.15) gdzie stała B może mieć dowoą wartość, gdyż ie jest możiwe wyzaczeie jej z jedorodego układu rówań (5.1). Możemy zatem przyjąć bezwymiarową. Odpowiedią jedostkę całemu rozwiązaiu B 1 y( x, i traktować jako iczbę ada wówczas fukcja T (, która powia mieć jedostkę [m]. Trzy pierwsze fukcje włase struy o rówaiach: X pokazao a Rys si x, X ( si x, X ( si x, (5.16) 1( 3 Rys. 5.. Trzy pierwsze fukcje włase struy Wróćmy teraz do zagadieia początkowego opisaego rówaiem (5.9). iąg wartości własych (5.14) geeruje ciąg rówań typu (5.9) da każdej wartości własej ciągu: Przyjmując ozaczeie T ( k a T (. (5.17) s S kas, (5.18) A otrzymujemy ciąg rówań różiczkowych, z których każde opisuje drgaia harmoicze o częstości : T ( T (. (5.19) Rozwiązaie ogóe rówaia (5.19) ma zaą postać: T ( cos t D si t. (5.) 15
6 Stałe, D wyzacza się z waruków początkowych da fukcji T (, te jedak ie są zae bezpośredio. Naeży je okreśić a podstawie waruków początkowych rówaia struy, które mają postać (9.4). Wykorzystamy do tego ceu ważą właściwość fukcji własych, zwaą ich ortogoaością: X j gdy j, ( X ( dx x (5.1) X ( dx si gdy j. Pełe rozwiązaie rówaia struy (5.3) jest ieskończoym szeregiem: y( x, 1 si x( cos t D si. (5.) Koeje wyrazy szeregu (5.) azywamy postaciami drgań swobodych, odpowiadającymi koejym wartościom własym i częstościom własym struy. Uwaga Postacie drgań struy jako układu ciągłego są aaogicze do postaci drgań układu o skończoej iczbie stopi swobody. Zawierają oe zarówo przebiegi czasowe jako fukcje harmoicze z koejymi częstościami własymi, jak i rozkłady ampitud drgań, które w układach o wieu stopiach swobody są opisae przez współczyiki postaci ik, a w przypadku struy przez ciągłe fukcje włase X ( okreśoe w przedziae x odpowiadającym długości struy. Przypomijmy z rozdziału 4, że ampitudy drgań poszczegóych współrzędych w każdej postaci były odoszoe umowie do ampitudy pierwszej współrzędej. W przypadku struy widać, że w ramach każdej postaci, ampitudy drgań odoszoe są do ampitudy maksymaej, w miejscu struy, w którym oa występuje. Wyika to z przyjęcia B 1, co ozacza, że wszystkie fukcje włase mają ajwiększą wartość rówą 1. Zapiszmy teraz waruki początkowe, korzystając z rozwiązaia w postaci (9.): WP1 WP y ( v ( 1 1 x si, x D si, (5.3) a astępie pomóżmy je stroami przez wybraą fukcję własą o umerze i i scałkujmy wzgędem x wzdłuż struy. Otrzymamy astępujące dwie zaeżości: 16
7 y ( si v ( si jx dx jx dx 1 1 D x jx si si dx, x jx si si dx. (5.4) Ze wzgędu a waruek ortogoaości fukcji własych (5.1), z szeregów po prawej stroie zaeżości (5.4) pozostaą tyko wyrazy o umerze j j j. Zatem stałe j, D j są astępujące: jx jx y x dx D j v x dx ( )si, ( ) si. (5.5) W te sposób rozwiązaie rówaia struy spełiające zadae waruki początkowe ma postać: y( x, 1 si x x y( si dx cos t Rozwiązaie (5.6) moża przedstawić w prostszej postaci: gdzie przyjęto ozaczeia: 1 x v ( si dx si t. (5.6) y( x, si x asi( t ), (5.7) a D, tg D. (5.8) Każdy wyraz szeregu (5.7) ozacza postać drgań swobodych struy. Ampituda drgań puktu struy o współrzędej x w -tej postaci zaeży od częstości odpowiadającej tej postaci, od fukcji opisujących waruki początkowe oraz od współrzędej Uwagi A a si x. (5.9) 1. Fukcje włase o umerach mają miejsca zerowe rówież między podporami. W tych puktach ampitudy postaci drgań swobodych wyoszą zero iezaeżie od waruków początkowych.. Przyjęcie przemieszczeia początkowego struy w formie fukcji proporcjoaej do wybraej j-tej fukcji własej (przy zerowej prędkości początkowej) powoduje drgaia wyłączie w j-tej postaci. Są to drgaia harmoicze o częstości j. x : Przykład
8 Jaka powia być siła S aciągu struy o pou przekroju poprzeczego A 1mm² i długości,5 m, wykoaej ze stai o gęstości struę ma mieć częstotiwość podstawową 3 78 kg/m, jeśi dźwięk wydaway przez tę f 5 Hz? Pierwsza częstość kołowa tej struy, mierzoa w radiaach a sekudę powia wyosić: f 1. (a) 1 Pierwsza częstość drgań własych struy, zgodie z wzorem (5.18), wyraża się astępująco: Poszukiwae apięcie struy wyosi zatem: S 1. (b) A 1 S A,5 78,1 1 [N] 195 [N]. (c) Przykład 5.. Struę z Przykładu 5.1 wychyoo z położeia rówowagi w taki sposób, że pukt środkowy przemieszczoo poprzeczie o a [m], a astępie puszczoo swobodie bez prędkości początkowej. Zaeźć drgaia struy, ograiczając się do trzech pierwszych postaci. Waruki początkowe wyikające z treści zadaia są astępujące: a x w przedziae,, WP 1: y ( WP : v (. (a) a a x w przedziae,, Fukcję y ( ) pokazao a Rys x Rys Liia przemieszczeia początkowego struy z Przykładu 5.. Fukcje włase struy opisae są wzorem: X ( si x. (b) zęstości włase pierwszej, drugiej i trzeciej postaci są astępujące (Przykład 5.1): 18
9 S,, 1. (c) A Rozwiązaie w formie szeregu (5.) ograiczoego do trzech wyrazów jest astępujące: 3 y( x, si x( 1 cos t D si. (d) Brak prędkości początkowej powoduje, że D. Druga fukcja własa ma miejsce zerowe w środku struy, zatem druga postać ie wystąpi w drgaiach tego puktu. Poszukiwae rozwiązaie jest więc dwupostaciowe: gdzie stałe, 1, korzystając z wzoru (5.5): x x 3x cos, (e) x, t si cos t si cos t si t y 3 3 wyzaczamy a podstawie przemieszczeia początkowego struy (a), x 8a y( si dx si. (f) 8a 8a Wzór (f) pokazuje, że: 1,, 3. Ujemy zak stałej 3 ozacza, że 9 trzecia postać drgań jest w przeciwfazie do postaci pierwszej. Ostateczie otrzymujemy: 8a x 1 3x 1 cos 9 x, t si cos t si t y 3. (g) Podstawiając we wzorze (g) x /, stwierdzimy, że stosuek ampitud trzeciej i pierwszej postaci drgań środkowego puktu struy jest rówy 1/ Drgaia swobode podłuże pręta Rówaie drgań podłużych pręta W tej części wykładu zajmiemy się drgaiami podłużymi pręta jedorodego o dowoym przekroju poprzeczy, którego kształt i poe powierzchi są iezmiee a całej długości pręta. Zakładamy, że pręt jest prosty i podega obciążeiom tyko wzdłuż swej osi. W każdym przekroju poprzeczym występuje tyko siła wewętrza ormaa do przekroju. Zamocowaie brzegów pręta ie powoduje w czasie drgań obciążeń iych iż wzdłuże. Przy powyższych założeiach każdy ieskończeie mały eemet pręta wykouje ruch drgający wzdłuż osi pręta. Eemet taki, wycięty ieskończeie biskimi przekrojami o współrzędej x i x dx pokazao a Rys. 5.4b. 19
10 Rys Pręt drgający podłużie: a) przykładowe zamocowaie i możiwe obciążeie zewętrze, b) ieskończeie mały eemet i siły wewętrze Bezpośredio a podstawie prawa Newtoa, rówaie ruchu eemetu pręta ma postać: gdzie u N x t u N x t Adx (, ) (, N( x, dx N( x, A ), (5.3) t x t x u( x, jest przemieszczeiem podłużym przekroju o współrzędej x, N( x, - siła wewętrza w tym przekroju, a, A są odpowiedio gęstością materiału oraz poem przekroju pręta. Biorąc pod uwagę, że siłę wewętrzą moża uzaeżić od aprężeia w przekroju pręta, a to od odkształceia, zgodie z prawem Hooke a, możemy zapisać: N( x, A ( x, EA ( x,. (5.31) Związek geometryczy pomiędzy odkształceiem a fukcją przemieszczeia u( x, jest astępujący: u ( x,. (5.3) x Zatem rówaie (5.3) z uwzgędieiem związków (5.31) i (5.3), przyjmuje postać: u E u t x u a t p u. (5.33) x Zauważmy, że rówaie pręta (5.33) od stroy matematyczej jest idetycze z rówaiem struy (5.3), z ią iterpretacją fizyczą zmieej zaeżej i parametru a s. Ta sama będzie więc metoda kostrukcji rozwiązaia, podobie jak sformułowaie i rozwiązaie zagadień brzegowego i początkowego. Większa będzie jedak rozmaitość możiwych waruków brzegowych. Waruki brzegowe pręta moża podzieić a kategorie: a) waruki brzegowe geometrycze - odoszące się do przemieszczeń przekrojów pręta, b) waruki brzegowe mechaicze dotyczące siły wewętrzej w przekrojach końcowych. Kika przykładów pokazao a Rys
11 Rys Przykłady waruków brzegowych pręta drgającego podłużie Rówaia waruków brzegowych pokazae a Rys. 5.5 są astępujące: a) u(,, b) u(, s(, c) N(,, d) N(, ku(,, (5.34) gdzie s ( jest zadaym ruchem prawego końca pręta, a k ozacza sztywość sprężyy eastyczego zamocowaia ewego końca pręta. Waruki brzegowe mechaicze (5.34c,d) wyrażoe w kategoriach przemieszczeia, przyjmują postać: u u u c) EA (, (,, d) EA (, ku(,. (5.35) x x x Waruki brzegowe typu (5.35), iezawierające jawie czasu, azywamy warukami jedorodymi, atomiast waruek typu (5.34b), który ozacza wymuszeie kiematycze, azywamy warukiem brzegowym iejedorodym. Uwaga Fukcje waruków początkowych pręta muszą spełiać geometrycze waruki brzegowe wyikające ze sposobu zamocowaia końców pręta. Jak wspomiao, mode matematyczy drgań podłużych pręta i drgań poprzeczych struy jest taki sam, zatem w odiesieiu do pręta obowiązują pojęcia i wzory dotyczące częstości własych, wartości własych, fukcji własych i postaci drgań, wyprowadzoe da w przypadku struy. Są to wzory (5.4)(5.9). W daszej części wykładu skocetrujemy się a przykładach dotyczących pręta, które ie mają odpowiedików w drgaiach struy. Przykład 5.3. Pręt o długości wykoay z materiału o gęstości i modue Youga E, zamocoway a ewym końcu i swobody a prawym, rozciągięto siłą przyłożoą do prawego końca tak, że przemieścił się o a [m], a astępie puszczoo bez prędkości początkowej. Wyzaczyć drgaia swobode pręta. Rozwiązując to zadaie, wykorzystamy metodę i wzory wyprowadzoe w przypadku struy, zwracając uwagę a odmiee waruki brzegowe oraz założoe waruki początkowe ruchu. Waruki brzegowe rozpatrywaego pręta są astępujące: u u (,, N(, (,. (a) x Waruki początkowe są astępującymi fukcjami współrzędej x : 131
12 a u u ( x,) u( x, ( x,). (b) t Jak w przypadku struy, zagadieie brzegowe opisae jest rówaiem różiczkowym: X ( k X (. (c) Rozwiązaie ogóe rówaia (c) ma postać fukcji harmoiczej zmieej x : X ( Acoskx Bsi kx, (d) gdzie k jest iezaą jeszcze wartością własą zagadieia brzegowego. Waruki brzegowe (b) geerują astępujące waruki brzegowe da fukcji X ( X ( ), X ( ). (e) Z powyższych waruków wyika, że: X () A, X( ) Bk cosk cosk k ( 1). (f) Z wyrażeń (f) wyikają z koei ciągi wartości własych oraz fukcji własych: k ( 1), Trzy pierwsze fukcje włase o rówaiach: X pokazao a Rys X : ( si ( 1) x. (g) x 3x 5x si, X ( si, X ( si, (h) 1( 3 Rys Trzy pierwsze fukcje włase pręta z Przykładu 5.3. iąg częstości własych, a podstawie wzorów (g) oraz (5.33) jest astępujący: E ( 1). (i) Rozwiązaie zagadieia początkowego -tej postaci drgań pręta ma postać: T ( cos t D si t. (j) Z waruków początkowych (b) wyika, że D (brak prędkości początkowej). Zatem poszukiwae drgaia swobode pręta moża przedstawić w postaci astępującego szeregu: 13
13 u( x, 1 si ( 1) x cost, (k) gdzie a podstawie waruków początkowych (b) i wzoru (5.5), stałe wyoszą: u ( si ( 1) xdx. () 5.4. Drgaia swobode skręte wału Rówaie drgań skrętych wału Założymy, że wał jest ideaie prosty i ma iezmiey a swej długości przekrój kołowy ub pierścieiowy. Przedmiotem aszego zaiteresowaia są przemieszczeia kątowe przekrojów wału opisae fukcja dwu zmieych: ( x,. Wał jest trzecim układem ciągłym, którego drgaia opisae są tym samym hiperboiczym rówaiem cząstkowym: gdzie a w G, a G, a t w, (5.36) x ozaczają odpowiedio moduł Kirchhoffa oraz gęstość materiału. Rówaie drgań (5.36) wyprowadzamy podobie jak rówaie pręta, budując rówaie ruchu obrotowego cyidryczego eemetu wału wyciętego przekrojami poprzeczymi o współrzędych x i x dx. Jedyą uogóioą siłą wewętrzą w przekrojach wału jest momet skręcający, który jest fukcją zmieej x i czasu (Rys. 5.7). Rys Nieskończeie mały eemet wału i jego obciążeie mometem skręcającym Na podstawie prawa zmieości krętu wzgędem osi wału, rówaie ruchu eemetu wału ma postać: M I O dx dx, (5.37) t x 133
14 gdzie I O ozacza geometryczy momet bezwładości przekroju wzgędem jego środka O, a jest gęstością materiału. Z wytrzymałości materiałów wiadomo, że pomiędzy mometem skręcającym a kątem skręceia wału jest astępująca zaeżość: M ( x, GI O ( x,. (5.38) x Podstawiając (5.38) do (5.37), otrzymujemy rówaie drgań skrętych wału: G, (5.39) t x które jest rówaiem hiperboiczym, matematyczie takim samym, jak rówaie drgań poprzeczych struy i drgań podłużych pręta. Możemy zatem, bez dodatkowych wyprowadzeń, skorzystać z metody i wszystkich ustaeń dotyczących rozwiązaia, przyjętych w przypadku struy i pręta. W daszym ciągu ograiczymy się do pokazaia przykładu drgań swobodych wału przy warukach brzegowych umożiwiających ruch obrotowy wału jako ciała sztywego. Jak wiadomo z drgań układów o wieu stopiach swobody, w takim przypadku ajiższa częstość własa jest rówa. Tak jest rówież w układach ciągłych. Przykład 5.4. Wał o długości wykoay z materiału o gęstości i modue Kirchhoffa G, jest ułożyskoway, ae jego obydwa końce są swobode. Wał zostaje statyczie skręcoy o kąt (przekrój środkowy pozostaje ieruchomy) i puszczoy swobodie z prędkością kątową, jak ciało sztywe. Zaeźć ruch wału z uwzgędieiem drgań skrętych. Rozwiązaia rówaia (5.39), podobie jak w przypadku struy i pręta poszukujemy w postaci: Rozwiązaie zagadieia brzegowego jest fukcją harmoiczą: Waruki brzegowe, zgodie z założeiami, są astępujące: GI Z waruków tych wyika, że : O ( x, X ( T(. (a) X ( Asi kx Bcoskx (b) (, X (), GIO (, X ( ). (c) x x Zatem ciąg wartości własych jest astępujący: A oraz k ub sik k. (d) k, k, ( N). (e) 134
15 Zerowa wartość własa ma umer i odpowiada jej zerowa częstość własa oraz postać ruchu jedostajego. Pozostałym wartościom własym odpowiadają koeje postacie drgań skrętych opisae astępującymi fukcjami ( B jest iczbą dowoą, przyjętą jako rówą 1): X x ( cos. (f) Waruki początkowe ruchu wału są fukcjami: ( x,) x, ( x,). (g) t Ruch wału możemy teraz przedstawić w postaci sumy: gdzie:, D, 1 ( x, D t cos t D si t, (h) x x (i) xcos dx (cos 1), D cos. dx Zauważmy, że stałe o umerze parzystym są rówe zeru, a pozostałe wyoszą: , 3, 5,... (j) 9 5 Odpowiadające powyższym stałym częstości włase są astępujące: G 3 G 5 G 1, 3, 5,... (k) Z rozwiązaia (h) wyika, że ruch rozpatrywaego wału składa się z jedostajego ruchu obrotowego z prędkością kątową oraz ałożoego ań jest ruchu drgającego skrętego, wyikającego ze wstępego skręceia wału o kąt. Pytaia sprawdzające do Wykładu 9 1. Od czego zaeży wysokość dźwięku emitowaego przez drgającą struę?. Jakie rówaie opisuje drgaia poprzecze struy? 3. o to jest zagadie brzegowe struy? 4. Jak wyzacza się częstości drgań własych struy? 5. o to są wartości włase, fukcje włase i postacie drgań własych struy? 6. Wyprowadzić rówaie drgań swobodych podłużych pręta. 7. o rozumiemy przez geometrycze i mechaicze waruki brzegowe pręta? 8. Podać przykład iejedorodych waruków brzegowych wału. 9. Kiedy jeda z częstości własych wału jest rówa zeru i co z tego wyika? 1. o to są waruki ortogoaości fukcji własych i jakie jest ich zastosowaie? 135
Chemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi
Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy
Bardziej szczegółowoUkłady liniowosprężyste Clapeyrona
Układy liiowosprężyste Clapeyroa Liiowosprężysty układ Clapeyroa zbiór połączoych ze sobą ciał odkształcalych, w których przemieszczeia są liiowymi fukcjami sił Układ rzeczywisty może być traktoway jako
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoRozdział 5: Drgania liniowych układów ciągłych. , częstości własnych
WYKŁAD Rozdział 5: Drgaia iiowych układów ciągłych Część : Drgaia wymuszoe eek 5.8. Drgaia eki wymuszoe rozłożoą siłą harmoiczą Rozatrzmy teraz ekę dowoie odartą a ou swych końcach, ez dołączoych uktów
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowou t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY
Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)
MATRIAŁY POMOCNICZ DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MDYCYNI (wyłączie do celów dydaktyczych zakaz rozpowszechiaia) 4. Drgaia brył prętów, membra i płyt. ****************************************************************
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoW wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch
Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
Ć w i c z e i e 6 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ 6.1 Opis teoretyczy W ośrodkach sprężystych wytrąceie pewego obszaru z położeia rówowagi powoduje drgaia wokół tego położeia.
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoCZASOPISMO T MIESIĘCZNIK POŚWIĘCONY ZAGADNIENIOM TECHNIKI I ARCHITEKTURY MIEJSKA KOLEJ ELEKTRYCZ W KRAKOWIE
CZASOPISMO T MIESIĘCZNIK POŚWIĘCONY ZAGADNIENIOM TECHNIKI I ARCHITEKTURY Kraków Wrzesień Paździerik 1947 Nr. 8 10 70-LECIE KRAKOWSKIEGO TOW. TECHNICZNEGO 60-LECIE CZASOPISMA TECHNICZNEGO" MIEJSKA KOLEJ
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoSzkic do wykładów z mechaniki analitycznej
Szkic do wykładów z mechaiki aalityczej prof. dr hab. Bogda Maruszewski pokój 408 BM e-mail: bogda.maruszewski@put.poza.pl www: http://tm.am.put.poza.pl kosultacje: poiedziałek 11 00 12 00 Politechika
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoPrawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski
Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol Piotr Morawski 207 Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol, Piotr Morawski Jeżeli światło pada a graicę dwóch ośrodków, to ulega zarówo odbiciu a
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r 3 BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie szeregu zjawisk związaych z drgaiami
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoPiotr Ruta. Zastosowanie wielomianów Czebyszewa w dynamice dźwigarów o zmiennych parametrach geometrycznych i mechanicznych
Piotr Ruta Zastosowaie wieomiaów Czebyszewa w dyamice dźwigarów o zmieych parametrach geometryczych i mechaiczych Oficya Wydawicza Poitechiki Wrocławskiej Wrocław 7 Recezeci Wacław SZCZEŚNIAK Paweł ŚNIADY
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoMec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoMARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoAnaliza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych
a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3 DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH zbiór skończoej liczby puktów materialych o zadaej kofiguracji przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupiera Pluto Neptu Ura Satur Jowisz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 1 Pla wykładu Co to są szeregi Fouriera? Sposoby budowaia rozwiązań mającyc postać szeregów Rówaiepłyty Ilustracja metody szeregów Fouriera a przykładzie zgiaej płyty. 1
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoRównania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo