METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW SPRĘŻYSTYCH ZE SZTYWNYMI WŁÓKNAMI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 32, s , Gliwice 2006 METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW SPRĘŻYSTYCH ZE SZTYWNYMI WŁÓKNAMI PIOTR FEDELIŃSKI Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaiki, Politechika Śląska Streszczeie. W pracy przedstawioo sformułowaie i zastosowaie metody elemetów brzegowych (MEB) w aalizie obciążoych statyczie tarcz sprężystych z doskoale sztywymi włókami. Podao rówaia całkowe dla układu z włókami, rówaia opisujące przemieszczeia sztywego włóka i waruki rówowagi sił działających a włóko. Opisao realizację umeryczą metody. Opracoway program komputerowy zastosowao do aalizy oddziaływaia włóka a pękięcie w rozciągaej tarczy prostokątej. 1. WPROWADZENIE Materiały kompozytowe wzmacia się włókami w celu zwiększeia wytrzymałości, sztywości i stateczości układu. Jeżeli sztywość włókie jest dużo większa iż sztywość osowy, wówczas moża modelować włóka jako sztywe wzmocieia w ciele odkształcalym. Aaliza takich układów, z dużą liczbą losowo rozmieszczoych włókie, wymaga zastosowaia metod umeryczych. Metoda elemetów brzegowych (MEB) jest uiwersalą metodą komputerową, którą stosuje się w różych dziedziach mechaiki układów odkształcalych [1], [2]. Jedą z owych dziedzi zastosowaia metody jest mechaika kompozytowych. Hu, Chadra i Huag [4] aalizowali za pomocą rówań całkowych oddziaływaie pękięć i sztywych włókie w pobliżu brzegu rozdzielającego dwa róże materiały. Salgado i Aliabadi [7] modelowali za pomocą dualej MEB tarcze z pękięciami wzmaciae belkami. Rozpatrywao układy z wieloma wzrastającymi pękięciami. Dog, Lo i Cheug [3] stosowali MEB do aalizy oddziaływaia pękięć i włókie w ieograiczoych tarczach. Zastosowao specjale elemety brzegowe do modelowaia przemieszczeń i sił powierzchiowych w otoczeiu pękięć i sztywych włókie. Liu, Nishimura i Otai [5] stosowali szybką wielobieguową MEB do aalizy kompozytów zbrojoych aorurkami węglowymi. Obliczoo zastępcze własości materiałowe dla układów modelowaych jako ciała trójwymiarowych o bardzo dużej liczbie stopi swobody. Celem pracy jest przedstawieie sformułowaia i zastosowań MEB w aalizie wytrzymałościowej obciążoych statyczie, dwuwymiarowych i liiowo-sprężystych kompozytów ze sztywymi i prostoliiowymi włókami. W artykule przedstawioo brzegowe rówaia całkowe dla kompozytu ze sztywymi włókami, rówaia rówowagi włóka i umeryczą realizację metody. Opracoway program komputerowy wykorzystao do aalizy

2 136 P. FEDELIŃSKI oddziaływaia sztywego włóka z pękięciem. Badao wpływ odległości między włókem i pękięciem a współczyiki itesywości aprężeń. Prezetowaa metoda pozwala a łatwą modyfikację położeia włókie i pękięć. 2. BRZEGOWE RÓWNANIE CAŁKOWE DLA TARCZY Z WŁÓKNAMI Rozważmy tarczę wykoaą z materiału jedorodego, izotropowego i liiowosprężystego. Brzeg tarczy ozaczoo przez, a obszar zajmoway przez tarczę przez Ω (rys. 1). Tarcza jest obciążoa statyczie a brzegu zewętrzym siłami powierzchiowymi t j, a obszar tarczy - siłami objętościowymi f j. Związek między obciążeiem tarczy, a przemieszczeiami u j określa tożsamość Somigliay [1], (1) c ( x') u ( x') + T ( x', xu ) ( xd ) ( x) = U ( x', xt ) ( xd ) ( x) + U ( x', X) f ( X) dω( X) ij j ij j ij j ij j Ω gdzie: x jest puktem kolokacji, dla którego układae jest rówaie całkowe, x jest puktem brzegowym, a X puktem ależącym do obszaru ciała, c ij jest stałą zależą od położeia puktu x, U ij i T ij są rozwiązaiami fudametalymi Kelvia. W rówaiach stosowaa jest kowecja sumacyja, a ideksy dla zagadieia dwuwymiarowego przyjmują wartości i,j=1,2. Rys. 1. Tarcza sprężysta Rys. 2. Tarcza sprężysta z włókami Załóżmy, że w tarczy zajdują się prostoliiowe, ciekie i doskoale sztywe włóka (rys. 2), które są ideale połączoe ze sprężystą osową. Na skutek obciążeia i odkształceia tarczy, w miejscu połączeia włókie z tarczą wystąpią siły oddziaływaia. Siły moża traktować jako szczególe siły objętościowe rozłożoe wzdłuż liii włókie. Brzegowe rówaie całkowe dla tarczy obciążoej siłami powierzchiowymi i siłami oddziaływaia włókie ma postać c ( x') u ( x') + T ( x', xu ) ( xd ) ( x) = ij j ij j N ij j + ij j = 1, (2) U ( x', xt ) ( xd ) ( x) U ( x', Xt ) ( X) d ( X) gdzie: N jest liczbą włókie, - odcikiem, wzdłuż którego zajduje się włóko, t j - siłą oddziaływaia włóka. 3. PRZEMIESZCZENIA I RÓWNANIA RÓWNOWAGI SZTYWNEGO WŁÓKNA

3 METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW SPRĘŻYSTYCH Przemieszczeia włókie spowodowae są odkształceiami tarczy. Przemieszczeie dowolego puktu włóka x moża wyrazić za pomocą przemieszczeia końca włóka x o i kąta obrotu włóka ϕ (rys. 3). Dla małych kątów obrotu włóka, składowe przemieszczeia dowolego puktu określoe są rówaiami: u ( x) = u ( x ) ϕrx ( )siα, (3) o u ( x) = u ( x ) + ϕrx ( )cosα, (4) o Rys. 3. Przemieszczeia sztywego włóka Rys. 4. Siły działające a włóko gdzie: α jest początkowym kątem pochyleia włóka względem osi globalego układu współrzędych x 1, r jest odległością puktu x od początku włóka x o. Rozpatryway układ, a także każde włóko zajduje się w rówowadze. Siły działające a każde włóko powiy spełiać astępujące waruki rówowagi (rys. 4): t1 ( xd ) ( x) = 0, (5) t2 ( xd ) ( x) = 0, (6) [ t1 ( xrx )( )si α + t2( xrx )( )cos α] d ( x) = 0, (7) Ostatie rówaie jest warukiem rówowagi mometów sił względem początku włóka x o. 4. REALIZACJA NUMERYCZNA METODY Pierwszym etapem realizacji umeryczej metody jest podział brzegu zewętrzego i włókie a elemety brzegowe (rys. 5). W opracowaym programie komputerowym zastosowao 3-węzłowe kwadratowe elemety brzegowe. Na brzegu zewętrzym iterpoluje się zmieość współrzędych puktów, przemieszczeń i sił powierzchiowych, a wzdłuż włókie zmieość sił oddziaływaia. Brzegowe rówaia całkowe układae są dla węzłów a brzegu zewętrzym i wzdłuż włókie. Przemieszczeia węzłów włókie moża wyrazić poprzez przemieszczeia końców włókie i ich kąty obrotu, korzystając z rówań (3) i (4). Rówaia moża zapisać w astępującej postaci macierzowej

4 138 P. FEDELIŃSKI u= Iu f, (8) gdzie: macierz jedokolumowa u zawiera składowe przemieszczeia węzłów włókie, macierz I zależy od położeia węzłów, a macierz jedokolumowa u f zawiera składowe przemieszczeia końców włókie i kąty obrotu. Rys. 5. Dyskretyzacja tarczy i włókie za pomocą elemetów kwadratowych Waruki rówowagi włókie (5), (6) i (7) moża zapisać w postaci macierzowej Et =0, (9) f gdzie: macierz E zależy od położeia węzłów wzdłuż włókie, a macierz jedokolumowa t f zawiera wartości węzłowe składowych sił w węzłach włókie. Macierz E otrzymuje się w wyiku całkowaia rówań (5), (6) i (7), przy założeiu kwadratowej zmieości sił oddziaływaia wzdłuż elemetów włókie. Ze względu a prostą postać rówań rówowagi, całki oblicza się aalityczie. Brzegowe rówaia całkowe uwzględiające zależość (8) i uzupełioe o waruki rówowagi (9) moża zapisać w postaci macierzowej H 0 Gee G ee ef ue te H fe I = Gfe Gff, (10) u 0 0 f t 0 f E gdzie: podmacierze z ideksem e dotyczą brzegu zewętrzego, a wielkości z ideksem f dotyczą włókie, atomiast podmacierze H i G zależą od całek brzegowych rozwiązań fudametalych i fukcji kształtu, które oblicza się umeryczie metodą Gaussa. Następie układ rówań algebraiczych modyfikuje się w te sposób, że iezae wielkości zajdują się po jedej stroie układu, a wielkości zae po drugiej stroie. Pierwsza modyfikacja dotyczy iezaych sił oddziaływaia t f Hee Gef 0 u e Gee H fe Gff I t f = Gfe [ te]. (11) E uf

5 METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW SPRĘŻYSTYCH Ostatecze przegrupowaie dotyczy zadaych i iezaych wielkości a brzegu zewętrzym. Zmodyfikoway układ rozwiązuje się ze względu a iezae przemieszczeia i siły powierzchiowe a brzegu zewętrzym oraz przemieszczeia i siły oddziaływaia włókie. 5. PRZYKŁADY NUMERYCZNE Opracowao program komputerowy, które stosuje przedstawioą metodę do wyzaczaia przemieszczeń i sił powierzchiowych w tarczach sprężystych ze sztywymi włókami. W celu sprawdzeia poprawości rozwiązań umeryczych i przedstawieia możliwych zastosowań aalizowao dwa przykłady. Rozpatrywao tarczę prostokątą o długości 2b=5 cm i wysokości 2h=4 cm, która zawiera sztywe włóko o długości 2l=3 cm (rys. 6 i 8). Tarcza wykoaa jest z materiału o module Youga E= Pa i współczyiku Poissoa ν=0.3, która zajduje się w płaskim staie odkształceia. Tarcza jest obciążoa siłami rozłożoymi rówomierie wzdłuż krawędzi w kieruku poziomym q 1 albo pioowym q 2 o atężeiu q 1 =q 2 =q=10 5 Pa. Tarcza podparta jest a czterech podporach przesuwych zajdujących się a osiach symetrii, które umożliwiają swobode odkształceia tarczy Tarcza prostokąta z włókem Sztywe włóko zajduje się a poziomej osi symetrii (rys. 6a). Rozpatrzoo dwa przypadki obciążeia: siłami poziomymi i pioowymi. W celu sprawdzeia poprawości rozwiązaia aalizowao dolą połowę tarczy (rys. 6b). W miejscu gdzie zajduje się włóko, sztywo utwierdzoo brzeg, a pozostałe pukty a osi symetrii mogą przemieszczać się tylko w kieruku poziomym. Brzeg całej tarczy podzieloo a 72, a włóko a 12 kwadratowych elemetów brzegowych. Brzeg połowy tarczy podzieloo a 56 kwadratowych elemetów brzegowych. a) b) Rys. 6. Tarcza prostokąta z włókem: a) cała tarcza, b) połowa tarczy

6 140 P. FEDELIŃSKI Na rys. 7 przedstawioo tarczę ieodkształcoą i odkształcoą pod wpływem sił poziomych i pioowych. W celu pokazaia deformacji, przemieszczeia powiększoo wielokrotie. a) b) Rys. 7. Odkształceia tarczy: a) obciążoej poziomo, b) obciążoej pioowo W tabeli 1 przedstawioo składowe przemieszczeia węzłów A, B i C, pokazaych a rys. 6. Względe różice przemieszczeń węzłów dla całej tarczy i jej połowy są miejsze iż 0.1%. Tabela 1. Przemieszczeia wybraych węzłów tarczy [10-6 cm] Tarcza Obciążeie poziome q 1 Obciążeie pioowe q 2 u 1 (A) u 2 (A) u 2 (B) u 1 (C) u 1 (A) u 2 (A) u 2 (B) u 1 (C) cała połowa Tarcza prostokąta z włókem i pękięciem W tarczy zajduje się sztywe włóko i pękięcie, które położoe są symetryczie względem poziomej osi symetrii (rys. 8a). Odległość między włókem i pękięciem jest rówa 2d. Tarcza obciążoa jest pioowymi siłami o atężeiu q 2. Do modelowaia pękięcia zastosowao metodę dualą MEB, w której dyskretyzuje się obydwie krawędzie pękięcia [6]. Współczyiki itesywości aprężeń (WIN) wyzaczoo a podstawie J-całki iezależej od koturu całkowaia. WIN zormalizowao poprzez podzieleie przez WIN dla tarczy ieograiczoej zawierającej takie same pękięcie, który jest rówy Ko = q πl. Badao wpływ odległości włóka i pękięcia a WIN. Brzeg tarczy podzieloo a 72 kwadratowe elemety brzegowe, włóko a 8 elemetów, a krawędzie pękięcia a 16 elemetów. Na rys. 8b przedstawioo ieodkształcoą i odkształcoą tarczę. W celu pokazaia deformacji, przemieszczeia powiększoo wielokrotie. W tabeli 2 przedstawioo zormalizowae WIN dla różej odległości włóka i pękięcia. Wprowadzeie włóka, przy względej odległości d/l=1/3, powoduje iezacze zmiejszeie współczyika K I i zwiększeie współczyika K II. Zwiększaie odległości między włókem i pękięciem powoduje wzrost WIN. Wzrost WIN jest spowodoway główie zbliżaiem się pękięcia do obciążoej krawędzi.

7 METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW SPRĘŻYSTYCH a) b) Rys. 8. Tarcza prostokąta z włókem i pękięciem: a) wymiary i obciążeie tarczy, b) odkształceia tarczy dla d/l=2/3 Tabela 2. WIN dla różej odległości włóka i pękięcia Tarcza d/l K I /Ko K II /Ko bez włóka 1/ / z włókem 2/ / PODSUMOWANIE W pracy przedstawioo sformułowaie i zastosowaia metody elemetów brzegowych (MEB) w aalizie statyczej tarcz sprężystych ze sztywymi włókami. MEB umożliwia aalizę tego rodzaju układów w wyiku dyskretyzacji brzegu zewętrzego i włókie. Metoda pozwala a otrzymaie bardzo dokładych wyików, poieważ iterpoluje się tylko zmieość przemieszczeń i sił brzegowych oraz sił oddziaływaia włókie. Prezetowaa metoda pozwala a łatwą modyfikację położeia włókie i pękięć. W przypadku aalizy aprężeń w otoczeiu włókie lub sił oddziaływaia włókie a tarczę, koiecze jest zastosowaie specjalych fukcji iterpolujących siły oddziaływaia z powodu spiętrzeia aprężeń w otoczeiu końców sztywych włókie. LITERATURA 1. Becker A.A.: The boudary elemet method i egieerig. A complete course. McGraw- Hill Book Compay, Lodo Burczyński T.: Metoda elemetów brzegowych w mechaice. Wspomagaie komputerowe CAD-CAM, WNT, Warszawa 1995.

8 142 P. FEDELIŃSKI 3. Dog C.Y., Lo S.H., Cheug Y.K.: Iteractio betwee cracks ad rigid-lie iclusios by a itegral equatio approach. Computatioal Mechaics 2003, 31, s Hu K.X., Chadra A., Huag Y.: O crack, rigid-lie fiber, ad iterface iteractios. Mechaics of Materials 1994, 19, s Liu Y., Nishimura N., Otai Y.: Large-scale modelig of carbo-aotube composites by a fast multipole boudary elemet method. Computatioal Material Sciece 2005, 34, s Portela A., Aliabadi M.H., Rooke D.P.: The dual boudary elemet method: effective implemetatio for crack problems. Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, 33, 1992, s Salgado N.K., Aliabadi M.H.: The applicatio of the dual boudary elemet method to the aalysis of cracked stiffeed paels. Egieerig Fracture Mechaics 1996, 54, s BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR ANALYSIS OF ELASTIC STRUCTURES WITH RIGID FIBRES Abstract. I this work, formulatio ad applicatio of the boudary elemet method (BEM) for aalysis of statically loaded elastic plates with perfect rigid fibers are preseted. Itegral equatios for a structure with fibres, equatios defiig displacemets of a rigid fibre ad equatios of equilibrium of forces actig o a fiber are give. Numerical implemetatio of the method is preseted. The developed computer code is applied to aalysis of iteractio of a fiber with a crack i a rectagular plate subjected to tesio.