Przyjęto następujące założenia: zakłada się płaski stan odkształcenia; ośrodek gruntowy jest ważki i posiada jednorodne cechy;

Transkrypt

1 Górictwo i Geoiżyieria Rok 33 Zeszyt 9 Magdalea Osławska*, Wojciech Puła** ANALIZA STATECZNOŚCI ŚCIAN KOTWIONYCH ZAGŁĘBIONYCH W GRUNTACH SPOISTYCH METODĄ RACHUNKU WARIACYJNEGO. Wstęp Pod koiec lat 7. XX w. Garber i Baker [] zapropoowali wariacyje podejście do zagadień rówowagi graiczej. Skupiali się przede wszystkim a aalizie stateczości zboczy oraz badaiu ośości graiczej [, 3]. W pracy [] przedstawili oi rezultaty w formie twierdzeń opartych a klasyczym rachuku wariacyjym. Podstawowe, udowodioe przez ich twierdzeie mówi, że w zagadieiach rówowagi graiczej wartość ekstremum ie zależy od rozkładu aprężeń ormalych wzdłuż krzywej poślizgu. W latach 9. XX w. podjęto próby [5] aalizy stateczości kotwioych kostrukcji oporowych przy użyciu rozwiązań Garbera i Bakera. Problem wymagał podejścia umeryczego. Przy ówczesym dostępym oprogramowaiu ie moża było uzyskać zadowalającego rezultatu. W pracy [6] rozwiązao zagadieie kotwioej ściay w sposób umeryczy, uzyskując wartości siły działającej w kotwi. Praca ta dotyczyła tylko grutów iespoistych. W prezetowaej pracy rozwiązao zagadieie w grucie spoistym, co wymagało aalizy fukcjoału w rozbudowaej formie.. Sformułowaie zadaia Przyjęto astępujące założeia: zakłada się płaski sta odkształceia; ośrodek grutowy jest ważki i posiada jedorode cechy; * Wydział Budowictwa Lądowego i Wodego, Politechika Wrocławska, Wrocław ** studetka IV roku, Wydział Budowictwa Lądowego i Wodego, Politechika Wrocławska, Wrocław 475

2 zakłada się, że a liii poślizgu opisaej krzywą y() występują waruki rówowagi graiczej, spełiającej kryterium wytrzymałości Coulomba: [ ] τ ( ) = σ( ) u( ) tg φ+ c; () w bilasie sił rozpatruje się tzw. cięcie zewętrze czyli, że poślizgowi ulega bryła sztywa ograiczoa liią poślizgu, aziomem oraz ściaką, przy czym ściakę traktuje się jako itegralą część tej bryły. Kosekwecją tego jest brak siły parcia czyego grutu a ściakę w rówaiach rówowagi; -zakłada się, że siła będąca wypadkową odporu grutu oraz kąt jej achyleia δ są dae przed przystąpieiem do rozwiązaia zadaia ie czyi się żadych założeń co do sposobu obliczaia odporu; -zakłada się, że liia poślizgu przechodzi przez doly koiec ściaki. Rys.. Schemat rozpatrywaego zadaia Rówaia rówowagi (zakowaie i ozaczeia jak a rysuku powyżej) mają postać: [ τ( )cos α σ( )si α ] dl+ Pk cosβ+ Pa cosδ =, () l k [ τ( )si α+σ( )cos α] dl { q( ) +γ[ h y( )]} d Pk siβ+ Pasiδ =, (3) l 476

3 l {[ τ( )cos α σ( )si α] y [ τ( )si α+σ( )cos α ] }dl+ + [ q ( ) +γ( h y ) ]d+ Pycosβ+ Pycosδ =. k k a a (4) gdzie: dl całka krzywoliiowa wzdłuż krzywej poślizgu y (), l γ ciężar objętościowy grutu, dy α= arctg. d Po przekształceiu rówaia () otrzymuje się astępujące wyrażeie a siłę w kotwi: d Pa cos δ Pk = {[( σ u) tg φ+ c]cos α σsi α} d = cosβ cos α cosβ Pa cos δ = σy`( σ u)tgφ c d = H()d. cosβ (5) Najiekorzystiejszą liią poślizgu będzie ta, dla której siła w kotwi będzie ajwiększa. Poszukuje się zatem maksimum fukcjoału P k. Rówaia (3) i (4) traktuje się jako dwa dodatkowe waruki (oprócz waruków graiczych y () = i y ( ) = h). Jest to tzw. zadaie izoperymetrycze klasyczego rachuku wariacyjego [4]. W związku z tym moża apisać: G = { H( ) +λ V( ) +λ M( )}d, (6) gdzie λ, λ współczyiki ieozaczoe Lagrage a; Pk siβ Pasi δ σ[ y`tg φ+ ] uy`tg φ+ cy` [ q+γ( h y)] + d = V( )d=, (7) σ( y tgφ yy` y`tg φ ) yu tgφ+ cy + uy`tgφ cy`] + Py cosβ Py cos δ d = M( )d =. q ( ) +γ( h y ) + + (8) k k a a 477

4 Grupując składiki ze względu a σ otrzymuje się astępującą postać: (9) G = [ σ ( ) L( ) + S( )]d = g( )d. Warukiem koieczym istieia ekstremum fukcjoału jest spełieie przez fukcję podcałkową rówań Eulera [4]. Dla fukcjoału G moża zapisać: g d g =, σ d σ` g d g =. y d y` () () 3. Rozwiązaie zadaia g Poieważ = rówaie () sprowadza się do postaci: σ` g [ σ ( ) L( ) + S( )] = = L ( ) =, σ σ () gdzie: L ( ) = ( ` tg ) ( `tg ) ( tg ` `tg ), cos y φ +λ y φ+ +λ y φ yy y φ β (3) Pa cos δ S( ) = utg φ c λuy`tg φ+λcy` λ [ q+γ( h y)] + cosβ λ P siβ λ P si δ uy tg cy uy`tg cy` k a + λ φ+λ +λ φ λ + (4) λ Py cosβ λ Py cos δ +λ + λ γ + + k k a a q ( ) ( h y ). Stąd: ( y ` tg φ ) +λ ( `tg ) ( tg ` `tg ). y φ+ +λ y φ yy y φ = cosβ (5) 478

5 Przekształcając powyższe rówaie otrzymuje się astępujące wyrażeie a krzywą poślizgu: tg φ( λycos β) λcosβ+λcosβ y` =. (6) λ ycos β tg φ ( λ cos β λ cos β ) Wobec (9) i () wzdłuż ajiekorzystiejszej liii poślizgu zachodzą związki: ma G= ma gd ( ) = ma Sd ( ) = P k. (7) λ, λ λ, λ λ, λ Po przekształceiu () uzyskuje się: P k = I( ) d ma, λ, λ +λsiβ λyk cosβ (8) gdzie: u tg φ c Pa cos δ ( ) tg ( )d cosβ I = λuh φ+λch λ q λ γ h + +λ γ y( )d+ λ P si δ λ utg φ y( )d + λ c y( )d+ λ uh tg φ + a λ utg φ y( )d λ ch + λ c y( )d + λ q( )dλ γ h + (9) λ γ yd + λpy cos δ. a a W celu rozwiązaia rówaia Eulera (6) dokouje się astępującej zmiay współrzędych: η= λ y cosβ () ξ= λ cosβ+λ cosβ () 479

6 W wyiku przekształceń opisaych dokładie w pracy [6] uzyskuje się astępującą postać rozwiązaia: C η ep tg arctg ξ η +ξ = φ () Powracając do współrzędych (, y): ( λ ycos β ) + ( λ cosβ+λ cos β ) = λycosβ = C ep tg φ arctg λcosβ+ λ cosβ C = +λ cos βep tgφ arctg λ cosβ (3) (4) Każda krzywa będąca rozwiązaiem rówaia (3) jest środkowo symetrycza względem środka układu współrzędych (ξ, η). Wprowadzając współrzęde bieguowe z bieguem w środku układu współrzędych (ξ, η): rsi θ= yλ cosβ=η (5) rcos θ= λ cosβ+ λ cosβ=ξ (6) rozwiązaie rówaia (3) moża przedstawić w postaci: { } r = C ep θ tgφ (7) Ozacza to, że krzywa opisaa rówaiem (3) jest fragmetem spirali logarytmiczej. 4. Przypadek graiczy Iteresujące wyiki uzyskuje się przy założeiu iż λ. Przypadek te został szczegółowo omówioy w pracy [6]. W wyiku przekształceń wzoru (9) uzyskuje się astępujące wyrażeie a P k : γh Pk = Pa λ q + c +λ ch = P γh π φ π φ h q tg ctg 4 4 = a + + (8) 48

7 Rozwiązaie to uzyskuje się tylko przy założeiu: β = i δ = i jest oo idetycze z klasyczym rozwiązaiem Coulomba. 5. Ograiczeia a współczyiki Lagrage a Założeia, z których wyikają ograiczeia zostały dokładie opisae w pracy [6]. Ograiczeia te są aktuale zarówo w ośrodku spoistym jak i iespoistym. λ, λ > π +λ cos βep tg φ arctg cos λ β <λ <, hcosβ (9) tg φ λ < ; cosβ (3) λ > i λ < π +λ cos βep tg φ arctg +φ cos cos φ λ β >λ >, h cosβ (3) tg φ <λ < ; cosβ (3) λ, λ < π +λ cos βep tg φ arctg + cos λ β >λ > hcosβ (33) <λ < cosβ tgφ (34) 48

8 λ < i λ > +λ cos βep tg φ arctg +φ si cos φ λ β <λ <, hcosβ <λ <. cosβ tgφ (35) (36) 6. Numerycze poszukiwaie ekstremum Pomimo zalezieia rozwiązaia rówaia Eulera w postaci zamkiętej poszukiwaia ekstremalej siły P k ie da się przeprowadzić a drodze aalityczej. Wyika to za faktu, że pukt przecięcia liii poślizgu z aziomem może być zalezioy jedyie w sposób przybliżoy a drodze umeryczej. Podobie iektóre z całek we wzorze (9) ie mają przedstawieia w postaci fukcji elemetarych. Zatem w celu zalezieia siły P k skostruowao astępujący algorytm: ) Przyjęcie wartości współczyików Lagrage a z jedego z obszarów wyzaczoych ierówościami (9) (36). ) Wyzaczeie puktu przecięcia fukcji y() z aziomem. 3) Numerycze wyzaczeie wartości całek występujących we wzorze (9). 4) Wyzaczeie wartości ułamka występującego z prawej stroy wzoru (8). 5) Powtórzeie czyości 4 aż do zalezieia maksymalej wartości P k w daym obszarze. 6) Powtórzeie czyości 5 dla wszystkich obszarów zmieości. W związku z potrzebą dokoaia obliczeń umeryczych, apisao specjalą aplikację w programie Mathematica. W przedstawioym iżej przykładzie obliczeiowym przyjęto astępujące dae: podłoże jedorode grut spoisty o ciężarze objętościowym γ =, kn/m 3, kącie tarcia wewętrzego φ = 7 oraz spoistości c = 3 kpa. Całkowita wysokość ściay h = 5 m, zagłębieie ściay w grucie: z = 3 m, kąt achyleia ściągu kotwi β =, odległość zaczepieia kotwi od dolej krawędzi ściaki: m. Założoo, że ściaa od stroy wykopu jest gładka i kąt achyleia siły odporu wyosi: δ =. Odpór grutu: P a = 48,535 kn/m (wyzaczoy metodą Coulomba). 7. Aaliza wyików Niektóre spośród uzyskaych umeryczie wartości ułamka z prawej stroy wzoru (8) zostały zamieszczoe a rysuku. 48

9 Rys.. Niektóre wartości fukcjoału w okolicach puktu ekstremalego Dla λ (λ = odpowiada sytuacji, gdy liia poślizgu jest prostą) moża zauważyć zbieżość do wartości otrzymaej z różicy parcia czyego i bierego (tylko przy założeiu β = i δ = ). Dla λ, λ > oraz λ > i λ > wartości siły fukcjoału osiągały wartości miejsze od, a więc ieakceptowae w warukach tego zadaia. Dla λ, λ < oraz λ < i λ > zalezioo ekstremu fukcjoału, P k = 74 kn/m i wartość ta jest rozwiązaiem zadaia. Wartość ta jest większa iż otrzymaa z rozwiązaia według Coulomba (P k = 64,77 kn/m). Porówaie krzywych poślizgu dla obu rozwiązań zajduje się a rysuku 3. Rys. 3. Krzywe poślizgu dla rozwiązaia klasyczego i wariacyjego 8. Uwagi końcowe Przedstawioe rozwiązaie staowi uzupełieie luki teoretyczej w wariacyjych zagadieiach rówowagi graiczej (brak rozwiązaia dla ściay kotwioej w ośrodku spoistym). 483

10 Uzyskaa w aalizowaym przykładzie wartość siły w kotwi jest większa w porówaiu z wyikiem dla prostoliiowej liii poślizgu w klasyczym rozwiązaiu Coulomba. W szeregu przykładach opisaych w pracy [6] w przypadku ośrodka iespoistego rówież otrzymao większe wartości w przypadku metody wariacyjej. Moża by więc, po zaalizowaiu dużej ilości przypadków, wprowadzić współczyiki poprawkowe, które pozwoliłyby przeliczać wyiki klasycze a wyiki uzyskae teoretyczie bardziej poprawą metodą wariacyją. Zastosowaie zaprezetowaej tu metody do praktyczych obliczeń projektowych wymagałoby uzupełieia istiejącego programu o efektywy system poszukiwaia ekstremum w zdefiiowaych obszarach ograiczoych, gdyż obece ( ręcze ) przeszukiwaie obszarów jest zbyt pracochłoe. LITERATURA [] Garber M., Baker R.: Etreme-value problems of limitig equilibrium. Jour. of Geotechical Eg. Div. ASCE GTI 977, s. 9 5 [] Garber M.: Variatial method for ivestigatio the stability of slopes, Soil Mechaics ad Foudatio Egieerig, vol., No., 973, pp [3] Garber M., Baker R.: Bearig capacity by variatioal method, Joural of the Geotechical Egieerig Divisio ASCE, GT, vol., 977, pp.9 5 [4] Gelfad I.M, Fomi S.W.: Rachuek wariacyjy. Warszawa, PWN 975 [5] Puła O., Puła W.: Stability aalysis of achored wall by variatioal metod. Proceedigs of the sith iteratioal symposium o ladslides, Christchurch, New Zealad, 99, s [6] Puła O,, Puła W,, Woly A.: O the variatioal solutio of limitig equilibrium problem ivolvig a achored wall. Computers ad Geotechics, 3(5), s