Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Transkrypt

1 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k )) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę kwadratów w postaci a b = a2 b 2 przekształcay a+b daą w treści zadaia graicę w astępujący sposób: k ) )) = k = k = 333 = k ) = k Miaowik ostatiego wyrażeia pod zakie graicy dąży do 2 przy dążący do ieskończoości, atoiast liczik jest rówy, gdy k = 333. Dla k = 333 ay więc k = = 2. Odpowiedź: Dla k = 333 daa w zadaiu graica a wartość / Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k )) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę czwartych potęg w postaci a b = a2 b 2 a+b = a 4 b 4 a+b) a 2 +b 2 ) przekształcay daą w treści zadaia graicę w astępujący sposób: k )) = k 4 ) ) = = = = k ) ) = k ) + + ) = k ) + + ). Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08

2 Miaowik ostatiego wyrażeia pod zakie graicy dąży do 4 przy dążący do ieskończoości, atoiast liczik jest rówy, gdy k = 666. Dla k = 666 ay więc k ) + + ) = ) + + ) = 4. Odpowiedź: Dla k = 666 daa w zadaiu graica a wartość / Obliczyć graicę ciągu) 3 k k + 3 k k k k k k +4 3 ) k k dla tak dobraej wartości rzeczywistej dodatiej paraetru k, aby powyższa graica była dodatia i skończoa. Rozwiązaie: Zauważay, że daa w zadaiu sua a 4 wyrazów. Szacujey ją obustroie: 3 k 4 k +0 3 k k + 3 k k +2 3 k k k 4 k + 4, a astępie kolejo obliczay graice oszacowań dolego i górego przy k 4 k +0 k k 3 k k/3 3 k k/3 9 = = = k, 5 o ile k/3 9 = 0, czyli k = k 4 k k k + = 4 = 3 k 3 k k, 23 o ile k 27 = 0, czyli k = 27. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wioskujey, że dla k = 27 graica daego w zadaiu wyrażeia jest rówa Obliczyć graicę ciągu) k ) ) 3. k 497 Rozwiązaie: Zauważay, że ostati składik daej w zadaiu suy oża zapisać jako , 497 skąd wyika, że a oa składików. Ozaczyy suę występującą w treści zadaia przez b i oszacujey ją od góry przez wspóle oszacowaie składików licziki od góry, iaowiki od dołu) przeożoe przez liczbę składików. Ozaczyy uzyskae oszacowaie przez c. b ) +) = c. Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08

3 Postępując aalogiczie oszacujey daą suę od dołu przez wspóle oszacowaie składików licziki od dołu, iaowiki od góry) przeożoe przez liczbę składików. Ozaczyy uzyskae oszacowaie przez a. b ) = a. Obliczając graice ciągów a ) i c ) otrzyujey: a = ) = ) + 3 = oraz c = ) +) = ) + ) 3 = Poieważ dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości a poadto oraz a b c, c = 3 7 a = 3 7, a ocy twierdzeia o trzech ciągach otrzyujey b = 3 7. Odpowiedź: Wartość graicy podaej w treści zadaia jest rówa 3/ Obliczyć graicę ciągu) ) ) k 2 +k) ) ) ) ) 3 + Rozwiązaie: Zauważay, że daa w zadaiu sua a +3) = 6+0 wyrazów. Szacujey ją obustroie: 6+0) +3) k=0 2 +k 2 +k) ) +3)2 6 +, a astępie kolejo obliczay graice oszacowań dolego i górego przy +. Otrzyujey 2 6+0) +3) 6 + = 6+ 0 ) + ) Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy

4 oraz 6+0) +3)2 6 + = 6+ 0 ) ) Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wioskujey, że graica daego w zadaiu wyrażeia jest rówa 6. W każdy z poiższych zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. 23. A = +2 : N if A = 0 NIE) sup A = /3 TAK) B = +2 : N if B = 2 NIE) sup B = 7/3 TAK) C = +2 : N if C = 5/3 TAK) sup C = 2 NIE) D = :, N if D = 0 NIE) sup D = 2 TAK) E = :, N if E = 3 NIE) sup E = 8 NIE) F = :, N if F = 0 NIE) sup F = 6 TAK) 29. G = :, N if G = 5 TAK) 220. H = :, N if H = 3 25 NIE) 22. I = :, N if I = log 3 25 = 2 log 3 5 NIE) 222. J = :, N if J = 2 TAK) 223. A = x 2 : x 3, ) if A = 0 TAK) sup A = 9 NIE) 224. B = x 3 : x 3, ) if B = 27 NIE) sup B = NIE) 225. C = x 4 : x 3, ) if C = 0 TAK) sup C = 8 NIE) sup G = 3 3 = 27 NIE) sup H = 3 TAK) sup I = 3 TAK) sup J = log 5 27 = 3 log 5 3 NIE) 226. D = x 2 2x+ : x, 4) if D = 0 TAK) sup D = 9 NIE) Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08

5 227. E = x 2 4x+4 : x, 4) if E = 0 TAK) sup E = 9 NIE) 228. F = x 2 6x+9 : x, 4) if F = 0 TAK) sup F = 6 NIE) 229. G = x 2 2x : x, 4) if G = TAK) sup G = 8 NIE) 230. H = x 2 4x : x, 4) if H = 4 TAK) sup H = 5 NIE) 23. I = x 2 6x : x, 4) if I = 9 TAK) sup I = 7 NIE) 232. A = :, N B = :, N if B = = 3 6 NIE) 234. C = :, N if C = 2 TAK) if A = 4 TAK) sup A = 8 TAK) sup B = 4 TAK) sup C = 2 2 = 8 NIE) 235. D = : N if D = 2 TAK) sup D = /2 NIE) 236. E = : N if E = 4 2 TAK) sup E = /4 NIE) ) 237. F = log 2 x) 2 : x 8, 2 if F = 0 TAK) sup F = 9 NIE) ) 238. G = log 3 x) 3 : x 9, 3 ) 239. H = log 4 x) 4 : x 6, 4 if G = 8 NIE) sup G = NIE) if H = 0 TAK) sup H = 6 NIE) 240. I = log x 8 : x 0, ] if I = 3 TAK) sup I = 0 NIE) J = log x 8 : x [ ) 2, + if J = 0 NIE) sup J = 6 TAK) 242. K = log x 8 : x, 4] if K = 3/2 TAK) sup K = + NIE) [ ) 243. L = log x 8 : x 6, if L = NIE) sup L = 3/4 TAK) 244. A = x 2) 2 : x 0, 3) if A = 0 TAK) sup A = 4 NIE) 245. B = x 2) 3 : x 0, 3) if B = 8 NIE) sup B = NIE) 246. C = x 2) 4 : x 0, 3) if C = 0 TAK) sup C = 6 NIE) Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08

6 247. D = x 2) 5 : x 0, 3) if D = 32 NIE) sup D = NIE) 248. E = :, N if E = / 2 = 2/2 NIE) 249. F = :, N if F = 2/3 TAK) 250. G = :, N if G = 5/3 TAK) 25. H = :, N if H = 2/3 TAK) 252. I = :, N if I = log 3 2 = log 9 4 NIE) 253. J = :, N sup E = 2 NIE) sup F = 4/3 TAK) sup G = 3 NIE) sup H = 4/3 TAK) sup I = log 3 4 = log 9 6 NIE) if J = log 3 5 = log 9 25 NIE) sup J = 3/2 TAK) 254. A = 3 0 : N if A = TAK) sup A = /7 TAK) 255. B = 3 20 : N if B = / TAK) sup B = /7 TAK) 256. C = 3 26 : N if C = /7 TAK) sup C = TAK) 257. D = 5 26 : N if D = TAK) sup D = /99 TAK) 258. E = 26 4 ) : N 259. F = 26 5 ) : N 260. G = 26 6 ) : N if E = 26 4 TAK) sup E = + NIE) if F = 0 NIE) sup F = 26 5 TAK) if G = 26 6 TAK) 26. H = 2 x2 : x 2, ) if H = TAK) sup H = 6 NIE) 262. I = 2 x3 : x 2, ) if I = /256 NIE) sup I = 2 NIE) 263. J = 2 x4 : x 2, ) if J = TAK) sup J = 2 6 NIE) sup G = 26 6 ) 2 TAK) Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08

7 Niech T będzie zbiore wszystkich ciągów a ) spełiających waruek a < N. W każdy z dziesięciu poiższych zadań podaj odpowiedi kres zbioru supa : a ) T= ifa : a ) T= supa 2 : a ) T=3/ ifa 2 : a ) T=/ supa 2 a 3 : a ) T=5/ ifa 2 a 3 : a ) T= 5/ supa 3 a 6 : a ) T=/2 27. ifa 3 a 6 : a ) T= / supa 2 +a 3 +a 6 : a ) T= ifa 2 +a 3 +a 6 : a ) T=2 Niech T będzie zbiore wszystkich ciągów a ) spełiających waruek a N <. W każdy z dziesięciu poiższych zadań podaj odpowiedi kres zbioru supa : a ) T= ifa : a ) T= supa 2 : a ) T= 277. ifa 2 : a ) T= supa 2 a 3 : a ) T= 279. ifa 2 a 3 : a ) T= 2/ supa 3 a 6 : a ) T=2/3 28. ifa 3 a 6 : a ) T= / supa 2 +a 3 +a 6 : a ) T= ifa 2 +a 3 +a 6 : a ) T=0 Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08

8 293. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że = a = a 2 = 6. = = Wskazówka: Poszukać szeregu geoetryczego. Rozwiązaie: Spróbujey zaleźć szereg geoetryczy o żądaych własościach. W ty celu załóży, że a = cq, paiętając, aby c > 0 oraz 0 < q <. Wówczas a = cq = c = = q oraz a 2 = c 2 q 2) c 2 = q, 2 = co po uwzględieiu waruków zadaia oraz prowadzi do układu rówań c q = 6 c 2 q = 6, 2 czyli = c = 6 q) c 2 = 6 q 2 ). Dzieląc drugie rówaie przez pierwsze otrzyujey c = +q, co po podstawieiu do pierwszego rówaia daje kolejo skąd +q = 6 6q, 7q = 5, q = 5 7, c = +q = = 2 7. Otrzyae rozwiązaie q = 5/7, c = 2/7 prowadzi do a = cq = Odpowiedź: Przykłade szeregu spełiającego waruki zadaia jest szereg = ) Lista 3R rozwiązaia iektórych zadań) Stroy 0-08